第三章自控系统的时域分析.doc

第三章 控制系统的时域分析
3.1 典型的试验信号
3.2 一阶系统的时域响应
3.3 二阶系统的时域响应
3.4 高阶系统的时域响应
3.5 用MATLAB求控制系统的瞬态响应
3.6 线性定常系统的稳定性
3.7 劳斯稳定判据
3.8 控制系统的稳态误差
3.9 控制系统对参数变化的灵敏度
本章小结
本 章 简 介
   上一章已经讲述了如何建立控制系统的数学模型。但事实上人们真正关心的是，如何利用这些数学模型来对系统进行分析或设计。本章主要讨论用时域分析法来分析控制系统的性能。
时域分析法：是对一个特定的输入信号，通过拉氏变换，求取系统的响应输出。
它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
一个稳定的控制系统，对输入信号的时域响应由二部分组成：瞬态响应+稳态响应。   
  瞬态响应描述系统的动态性能；稳态响应描述系统的稳态精度；
3.1 典型的试验信号 回目录
控制系统的稳态误差是因输入信号不同而不同的。因此就需要规定一些典型输入信号。通过评价系统在这些典型输入信号作用下的稳态误差来衡量和比较系统的稳态性能。在控制工程中通常采用的典型输入信号有以下几种：
1．单位阶跃函数：
  其拉普拉斯变换为R(s)=1/s
2．单位斜坡函数：
  其拉普拉斯变换为R(s)=1/s2
3．单位加速度函数：
  其拉普拉斯变换为R(s)=1/s3
4．单位脉冲函数：
  其拉普拉斯变换为R(s)=1
5．正弦函数：
   r(t)=Asinωt
其中最常用的典型信号为单位阶跃、单位斜坡、单位加速度三种输入信号。
3.2 一阶系统的时域响应 回目录

3.2.1单位阶跃响应
3.2.2一阶系统的单位斜坡响应
3.2.3一阶系统的单位脉冲响应
3.2.4线性定常系统的重要特性

一阶系统：用一阶微分方程描述的控制系统。
研究图3-3所示一阶系统。其系统传函为
图3-3 一阶系统方框图

3.2.1 单位阶跃响应
对于单位阶跃输入：r(t)=1(t)，R(s)=1/s
    于是

由拉普拉斯反变换可以得到单位阶跃响应c(t)为
c(t)=1-e-t/T (t≥0)

上式表示，一阶系统的单位阶跃响应的图形是一条指数曲线，如图3-4所示。
图3-4 一阶系统的单位阶跃响应
由图可知，c(t)的初始值为0，最终将变为1。当t=T时，c(t)的数值等于0.632，或者说响应c(t)达到了总变化的63.2%。当经过的时间t=3T、4T时，响应将分别达到稳态值的95%或98%。从数学观点来分析，只有当时间t趋向于无穷大时，系统的响应才能达到稳态。但实际上都以响应曲线达到稳态值的2%允许误差范围所需的时间，来作为评价响应时间长短的合理标准。时间常数T反映了系统的响应速度，时间常数T愈小，则响应速度愈快。
∴ T反映了系统的响应速度。

3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应
对于单位斜坡输入：r(t)=t，R(s)=1/s2
    于是
t=0时,斜率为0
t→∞ 时 c(∞)=t-T 
c(∞)-r(t)=T
r(t)=t, R(s)=

3.2.3一阶系统的单位脉冲响应
当单位脉冲输入：r(t)=δ(t)，R(s)=1
这时有

相应的系统单位脉冲响应为：
   c(t)=(1/T)e-t/T
其响应曲线如图3-5所示。
图3-5 一阶系统的单位脉冲响应
3.2.4 线性定常系统的重要特性
   r(t)=t    -->(导数）   r(t)=1(t)  --> r(t)=δ(t) 
c(t)=(t-T)+Te-t/T  --> c(t)=1-e-t/T  --> c(t)=(1/T)e-t/T
比较系统对这三种输入信号的响应，可以清楚地看出，系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应微分来求出。同时也可以看出，系统对原信号积分的响应，等于系统对原信号响应的积分，而积分常数则由零输出初始条件确定。这是线性定常系统的一个特性，线性时变系统和非线性系统都不具备这种特性。
3.3 二阶系统的暂态响应 回目录
3.3.1二阶系统的单位阶跃响应
3.3.2 二阶系统的暂态响应指标
3.3.3二阶系统的脉冲响应

在分析或设计系统时，二阶系统的响应特性常被视为一种基准。虽然在实际中几乎没有二阶系统，而是三阶或更高阶系统，但是它们有可能用二阶系统去近似，或者其响应可以表示为一、二阶系统响应的合成。因此，将对二阶系统的响应进行重点讨论。

图3-6 二阶系统的方框图
典型的二阶系统的方框图如图3-6所示，它由一个非周期环节和一个积分环节串联组成，系统的传递函数为
令

则 二阶系统的标准表达式：

由上式得闭环系统的极点:  

振荡角频率ωd的单位本为rad/s，但因弧度本身无量纲，只表示比值的概念。在研究控制系统时习惯上写为s-1，同时也常简称ωd为频率。
由式（3-12）可知，系统极点的实部为σ，它控制着时间响应的暂态分量是发散还是衰减，以及暂态分量随时间的变化率。当σ>0时，暂态响应随时间增长而发散，当σ<0时，暂态响应随时间增长而衰减。由于ωn不可能为负值，所以，又可以看出，当 ξ<0时，系统暂态响应将随时间增长而发散，而当ξ>0时，系统暂态响应才能随时间增长而衰减。
当0<ξ<1时，系统具有一对实部为负的复数极点，系统的暂态响应将是振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，此时称系统处于欠阻尼状态。
当阻尼比ξ=1时，系统具有两重实极点，于是系统暂态响应中没有周期分量，暂态响应将随时间按指数函数规律而单调衰减。此时称系统处于临界阻尼情况。
当阻尼比ξ>1时，系统具有不相等的两个实极点，系统的暂态响应还是随时间按指数函数规律而单调衰减，只是衰减的快慢主要由靠近虚轴的那个实极点决定。此时称系统处于过阻尼情况。
当ξ=0时，系统将具有一对纯虚数极点，其值为此时称系统处于无阻尼状态，系统的暂态响应将是恒定振幅的周期函数，并且将 称为无阻尼自然振荡角频率，或简称为无阻尼自然振荡频率。

在图3-7中表示出当 为不同值时，相应系统极点的分布与阶跃响应的图形。

(a)ξ>1（左半平面有相异实根）时系统响应

(b) ξ=1（左半平面有相同实根）时系统响应

(c)0<ξ<1（左半平面有带负实根的共轭虚根）时系统响应

(d)ξ=0（虚轴上带共轭虚根）时系统响应

(e)0>ξ>-1（右半平面有带正实根的共轭虚根）时系统响应

(f) ξ<-1（右半平面有相异正实根）时系统响应
图3-7 极点分布不同时系统阶跃响应图形
图3-8说明系统极点的位置与ξ 、ωn 、σ及ωd之间的关系。对于标出的一对共轭复数极点ωn是从极点到s平面原点的径向距离，σ是极点的实部，ωd是极点的虚部，而阻尼比ξ等于极点到s平面原点间径向线与负实轴之间夹角的余弦，即
ξ=cosθ
阻尼比ξ是二阶系统的重要特征参量。 

图3-8 系统极点与参量间的关系

3.3.1二阶系统的单位阶跃响应
下面分析欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况下，二阶系统的单位阶跃响应。
(1) 欠阻尼情况(0<ζ<1)   

暂态分量为衰减振荡的周期函数，阻尼自然频率为

当ξ=0（零阻尼）

响应曲线为等幅余弦振荡曲线。即
c(t)=1-cosωnt (t≥0)
(2) 临界阻尼情况（ ζ=1）
   对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因而C(s)可表示为

此时
是无超调响应中最快的
(△=2%)
(3) 过阻尼情况（ζ>1）
这种情况下，C(s)/R(s)的两个极点是两个不等的负实数。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s

此时

(t≥1)
特别 ξ>>1时.

此时二阶系统降为一阶系统

(△=2%) ξ≥1.5
  -->
工程上，如果ζ》1.5时，使用上述近似式已有足够的准确度了。
3.3.2 二阶系统的暂态响应指标
当系统为欠阻尼情况下，即0<ζ<1时，二阶系统阶跃响应的上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量Mp的计算公式按式（3-13）可表示如下。
1.上升时间tr  
令c(t)=1，代入式（3-13）中，即可求得tr。

令 ,则
由上式可见，如欲减小tr，当ζ一定时，需增大 ，反之，若一定时，则需减小ζ。
2.峰值时间tp  
令 ,即

即.
又
取 ,

3.调量Mp 
最大超调量发生在t=tp
将 代入

4.调整时间ts  

用包络线:
即

当 时,

图3-9 二阶系统单位阶跃时间响应的包络线
3.3.3二阶系统的脉冲响应
当输入信号r(t)为单位脉冲函数时，相应的拉普拉斯变换为1，即R(s)=1。则二阶系统的单位脉冲响应C(s)为

这个方程的拉普拉斯反变换，就是时域响应解c(t)，这时当0≤ζ<1时，
c(t)= (t≥0)
当ζ=1时
c(t)= (t≥0)
当ζ>1时
c(t)= (t≥0)
不同ζ时单位脉冲响应曲线见图3-10。对ζ≥1的情况，单位脉冲响应总是正值或在t=∞时为零。这时系统的单位阶跃响应必是单调增长的。
由于单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，所以单位脉冲响应曲线与时间轴第一次相交的点对应的时间必是峰值时间tp，而从t=0至t=tp这一段曲线与时间轴所包围的面积将等于1+Mp（参见图3-11），而且单位脉冲响应曲线与时间轴包围的面积代数和为1。

图3-10 单位脉冲响应曲线

图3-11 从脉冲响应求Mp
例题3-10
3-10
图示系统中 =0.6， =5弧度/秒。当系统受到单位阶跃输入信号作用时，试求上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量Mp和调整时间ts。
解：根据给定的 和 值，可以求得 = =4和 = =3。

图3-Error! Bookmark not defined. 例3-10图
1．  上升时间tr
上升时间为：
tr= =
式中β为： 弧度
因此，可求得上升时间tr为：tr= = 秒
2．  峰值时间tp
峰值时间为：
tp= = =0.785秒
3．  最大超调量Mp
最大超调量为：
Mp= = =0.095
因此，最大超调量百分比为9.5%。
4．  调整时间ts
对于2%允许误差标准，调整时间为：
ts= =4/3=1.33秒
对于5%允许误差标准，调整时间为：
ts= =3/3=1
3.4 高阶系统的暂态响应 回目录
当系统高于二阶时，将其称为高阶系统。其传递函数一般可以写成如下形式

将上式进行因式分解，可写成

式中 si：传递函数极点，i=1、2、…、n；
zj：传递函数极点，j=1、2、…、m。
假定系统所有零点、极点互不相同，并假定极点中有实数极点和复数极点，而零点中只有实数零点。当输入为单位阶跃函数时，其阶跃响应的象函数为

= + +

式中 m：传递函数零点总数；
n：传递函数极点总数，n=q+2r；
q：实极点数；
r：共轭复数极点的对数。
对上式求取原函数，即得高阶系统的单位阶跃响应：
c(t)=A+ +
式中 Ai= ；
Dk= ；
θk= ；
sk=- 。
由此可见，高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统暂态响应分量的合成。可以得到如下结论：
1.高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数si及 决定。假设系统的一对复数极点与虚轴间距离为 ，另一对复数极点与虚轴间距离是其5倍，即5 ，如按式（3-15）估算，后者对应的暂态分量衰减时间大约为前者的1/5，由此可知，系统的极点在s平面左半部距虚轴愈远，相应的暂态分量衰减得愈快。
2. 高阶系统暂态响应各分量的系数Ai和Dk不仅与s平面中极点的位置有关，并且与零点的位置也有关。当某极点si愈靠近某一零点zj而远离其他极点，同时与s平面的原点相距也很远，则相应分量的系数Ai越小，该暂态分量的影响就小。若一对零、极点互相接近，则该极点对暂态响应几乎没有影响。极端情况，若一对零、极点重合（偶极子），则该极点对暂态响应无任何影响。若某极点si远离零点，但距S平面原点较近，则相应的该分量的系数Ai就比较大，于是，该分量对暂态响应的影响就较大。因此，对于系数很小的分量以及远离虚轴的极点对应的衰减很快的暂态分量常可忽略，于是高阶系统的响应就可以用低阶系统的响应去近似。
3. 如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部比其他极点的实部的1/5还要小，并且该极点附近没有零点，则可以认为系统的响应主要由该极点决定。这些对系统响应起主导作用的极点，称为系统主导极点。高阶系统的主导极点常是共轭复数极点。如能找到一对共轭复数主导极点，则高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，相应地其暂态响应性能指标都可以按二阶系统来近似估计。
在设计一个高阶系统的时候，常利用主导极点这一概念选择系统参数，使系统具有预期的一对共轭复数主导极点，这样就可以近似地用二阶系统的性能指标来设计系统。详见后面有关系统设计章节的内容。

3.5 用MATLAB进行暂态响应分析 回目录
3.5.1线性系统的MATLAB表示

3.5.2传递函数系统单位阶跃响应的求法
3.5.3在图形屏幕上书写文本

3.5.4脉冲响应
3.5.5求脉冲响应的另一种方法

3.5.6斜坡响应

3.5.1线性系统的MATLAB表示
系统的传递函数用两个数组来表示。考虑下列系统：
（3-17）
该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s的降幂排列如下：
num=[0 0 25]
den=[1 4 25]
注意，必要时需补加数字零。
如果已知num和den（即闭环传递函数的分子和分母），则命令
step(num，den)，step(num，den，t)
将会产生出单位阶跃响应图（在阶跃命令中，t为用户指定时间）。
当阶跃命令的左端含有变量时，如：[y,x,t]=step(num,den,t)显示屏上不会显示出响应曲线。因此，必须利用plot命令去查看响应曲线。矩阵y和x分别包含系统在计算时间点t求出的输出响应和状态响应（y的列数与输出量数相同，每一行对应一个相应的时间t单元。x的列数与状态数相同，每一行对应一个相应的时间t单元）。
3.5.2传递函数系统单位阶跃响应的求法
下面讨论由方程（3-17）描述的系统的单位阶跃响应。MATLAB Program3-1将给出该系统的单位阶跃响应曲线。该单位阶跃响应曲线如图3-13所示。
其源程序为：
MATLAB Program 3-1
num=[0 0 25];
den=[1 4 25];
step(num,den)
grid
title('Unit-Step Response of G(s)=25/(s^2+4s+25)')

图3-13 单位阶跃响应曲线
3.5.3在图形屏幕上书写文本
为了在图形屏幕上书写文本，例如，可以输入下列语句：
text(3.4, -0.06, 'Y1')
和
text(3.4, 1.4, 'Y2')
第一个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4，y=-0.06上写出"Y1"。类似地，第二个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4，y=1.4上写出"Y1"。
3.5.4脉冲响应
利用下列MATLAB命令中的一种命令，可以得到控制系统的单位脉冲响应：
impulse(num,den)
[y,x,t]=impulse(num,den)
[y,x,t]=impulse(num,den,t)
例3-11 试求下列系统的单位脉冲响应：（内有Matlab Program 3-2)

3.5.5求脉冲响应的另一种方法
当初始条件为零时，G(s)的单位脉冲响应与sG(s)的单位阶跃响应相同。
考虑上例中讨论过的系统的单位脉冲响应。因为对于单位脉冲输入量，R(s)=1，所以

因此，可以将G(s)的单位脉冲响应变换成sG(s)的单位阶跃响应。
如果向MATLAB输入下列num和den：
num=[0 1 0]
den=[1 0.2 1]
利用在MATLAB Program3-2中给出的阶跃响应命令，可以得到系统的单位脉冲响应曲线，如图3-15所示。在图3-15中，x轴和y轴都是自动地进行标注的。如果希望对x轴和y轴做不同的标注，则需要改变阶跃命令。例如，如果需要在x轴上标注"t Sec"，在y轴上标注"Input and Output"，则应利用带有左端变量的阶跃响应命令，其源程序如下：
MATLAB Program 3-3
num=[0 1 1];
den=[1 0.2 1];
impulse(num,den);
grid;
title('G(s)=s/(s^2+0.2s+1)的单位脉冲响应')

图3-15 用 的单位阶跃响应求得的单位脉冲响应曲线
c=step(num,den,t)
或者
[y,x,t]=step(num,den,t)
参见MATLAB Program3-4。
3.5.6斜坡响应
在MATLAB中没有斜坡响应命令，因此，需要利用阶跃响应命令求斜坡响应。特别是当求传递函数系统G(s)的斜坡响应时，可以先用s除G(s)，再利用阶跃响应命令。例如，考虑下列闭环系统：

对于单位斜坡输入量，R(s)=1/(s2)，因此

为了得到系统的单位斜坡响应，往MATLAB程序中输入下列分子和分母：
num=[0 0 0 1];
den=[1 1 1 0];
并应用阶跃响应命令。参见MATLAB Program3-4，利用此程序获得的响应曲线如图3-16所示。其源程序如下：
MATLAB Program 3-4
num=[0 0 0 1];
den=[1 1 1 0];
t=0:0.1:7;
c=step(num,den,t);
plot(t,c,'o',t,t,'-')
grid
title('Unit-Ramp Response Curve for System G(s)=1/(s^2+s+1)')
xlabel('t Sec')
ylabel('Input and Output')

图3-16 单位斜坡响应曲线
3.6 线性系统的稳定性 回目录
设计控制系统时应满足多种性能指标，但首要的技术要求是系统全部时间内必须稳定。一般来说，稳定性成为区分系统是否有用的标志。从实际应用的角度来看，可以认为只有稳定系统才有用。
3.6.1 稳定性的基本概念
原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。所谓稳定性，就是指系统在扰动作用消失后，经过一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状态或足够准确地回复到原来的平衡状态的性能。若系统能恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的；若干扰消失后系统不能恢复到原来的平衡状态，偏差越来越大，则系统是不稳定的。
系统的稳定性又分两种情况：一是大范围内稳定，即起始偏差可以很大，系统仍稳定。另一种是小范围内稳定，即起始偏差必须在一定限度内系统才稳定，超出了这个限定值则不稳定。对于线性系统，如果在小范围内是稳定的，则它一定也是在大范围内稳定的。而对非线性系统，在小范围内稳定，在大范围内就不一定是稳定的。本章所研究的稳定性问题，是线性系统的稳定性，因而是大范围内的稳定性问题。
一般来说，系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性，如果系统的零输入响应和零状态响应都是收敛的，则此系统就被认为是总体稳定的。不难证明，对于线性定常系统，零输入响应稳定性和零状态响应稳定性的条件是一致的。所以线性定常系统的稳定性是通过系统响应的稳定性来表达的。
3.6.2 线性系统的稳定性
线性系统的特性或状态是由线性微分方程来描述的，而微分方程的解通常就是系统输出量的时间表达式，它包含两部分：稳态分量（又称强制分量）和瞬态分量（又称自由分量）。稳态分量对应微分方程的特解，与外作用形式有关；瞬态分量对应微分方程的通解，是系统齐次方程的解，它与系统本身的参数、结构和初始条件有关，而与外作用形式无关。研究系统的稳定性，就是研究系统输出量中的瞬态分量的运动形式。这种运动形式完全取决于系统的特征方程式，即齐次微分方程式，因为它正是研究扰动消除后输出量运动形式的。
单输入单输出线性系统的传递函数一般表示为：

系统的特征方程式为

显然，它是由系统本身的参数和结构所决定的。
3.6.3 线性系统稳定的充分必要条件
从上节的例子可以看出，线性系统稳定与否完全取决于其微分方程的特征方程根。如果特征方程的全部根都是负实数或实部为负的复数，则系统是稳定的。如果特征方程的各根中即使只有一个根是正实数或只有一对根是实部为正的复数，则微分方程的解中就会出现发散项。
由此可得出如下结论：线性系统稳定的充分必要条件是它的特征方程式的所有根均为负数或具有负的实数部分；或者说，特征方程式的所有根均在复数平面的左半部分。由于系统特征方程式的根就是系统的极点，所以又可以说，系统稳定的充分必要条件是系统的极点均在S平面的左半部分。
如果特征方程在复平面的右半平面上没有根，但在虚轴上有根，则可以说该线性系统是临界稳定的。
必要条件：如果方程式的根都是负实根，或其实部为负的复数根，则特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。
3.7 劳斯稳定判据

3.7.1 劳斯-赫尔维茨（Routh-Hurwitz）稳定判据
判别系统稳定性最基本的方法是根据特征方程式的根的性质来判定。但求解高于三阶的特征方程式相当复杂和困难。所以在实际应用中提出了各种工程方法，它们无需求特征根，但都说明了特征根在复平面上的分布情况，从而判别系统的稳定性。本节主要介绍代数判据。
（一） 系统稳定性的初步判别
设已知控制系统的特征方程

式中所有系数均为实数，且a0>0
系统稳定的必要条件是上述特征方程式所有系数均为正数。可简单证明如下：
将特征方程写成用特征根表达的形式
（3-1）
假如所有特征根均在S平面的左半部，即-σi<0，-αk<0，则式（3-1）中的σi<0，αk<0 （i=1，…，q；k=1，…，l；q+2l=n），若把式（3-1）的乘积展开，s多项式的各项系数必然均大于零。
根据这一原则，在判别系统稳定性时，可事先检查一下系统特征方程式的系数是否均为正数。如果有任何一项系数为负数或等于零（即缺项），则系统是不稳定或临界稳定的。假如只是判别系统是否稳定，到此就不必作进一步的判别了。如果系数均为正数，对二阶系统来说肯定是稳定的（必要且充分），但对二阶以上的系统，还要作进一步的判别。
（二） 劳斯判据（Routh）
将系统的特征方程写成如下标准形式

并将各系数组成如下排列的劳斯表：

sn
a0
a2
a4
a6
…
sn-1
a1
a3
a5
a7
…
sn-2
b1
b2
b3
b4
…
sn-3
c1
c2
c3
c4
…

┇
┇
┇
┇
┇

s2
e1
e2

s1
f1

s0
g1

表中的有关系数为

………………………
系数bi的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。

………………………
这一计算过程一直进行到n行为止。为了简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。
列出了劳斯表以后，可能出现以下几种情况。
1．第一列所有系数均不为零的情况
a.  系统极点全部在复平面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一列都具有正号。相应系统是稳定的。
b.  系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。

例3-1三阶系统的特征方程为
D(s)= =0
列出劳斯表
s3
a0
a2
s2
a1
a3
s1

s0
a3

系统稳定的充分必要条件是
a0>0，a1>0，a2>0，a3>0，a1a2-a0a3>0
例3-2
四阶系统特征方程为
D(s)= =0
列出劳斯表
s4
a0
a2
a4
s3
a1
a3
0
s2

a4

s1

s0
a4

四阶系统稳定的充分必要条件是各项系数为正值，并且
a1a2-a0a3>0，a3(a1a2-a0a3)- a4>0

例3-3

设已知系统的特征方程为
D(s)= =0
列出劳斯表
s5
1
1
4

s4
2
3
5

s3
-1
3
0
（各元素乘以2）
s2
9
5
0

s1
32

（各元素乘以9）
s0
5

由上表可以看出，第一列各数值的符号改变了两次，由+2变成-1，又由-1改变成+9，因此该系统有两个正实部的极点，系统是不稳定的。

2．某行第一列的系数等于零，而其余项中某些项不等于零的情况。
    在计算劳斯表中各元素的数值时，如果某行的第一列的数值等于零，而其余的项中某些项不等于零，那么可以用一有限小的数值ε来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算阵列中其余各项。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下面的系数符号相反，表明这里有一个符号变化。
例3-4例如下列特征方
例3-4
下列特征方程 =0
劳斯表
s4
1
1
1
s3
2
2
0
s2
ε（≈0）
1

s1
2-
1

s0
1

现在考察第一列中各项数值。当ε趋近于零时，2- 的值是一很大的负值，因此可以认为第一列中的各项数值的符号改变了两次。按劳斯判据，该系统有两个极点具有正实部，系统是不稳定的。
3．某行所有各项系数均为零的情况
    如果劳斯表中某一行的各项均为零，或只有等于零的一项，这表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实极点和（或）一些共轭虚数极点。
    为了写出下面各行，将不为零的最后一行的各项组成一个方程，这个方程叫作辅助方程，式中s均为偶次。由该方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零的各项，然后继续按照劳斯表的列写方法，写出以下的各行。至于这些根，可以通过解辅助方程得到。但是当一行中的第一列的系数为零，而且没有其它项时，可以像情况2所述那样，用ε代替为零的一项，然后按通常方法计算阵列中其余各项。
例3-5已知系统的特征方程
例3-5
已知系统的特征方程为
D(s)= =0
劳斯表中的s6~s3各项为
s6
1
8
20
16

s5
2
12
16
0

s4
1
6
8

（各元素乘以1/2）
s3
0
0
0

由上表看出，s3行的各项全为零。为了求出s3~ s0各项，将s4行的各项组成辅助方程：
A(s)=
将辅助方程A(s)对s求导数，得

用上式中的各项系数作为s3行的各项系数，并计算以下各行的各项系数，得劳斯表为
s6
1
8
20
16
s5
2
12
16
0
s4
1
6
8

s3
4
12

s2
3
8

s1
4/3

s0
8

从上表的第一列可以看出，各项符号没有改变，因此可以确定在右半平面没有极点。另外，由于s3行的各项皆为零，这表示有共轭虚数极点。这些极点可由辅助方程求出。
本例中的辅助方程是
=0
由此求得大小相等符号相反的虚数极点为
，

（三） 赫尔维茨判据（Hurwitz）
分析6阶以下系统的稳定性时，还可以应用赫尔维茨判据。
将系统的特征方程写成如下标准形式

现以它的各项系数写出如下之行列式：

行列式中，对角线上各元为特征方程中自第二项开始的各项系数。每行以对角线上各元为准，写对角线左方各元时，系数a的脚标递增；写对角线右方各元时，系数a的脚标递减。当写到在特征方程中不存在系数时，则以零来代替。
赫尔维茨判据描述如下：系统稳定的充分必要条件在a0>0的情况下是，上述各行列式的各阶主子或均大于零，即对稳定系统来说要求

赫尔维茨稳定判据虽然在形式上与劳斯判据不同，但实际结论是相同的。
例3-6
三阶系统的特征方程为D(s)= =0
列出系数行列式

赫尔维茨稳定判据指出，该三阶系统稳定的充分和必要条件是：
a1>0
=a1a2-a0a3>0
=a3(a1a2-a0a3)>0
或者写成系统稳定的充分必要条件是：
a0>0，a1>0，a2>0，a3>0，a1a2-a0a3>0
又如四阶系统特征方程为
D(s)= =0
系统稳定的充分必要条件是：
a1>0
=a1a2-a0a3>0
=a3(a1a2-a0a3)- a4>0
=a4[a3(a1a2-a0a3)- a4]>0
或者写成四阶系统稳定的充分必要条件是：
a0>0，a1>0，a2>0，a3>0，a1a2-a0a3>0，
a1a2-a0a3>0，a3(a1a2-a0a3)- a4>0
以上得出的结果与前述劳斯判据所得的三阶和四阶系统稳定的充分必要条件完全一样。
应用代数判据不仅可以判定系统是否稳定，还可以用来分析系统参数变化对系统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。

例3-7
设反馈控制系统如图3-1所示，求满足稳定要求时K的临界值。
图3-1
解 系统闭环传递函数是

其特征方程为
D(s)=s(s+1)(s+5)+K=0
或 =0
列出劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s1

s0
K

按劳斯判据，要使系统稳定，其第一列应为正数，即
K>0，30-K>0
则有 0<k<30
从而得出满足稳定的临界值Kc=30。
例3-8
已知系统的闭环传递函数为

求临界放大系数Kc及其与参量T1、T2及T3的关系。
解 系统的特征方程为
D(s)=T1T2T3s3+(T1T2+T1T3+T2T3)s2+(T1+T2+T3)s+1+K=0
根据劳斯判据，稳定的充分必要条件是：特征方程的各项系数均大于零，并且a1a2-a0a3>0。现在系统的时间常数及放大系数均为正，所以满足各项系数均大于零的条件。将各项系数代入a1a2-a0a3>0中，得
(T1+T2+T3)(T1T2+T1T3+T2T3)-T1T2T3(1+K)>0
或 1+K<(T1+T2+T3)( + + )
从而得临界放大系数
Kc=(T1+T2+T3)( + + )-1
由此式看出，T1、T2、T3中只要有一个足够小，那么Kc就可以增大。决定Kc大小的，实际上并不是各时间常数的绝对值，而是其相对值，即取决于各时间常数的比值。将上式变换成
Kc=2+ + + + + +
还可以求出开环增益临界值Kc的极小值Kcmin与参量T1、T2及T3的关系。为此，先求出Kc对T1、T2及T3的偏导并令其为零。
= + - - =0
= + - - =0
= + - - =0
整理以上各式，即得
(T2+T3)( -T2T3)=0
(T1+T3)( -T1T3)=0
(T1+T2)( -T1T2)=0
由此可见，T1、T2及T3必须同时满足以上三式，Kc才有极值。又因为以上三式的形式是一样的，所以能够看出，只有
T1=T2=T3=T
时，Kc才有极值。为进一步确定极值是极大值抑或极小值，可从Kc对T的二阶偏导来判断。由于
= >0
故知极值为极小而非极大。
将T1=T2=T3=T的关系代入到Kc中，则有
Kcmin=8
这个结论表明，由三个非周期环节串联组成的反馈控制系统，当三个非周期环节的时间相等时，系统的临界开环增益最低。
若取T1=10T2，T2=T3，则可求得Kc=24.2。时间常数的数值错开得愈多，则Kc可以提高得愈多。

§3-8 控制系统的稳定误差

一.稳态误差和误差传递函数.
1.误差的定义: 被控量的希望值Co(t)和实际值C（t）之差.即

2.误差与偏差的关系.
<1>单位反馈系统

<2>. 非单位反馈系统(图P85)

3.误差传递函数.
一般系统

4.系统按稳态误差划分的类型
设系统开环传递函数为

按稳定误差划分的型：
.

二.给定输入信号下的稳态误差
1.阶跃输入信号下的稳态误差与静态位置误差系数

结论: 0型系统在阶跃输入作用下有误差,常称有差系统.

2.斜坡输入信号下的稳态误差与静态速度误差系数

结论:0型系统不能跟踪斜坡输入；1型可跟踪，但有与K有关的误差；2型及以上在斜坡输入下的。

3.抛物线输入信号下的稳态误差与静态加速度误差系数

结论: 0型和1型不能跟踪,2型可跟踪但有误差,3型及以上才有准确跟踪.
表3-1，2 P88 总结

4.复合输入下的稳态误差