高中平面向量知识点详细归纳总结附带练习.doc

向量的概念
一、高考要求：
理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.
二、知识要点：
1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为始点,B为终点的有向线段记作,注意:始点一定要写在前面,已知,线段AB的长度叫做有向线段的长(或模),的长度记作.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.
2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段表示向量时,我们就说向量.另外,在印刷时常用黑体小写字母a、b、c、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母、、、…等.与向量有关的概念有:
(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量和同向且等长,即和相等,记作=.
(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作.零向量的方向不确定.
(3) 位置向量:任给一定点O和向量,过点O作有向线段,则点A相对于点O的位置被向量所唯一确定,这时向量又常叫做点A相对于点O的位置向量.
(4) 相反向量:与向量等长且方向相反的向量叫做向量的相反向量,记作.显然, .
(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作.与向量同方向的单位向量通常记作,容易看出:.
(6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量平行于向量,记作∥.零向量与任一个向量共线(平行).
三、典型例题：
例:在四边形ABCD中,如果且,那么四边形ABCD是哪种四边形?
四、归纳小结：
1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.
2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A相对于点B的位置向量是. 正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2. 设O是正△ABC的中心,则向量是( )
A.有相同起点的向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.相等向量
3. 的充要条件是( )
A. B.且[]l C. D.且与同向
4. 是四边形是平行四边形的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD是菱形的是( )
A. B.且
C.且 D.且
6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )
A.零向量没有方向 B.零向量的长度为
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向任意
7. 设与已知向量等长且方向相反的向量为,则它们的和向量等于( )
A.0 B. C.2 D.2
（二）填空题：
8. 下列说法中: (1)与的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。错误的说法有.
9. 下列命题中: (1)单位向量都相等 (2)单位向量都共线 (3)共线的单位向量必相等
(4)与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.中正确的命题的个数有个.
10. 下列命题中: (1)若=0,则=0. (2)若,则或.(3)若与是平行向量,则. (4)若,则.其中正确的命题是(只填序号).
（三）解答题：
11. 如图,四边形ABCD于ABDE都是平行四边形.
(1) 若,求;
(2) 若,求;
(3) 写出和相等的所有向量;
(4) 写出和共线的所有向量.

向量的加法与减法运算
一、高考要求：
掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则.掌握向量加法的交换律与结合律.
二、知识要点：
1. 已知向量、,在平面上任取一点A,作,,作向量,则向量叫做向量与的和(或和向量),记作+,即.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.
2. 已知向量、,在平面上任取一点A,作,,如果A、B、D不共线,则以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量=+=+.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.
3. 已知向量、,在平面上任取一点O,作,,则+=,向量叫做向量与的差,并记作-,即=.由此推知:
(1) 如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量;
(2) 一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量;
(3) 一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的相反向量.
4. 向量加法满足如下运算律: (1); (2).
三、典型例题：
例1:已知任意两个向量、,不等式≤是否正确?为什么?
例2:作图验证:.
四、归纳小结：
1. 向量的加法有三角形法则()或平行四边形法则(+=),向量的减法法则().
2. 向量的加减法完全不同于数量的加减法.向量加法的三角形法则的特点是,各个加向量的首尾相接,和向量是首指向尾.向量减法的三角形法则的特点是,减向量和被减向量同起点,差向量是由减向量指向被减向量.
3. 任一向量等于它的终点向量减去它的起点向量(相对于一个基点).
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 化简的结果为( )
A.B.C.D.0
2. 在△ABC中,,则等于( )
A.B.C.D.
3. 下列四式中不能化简为的是( )
A. B.
C.D.
4. 如图,平行四边形ABCD中,下列等式错误的是( )
A. B.C.D.
5. 下列命题中，错误的是( )
A.对任意两个向量、,都有≤ B.在△ABC中,
C.已知向量,对平面上任意一点O,都有
D.若三个非零向量、、满足条件,则表示它们的有向线段一定能构成三角形
6．下列等式中，正确的个数是( )
①;②;③;④;⑤.
A.2 B.3 C.4 D.5
（二）填空题：
6. 在△ABC中,=,=.
7. 化简:=,=.
（三）解答题：
8. 若某人从点A向东位移60m到达点B,又从点B向东偏北方向位移50m到达点C,再从点C向北偏西方向位移30m到达点D,试作出点A到点D的位移图示.

数乘向量
一、高考要求：
掌握数乘向量的运算及其运算律.
二、知识要点：
1. 数乘向量的一般定义:实数和向量的乘积是一个向量,记作.
当时,与同方向,;
当时,与反方向,;
当或时,.
2. 数乘向量满足以下运算律: (1)1=,(-1)=; (2);
(3); (4).
三、典型例题：
例1:化简: 例2:求向量:
四、归纳小结：
向量的加法、减法与倍积的综合运算,通常叫做向量的线性运算.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 下列关于数乘向量的运算律错误的一个是( )
A. B. C. D.
2. D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且,给出下列命题,其中正确命题的个数是() ①;②;③;④.
A.1 B.2 C.3 D.4
3. 已知AM是△ABC的BC边上的中线,若,则等于( )
A. B. C. D.
4. 设四边形ABCD中,有,且,则这个四边形是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
（二）填空题：
5. 化简:=.

6. 若向量满足等式: ,则=.
7. 数乘向量的几何意义是.
（三）解答题：
8. 已知向量(也称矢量),求作向量.

9. 已知、不平行,求实数x、y使向量等式恒成立.
10. 任意四边形ABCD中,E是AD的中点,F是BC的中点,求证:.

平行向量和轴上向量的坐标运算
一、高考要求：
掌握向量平行的条件,理解平行向量基本定理和轴上向量的坐标及其运算.
二、知识要点：
1. 平行向量基本定理:如果向量,则的充分必要条件是,存在唯一的实数,使.该定理是验证两向量是否平行的标准.
2. 已知轴,取单位向量,使与同方向,对轴上任意向量,一定存在唯一实数x,使.这里的x叫做在轴上的坐标(或数量),x的绝对值等于的长,当与同方向时,x是正数,当与反方向时,x是负数.
(1) 设,,则①当且仅当;②=.
这就是说,轴上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.
(2) 向量的坐标通常用AB表示,常把轴上向量运算转化为它们的坐标运算,得著名的沙尔公式:AB+BC=AC.
(3) 轴上向量的坐标运算:起点和终点在轴上的向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.即在轴x上,若点A的坐标为,点B的坐标为,则AB=.可得到数轴上两点的距离公式:.
三、典型例题：
例1:已知:MN是△ABC的中位线,求证:.
例2:已知:,试问向量与是否平行?并求.
例3:已知:A、B、C、D是轴上任意四点,求证:
四、归纳小结：
1. 平面向量基本定理给出了平行向量的另一等价的代换式,可以通过向量的运算解决几何中的平行问题.即判断两个向量平行的基本方法是,一个向量是否能写成另一向量的数乘形式.
2. 数轴上任一点P相对于原点O的位置向量的坐标,就是点P的坐标,它建立了点的坐标与向量坐标之间的联系.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 如果,那么与的关系一定是( )
A.相等 B.平行 C.平行且同向 D.平行且反向
2. 若,且,则四边形ABCD是( )
A.平行四边形 B.梯形 C.等腰梯形 D.菱形
3. “”是“且”的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
（二）填空题：
4. 若,那么与的关系是.
5. 在轴上,若,则=.
6. 已知:数轴上三点A、B、C的坐标分别是-5、-2、6,则=,=, =.
（三）解答题：
7. 已知:点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,求证:EF=HG.

向量的分解
一、高考要求：
理解平面向量的分解定理.
二、知识要点：
1. 平面向量的分解定理:设,是平面上的两个不共线的向量,则平面上任意一个向量能唯一地表示成,的线性组合,即.
2. 直线的向量参数方程：
(t为参数):①;②;③.特别地,当时,,此为中点向量表达式.
三、典型例题：
例1:如图,在△ABC中,M是AB的中点,E是中线CM的中点,AE的延长线交BC于F,MH∥AF,交BC于点H,设,试用基底、表示、、.

例2:如图,A、B是直线上任意两点,O是外一点,求证:点P在直线上的充要条件是:存在实数t,使.
四、归纳小结：
平面向量分解定理告诉我们:平面上取定两个不平行的向量作为基向量,则平面上的任一向量都可以表示为基向量的线性组合.于是,向量之间的运算转化为对两个向量的线性运算.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 如图,用基底向量、表示向量、、、,不正确的一个是( )
A.=+2 B.=2+3 C.=3+ D.=+3
2. 在平行四边形ABCD中,O是对角线AC和BD的交点,,则等于( )
A. B. C. D.
3. 已知平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点M,设,则用基底向量、分别表示、、、中,错误的一个是( )
A. B. C. D.
4. 若点P满足向量方程,当t在R内任意取值时,点P的轨迹是( )
A.直线OA B.直线OB C.直线AB D.一条抛物线
（二）填空题：
5. 已知O、A、B三点不共线,则用向量、分别表示线段AB的三等分点P、Q相对于点O的位置向量为.
6. 在△ABC中,DE∥BC,并分别与边AB、AC交于点D、E,如果AD=AB,,则用、表示向量为.
7. 正方形ABCD中,E为DC的中点,,则=.
8. 平行四边形的边BC和CD的中点分别为E、F,把向量表示成、的线性组合为.
（三）解答题：
9. ABCD是梯形,AB∥CD且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的中点,,求和.

向量的直角坐标
一、高考要求：
掌握向量的直角坐标和点的坐标之间的关系,熟练掌握向量的直角坐标运算,会求满足一定条件的点的坐标,掌握平行向量坐标间的关系.
二、知识要点：
1. 在直角坐标系XOY内,分别取与x轴、与y轴方向相同的两个单位向量、,在XOY平面上任作一向量,由平面向量分解定理可知,存在唯一的有序实数对,使得,则叫做向量在直角坐标系XOY中的坐标,记作.
2. 向量的直角坐标:任意向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标,即若A、B,则.向量的直角坐标,也常根据向量的长度和方向来求:.
3. 向量的坐标运算公式:设,则:
;;
.
三、典型例题：
例1:已知A(-2,1)、B(1,3),求线段AB的中点M和三等分点P、的坐标及向量的坐标.
例2:若向量,把向量表示为和的线性组合.
四、归纳小结：
1. 向量在直角坐标系中的坐标分别是向量在x轴和y轴上投影的数量,向量的直角坐标运算公式是通过对基向量的运算得到的.
2. 要求平面上一点的坐标,只须求出该点的位置向量的坐标.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 已知向量,向量,下列式子中错误的是( )
A. B. C. D.
2. 已知,则的充要条件是( )
A.B.C.且D.或
3. 已知点A(-1,1),B(-4,5),若,则点C的坐标是( )
A.(-10,13) B.(9,-12) C.(-5,7) D.(5,-7)
4. 已知点A(1,2),B(-1,3),,,则的坐标是( )
A.(-5,5) B.(5,-5) C.(-1,13) D.(1,-13)
5. 已知A(1,5),B(-3,3),则△AOB的重心的坐标为( )
A. B. C. D.
6. 已知向量,向量,则等于( )
A.(-1,-12) B.(3,-5) C.(7,-12) D.(7,0)
7. 已知=(-4,4),点A(1,-1),B(2,-2),那么( )
A. B. C. D.
8. 已知点A(1,2),B(k,-10),C(3,8),且A,B,C三点共线,则k=( )
A.-2 B.-3 C.-4 D.-5
9. 已知,,则x=( )
A.6 B.-6 C.D.
（二）填空题：
10. 设平行四边形ABCD的对角线交于点O,,,则的坐标是.
11. 已知,且,则p,q的值分别为.
12. 若向量与是方向相反的向量,则m=.
（三）解答题：
13. 已知,,实数x,y满足等式,求x,y.
14. 已知向量,将向量的长度保持不变绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置,求点的坐标.
(1) 向量=(-3,4)、=(-1,1),点A的坐标为(1,0).求;(2)若,求B点的坐标.

向量的长度和中点公式
一、高考要求：
熟练掌握向量的长度(模)的计算公式(即两点间的距离公式)、中点公式.
二、知识要点：
1. 向量的长度(模)公式:若,则;
若A,B,则.
2. 中点公式:若A,B,点M(x,y)是线段AB的中点,则.
三、典型例题：
例1:已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),求顶点D的坐标.
例2:已知A(3,8),B(-11,3),C(-8,-2),求证:△ABC为等腰三角形.
四、归纳小结：
向量的长度公式、距离公式是几何度量的最基本公式,中点公式是中心对称的坐标表示.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 已知向量=(3,m)的长度是5,则m的值为( )
A.4 B.-4 C.±4 D.16
2. 若A(1 , 3),B(2 , 5),C(4 ,2),D(6,6),则( )
A. B. C. D.
3. 已知平行四边形ABCD的顶点A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),则顶点D的坐标是( )
A.(0,4) B.(2,2) C.(-1,5) D.(1,5)
4. 已知点P的横坐标是7,点P到点N(-1,5)的距离是10,则点P的坐标是( )
A.(7,11) B.(7,-1) C.(7,11)或(7,-1) D.(7,-11)或(7,1)
（二）填空题：
5. 已知A(-3 , 4),B(4 , -3),则=,=,线段AB的中点坐标是.
6. 已知点P(x,2),Q(-2,-3),M(1,1),且,则x的值是.
（三）解答题：
7. 已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),求顶点D的坐标.
8. 已知点A(5,1),B(1,3),及,,求的坐标和长度.

平移公式
一、高考要求：
掌握平移公式,会求满足一定条件的点的坐标.
二、知识要点：
1. 平移是一种基本的几何(保距)变换,它本身就是一个向量.教材中有点的平移和坐标轴的平移
2. 在图形F上任取一点P(x,y),设平移向量到图形上的点,则点的平移公式为:.
三、典型例题：
例1:一种函数的图象F平移向量到的位置,求图象的函数解析式.
例2:已知抛物线F:经一平移变换为:,求平移变换公式.
四、归纳小结：
点的平移法则:函数y=f(x)的图象平移向量后,得到新图形的方程是:y-=f(x-).这就是说,在方程y=f(x)中,把x,y分别换成x-,y-,即可得到图象的方程.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 点A(-2,1)平移向量=(3,2)后,得到对应点的坐标是( )
A.(1,3) B.(1,-3) C.(-1,3) D.(-1,-3)
2. 将函数的图象F,平移向量=(-3,1)到图象,则对应的解析式是( )
A.B. C. D.
3. 将函数y=2x的图象,平移向量=(0,3)到,则的方程是( )
A.y=x B.y=2(x+3) C.y=6x D.y=2x+3
4. 将函数的图象右移个单位,平移后对应的函数为( )
A. B. C. D.
5. 将函数y=sin2x的图象平移向量得到函数的图象,则为( )
A.(,0) B.(,0) C. (,0) D. (,0)
6. 将方程x2-4x-4y-8=0表示的图形经过平移向量变换到x2=4y的图形,则=( )
A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3)
7. 函数的图象平移向量后得到函数的图象,则为( )
A.(2,1) B.(-2,1) C.(2,-1) D.(-2,-1)
（二）填空题：
8. 在平移变换下,点A(1,0)变为(4,3),则平移向量=.
9. F:抛物线经一平移变换到,其平移变换公式为.
10. 把图形F平移向量=(2,3)后得到图象,已知的解析式为,则F对应的函数解析式为.
（三）解答题：
11. 已知函数的图象为F,把F平移向量=(3,2)到图象,求图象的表达式.

向量的射影与内积
一、高考要求：
了解向量在轴上投影的概念,掌握向量在轴上投影的数量计算,熟练掌握向量内积的概念及其运算性质,初步掌握向量的应用.
二、知识要点：
1. 以x轴的正半轴为始边,以射线OA为终边的角,叫做向量的方向角.向量在轴上的投影数量为.
2. 两个向量,的内积揭示了长度、角度与向量投影之间的深刻联系:
(1) 两个向量的内积等于一个向量的长与另一个向量在这个方向上正投影数量的乘积,即
;
(2) 两个向量的内积等于这两个向量的模与它们夹角的余弦的积,即;
(3) 两个向量的内积是数量而不是向量.
3. 内积运算的性质:
(1)如果是单位向量,则; (2);
(3)或; (4); (5).
4. 向量内积的坐标运算与运算律:
(1) 向量内积的坐标运算:已知,则;
(2) 内积的运算律:交换律;结合律;
(3) 分配律.
三、典型例题：
例1:在直角坐标系xOy中,已知的方向角为60,的方向角为180,的方向角为300,且它们的长度都等于2.
(1)求,,的坐标; (2)求证:++=.
例2:已知,,求、、、.
四、归纳小结：
要求会根据已知条件,求向量在轴上的投影数量;能直接用向量的内积公式,求两向量的内积或夹角;会证明两向量互相垂直.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 下面命题正确的是( )
A.向量的方向角在[0,]之间 B.向量在x轴的正投影的数量总是正数
C.0≤≤≤,(是两个非零向量) D.两个向量的内积仍是向量
2. 若=0,则( )
A. B. C.或 D.
3. 四边形ABCD中,,,则四边形ABCD是( )
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
（二）填空题：
4. 已知=6,在方向上的正投影数量为-8,则=.
5. 若,,则=, =.
6. 已知=50,的方向与轴的正方向转角为135,则在上的正射影的数量是.
（三）解答题：
7. 在直角坐标系xOy中,已知的方向角为0,的方向角为120,的方向角为240,且它们的长度都等于5.
(1)求,,的坐标; (2)求证:++=.
8. 已知点A(2 , 1),B(3 , 5),C(-2 ,2),求证△ABC为等腰直角三角形.