不等式应用题类型及解答.doc

一元一次不等式（组）应用题类型及解答
1. 分配问题
1、 一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人？。

3、把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，有多少颗？ 

4、把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。问这些书有多少本？学生有多少人？ 

5、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间 8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。 

6、将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。问有笼多少个？有鸡多少只？ 

7、 用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？ 

8、一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。 
（1） 如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组： 
（2） 可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？ 

二、 比较问题
1、 某校王校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游。甲旅行社说如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠，乙旅行社说包括校长在内全部按全票价的6折优惠（按全票价的60％收费，且全票价为1200元）
① 学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（写出表达式）
② 当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？󰀀③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
③ 就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。 

2、李明有存款600元，王刚有存款2000元，从本月开始李明每月存款500元，王刚每月存款200元，试问到第几个月，李明的存款能超过王刚的存款。 

3、暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费。假设这两位家长至带领多少名学生去旅游，他们应该选择甲旅行社？ 

三、 行程问题
1、 抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？ 

2、 爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 

3、王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？ 

四、车费问题
1、出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租，汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程超过多少km?    

2、某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需要7元车费），超过3km，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计）。某人乘这种出租车从A地到B地共支付车费19元。设此人从A地到B地经过的路程最多是多少km？ 

五、积分问题
1、某次数学测验共20道题（满分100分）。评分办法是：答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。某学生有1道未答。那么他至少答对几道题才能及格？ 

2、在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分，至少要答对多少道题目？ 

3、 一次知识竞赛共有15道题。竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？ 

4、 在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？

5.有红、白颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的两倍比红球多，若把每一个白球都记作数2，每一个红球都记作数3，则总数为60，求白球和红球各几个？

六、销售问题
1、商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。 
(1)试求该商品的进价和第一次的售价； 
(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？ 

2.水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？

3.“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本？ 

4、某电影院暑假向学生优惠开放，每张票2元。另外，每场次还可以售出每张5元的普通票300张，如果要保持每场次票房收入不低于2000元，那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张？ 

5、某中学需要刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，出租用刻录机需120元外，每张光盘还需成本4元（包括空白光盘费）。问刻录这批电脑光盘，该校如何选择，才能使费用较少？ 

6.某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？ 

7.学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的杂志和小说共80本，计划用钱在750元到850元之间（包括750元和850元），那么14元一本的小说最少可以买多少本？

七、数学问题
1.有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于10且小于30，求这个两位数。

八、方案设计题
1．某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：

  现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元， 
（1）设需用x千克甲种原料，写出x应满足的不等式组。 
（2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？ 

2、红星公司要招聘A、B两个工种的工人150人，A、B工种的工人的月工资分别为600和1000元，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少时，可使每月所付的工资最少？此时每月工资为多少元？

3、某工厂接受一项生产任务，需要用10米长的铁条作原料。现在需要截取3米长的铁条81根，4米长的铁条32根，请你帮助设计一下怎样安排截料方案，才能使用掉的10米长的铁条最少？最少需几根？

4.某校办厂生产了一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的投入资金和已获利30000元进行再投资，到这学期结束时再投资又可获利4.8％;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付投入资金的0.2％作保管费，问：  
（1）当该批产品投入资金是多少元时，方案一和方案二的获利是一样的？  
（2）按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。

5.某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法。年票分为A、B、C三种：A年票每张120元，持票进入不用再买门票；B类每张60元，持票进入园林需要再买门票，每张2元，C类年票每张40元，持票进入园林时，购买每张3元的门票。 
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。 
（2）求一年中进入该园林至少多少时，购买A类年票才比较合算。

6.某城市平均每天处理垃圾700吨，有甲和乙两个处理厂处理，已知甲每小时可处理垃圾55吨，需要费用550元，乙厂每小时可处理垃圾45吨，需要费用495员。如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少要多少吨？

九、浓度问题
1、在1千克含有40克食盐的海水中，再加入食盐，使他成为浓度不底于20%的食盐水，问：至少加入多少食盐？

十、增减问题
1、某人点燃一根长度为25㎝的蜡烛，已知蜡烛每小时缩短5㎝，几个小时以后，蜡烛的长度不足10㎝？

部分答案
一、分配问题
1、解：小朋友的人数至少有x人,依题意可得 
1≤3x+4-4(x-1)≤3 解得：5≤x≤7 
∵X取最小整数。∴x=5 
答：小朋友的人数至少有5人 

3、解：设猴子有X只，则花生有(3x+8)人,依题意可得 
1≤3x+8-5(x-1)＜5 解得：4＜X≤6 
∵X取整数。∴x=5或6 
答：当x=5，猴子有5只。花生有(3x+8)=23颗 当x=6，猴子有6只。花生有(3x+8)=26颗，

4、设学生有x人，这些书本有（3x+8）本，依题意可得 1≤3x+8－5（x－1）＜3 解得：5≤x＜6 
∵X取整数。∴x=6 
答“学生有6人，这些书本有（3x+8）＝26本 

5、方法一：解：设有x间宿舍，则住宿男生有（4x+20）人 
依题意，得 8x＞4x+20 8(x-1)＜4x+20  
解这个不等式组得解集为：5＜x＜7 
因为宿舍间数为整数，所以x=6，4x+20=44 
答：宿舍间数有6间，住宿男生有44人．

方法二：设宿舍有x间，则人数为（4x+20）人 
1≤4x+20－8﹙x－1﹚＜8 
解得：5＜x≤6.75 
∵X取整数。∴x=6

6、方法一解：设笼有x个． 
4x+1＞5(x-2) 4x+1＜5(x-2)+3 
解得：8＜x＜11 x=9时，4×9+1=37 
x=10时，4×10+1=41（舍去）． 
故笼有9个，鸡有37只．

方法二：6、设有笼x个，则有鸡﹙4x+1﹚只 
4x+1＜40……① 
1≤4x+1-5﹙x－2﹚＜3……② 
解①②得：8＜x＜9.75 
∵X取整数。∴x=9  
故笼有9个，鸡有37只

7、解：设有x辆车，则有（4x+20）吨货物． 由题意，
得0＜（4x+20）-8（x-1）＜8， 解得5＜x＜7． 
∵x为正整数，
∴x=6． ∴4x+20=44． 
答：有6辆车，44吨货物

8、解：设有x间宿舍． 0＜4x+19-6（x-1）＜6， 9.5＜x＜12.5 
∴x可取10、11或12， 
∴学生数为59或63或67人． 
答：有10间宿舍59名学生或11间宿舍，63名学生或12间宿舍，67名学生．

二、比较问题（优惠问题）
1、解：（1）学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（写出表达式）
y甲=1200+1200×50%×x=1200+600x
y乙=(x+1)×1200×60%=720(x+1)=720x+720
（2）1200+600x=720x+720
120x=480
x=4
答：当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样！
（3）当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；
当学生人数等于4人时，两个旅行社一样优惠；
当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠

2、解：设x个月李明的存款超过王刚的存款 
600+500x＞2000+200x       
300x＞1400            
x＞14/3
因为x为整数，所以x=5

3、解：甲旅行社收费y=500*2+500*70%x=1000+350x 
乙旅行社收费y'=500*80%(2+x)=800+400x 
y=y'
1000+350x=800+400x 
解得x=4 
所以x<4时,乙旅行社便宜；x=4,甲乙旅行社一样便宜；x>4,甲旅行社便宜

三、行程问题
1、解：设后半小时的速度至少为x千米/小时
 50+（1-1/2）x≥120
 50+1/2x≥120
 1/2x≥70 
解得x≥140
答：后半小时的速度至少是140千米/小时

2、解：设至少Xcm
X/(0.8)>100/5 X>16
所以至少16CM 

3、解：设王凯至少要跑X分。 
可列不等式：90(18-X)+210X≥2100 
1620-90X+210X≥2100 
120X≥2100-1620 120X≥480
解得X≥4 
所以王凯至少要跑4分 
（如果改为等号就是求那个时间点，也就是跑4分钟剩下用走，正好用18分钟；如果跑的大于四分钟，也就可以不用18分钟，更快的到达学校。所以等号表示正好到达的时间点，大于等于表达了题意至少的意思）

四、车费问题
1、解：设甲地到乙地的路程大约是xkm,据题意,
得 17.2-1.2<10+1.2(x-5)≤17.2, 
解之,得10<x≤11 
即从甲地到乙地路程大于10km,小于或等于11km
（因为不足1km部分按1km计，17.2元对应的最大路程是11千米，那么最小路程就要大于10千米，17.2-1.2实质是减去了一个1千米的价钱）

2、解：方法一、3km后收费：19-7=12
超过3km后的行驶距离：12/2.4=5km
从甲地到乙地所经过的路程最多是 3+5=8(km)
方法二、设从甲地到乙地所经过的路程最多是x，由题意，
得（x-3）*2.4+7=19
解得x=8

五、积分问题
1、解：设答对x题，则答错20-1-x=(19-x)题。
5x-(19-x)*1>=80
解得x>=16.5
因为题数是整数，所以x=17
答：至少要答对17题。

2、解：设至少需要做对x道题(x为自然数)。 
4x－2×(25－x)≥60      
4x－50＋2x≥60              
6x≥110              
解得X≥19
答：至少需要做对19道题 

3、解：设神箭队答对x题。则答错15-2-x，即（13-x）题
8x-4（13-x）>90解得x>71/6
所以至少答对12道题
设飞艇队答对x题。则答错(15-x)
题8x-4(15-x)>90解得x>25/2
所以至少答对13道题

4、解：设命中X次，脱靶（10-X）次
5x-(10-x)>=35
6x>=45
因为X为整数，所以X=8

5、设红球x个，白球y个，由题意，
得y<x<2y 2y+3x=60 x=(60-2y)/3
则y<(60-2y)/3<2y
解得7.5<y<12
又因为x为整数，则y应为3的倍数。y=9x=14
所以，白球9个，红球14个。

六、销售问题
1、解：（1）设进价是x元（一件商品） 
(1-10%)×(x+30)=x+18  
解得：x=90  
第一次的售价x+30=90+30=120 
答：该商品的进价和第一次的售价分别是90元和120元 
（2）设剩余商品售价应不低于y元,  
(90+30)×m×65%+(90+18)×m×25%+y×m×(1-65%-25%)≥90×(1+25%)×m 
解得：y≥75  
答：剩余商品的售价应不低于75元

2、解：方法一：设按原价的x折出售，所以： 
1000×1/2×10+1000×1/2×10×x/10>=7×1000+2000 
5000+500x>=9000 
解得：5x>=40即x>=8 
所以至多打8折 
方法二：货款：7.00*1000=7000.00元 
已销售产生的利润：（10.00*500）-（7.00*500）=5000.00-3500.00=1500.00元 
剩余商品需要产生的利润：2000-1500.00=500.00元 
产生利润需要的单价：7.00+500/500=8元 
需要在10元基础上打折：8/10=0.8，也就是八折

3、解：设这批苹果有a千克，商家把售价至少定为每千克x元  
则a（1-6%）×x≥a×1.5 
解得：x≥1.60

4、解：设这批电脑光盘有x张，根据题意：到电脑公司刻录的费用为8x，学校自刻的费用为：120+4x 
（1）若8x=4x+120，解这个方程得x=30，当您刻录的光盘数等于30张光盘时花钱是一样的；
（2）若8x＞4x+120解得x＞30。当您刻录的光盘数多于30张时，学校自刻合算 
（3）8x＜4x+120解得x＜30。当您刻录的光盘数少于30张，到电脑公司刻录合算

4、解：设平均每场次至少要出售学生优惠票x张
列出不等式2x＋5×300≥2000 
解得x≥250 
答：平均每场次至少应出售学生优惠票250张。

6、解，根据题意，设甲种工人有x人，则乙种工种的人数为：150-x,
由乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，
可得关系式150-x≥2x,即x≤ 50
x的取值范围是：0≤ x≤50 
设每月所付的工资最少为y元 
y=600x+(150-x)*1000=150000-400x
因为此函数是随着x的增大而减小，
所以当x=50时，y取最小值，最小值为y=150000-400*50=130000元

7、解：设14元一本的小说可以买x本，则8元一本的小说可以买（80-x）本。 
根据题意，有：750≤14x+8（80-x）≤850 
解得：18.33≤x≤21，取整数x=19、20、21
则可得知：14元一本的小说最少可以买19本，最多可以买21本。

七、数学问题
解：设个位数为x，则十位数字为x-2，由题意，
得这个两位数为10(x-2)+x 
 10＜10(x-2)+x＜30   
解得：30/11＜x＜60/11 
因为x取整数，所以x=3或x=4
当x=3时 10x(3-2)+3=13
当x=4时 10x(4-2)+3=23
答：这个两位数为13或23
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