高等电力系统之同步电机数学模型.doc

上篇 电力系统元件数学模型
1 同步电机数学模型
1.1 abc坐标下的有名值方程
1.1.1 理想电机
同步电机是电力系统的心脏，它是一种集旋转与静止、电磁变化与机械运动于一体，实现电能与机械能变换的元件，其动态性能十分复杂，而且其动态性能又对全电力系统的动态性能有极大影响，因此应对它作深入分析，以便建立用于研究分析电力系统各种物理问题的同步电机数学模型。
为了建立同步电机的数学模型，必须对实际的三相同步电机作必要的假定，以便简化分析计算。通常假定：
（1）电机磁铁部分的磁导率为常数，既忽略掉磁滞、磁饱和的影响，也不计涡流及集肤作用等的影响。
（2）对纵轴及横轴而言，电机转子在结构上是完全对称的。
（3）定子的3个绕组的位置在空间互相相差120º电角度，3个绕组在结构上完全相同。同时，它们均在气隙中产生正弦形分布的磁动势。
（4）定子及转子的槽及通风沟等不影响电机定子及转子的电感，即认为电机的定子及转子具有光滑的表面。
满足上述假定条件的电机称为理想电机。这些假定在大多数情况下已能满足实际工程问题研究的需要，下面的同步电机基本方程推导即基于上述理想电机的假定。当需要考虑某些因素（如磁饱和等）时，则要对基本方程作相应修正。
图1-l是双极理想电机的示意图，图中标明了各绕组电磁量的正方向。必须特别强调的是，后面导出的同步电机基本方程是与图1-l中所定义的电磁量正方向相对应的。
下面对图1-1中所定义的各电磁量正方向作必要的说明。定子abc三相绕组的对称轴a，b，c空间互差120º电角度。设转子逆时针旋转为旋转正方向，则其依次与静止的a，b，c三轴相遇。定子三相绕组磁链的正方向分别与a，b，c三轴正方向一致。定子三相电流的正方向如图1-1所示。正值相电流产生相应相的负值磁动势和磁链。这种正方向设定与正常运行时定子电流的去磁作用（电枢反应）相对应，有利于分析计算。而定子三相绕组端电压的极性与相电流正方向则按发电机惯例来定义，即正值电流从端电压的正极性端流出发电机，b相和c相类同。
转子励磁绕组中心轴为d轴，并设q轴沿转子旋转方向领先d轴90º电角度。在d轴上有励磁绕组f及一个等值阻尼绕组D，在q轴上有一个等值阻尼绕组Q。上述假定一般能满足多机电力系统分析的需要。对于汽轮机实心转子，转子q轴的暂态过程有时需用两个等值阻尼绕组来描写，即除了与次暂态（又称超瞬变）过程对应的时间常数很小的等值阻尼绕组Q外，还应考虑与暂态过程对应的时间常数较大的等值阻尼绕组g，该绕组在暂态过程中的特点与d轴的励磁绕组f对应，只是无电源激励。为简便起见，后面的分析将不考虑g绕组存在。q轴有g绕组时的分析可参考d轴的分析，并令励磁电压为零即可。

图1-1 双极理想电机的示意图

设d轴的f绕组、D绕组和q轴的Q绕组的磁链正方向分别与d轴、q轴正方向一致，f绕组、D绕组、Q绕组的正值电流产生相应绕组的正值磁动势和磁链，D阻尼绕组、Q阻尼绕组端电压恒为零（短路），励磁绕组电流由其端电压的正极性端流入励磁绕组，与稳态运行时方向一致，转子d轴在空间领先a，b，c三轴的电角度分别为，则

当讨论三角函数值时，或的两种表达形式有相同的值，因而后面将不加区分。
下面将以上述电机绕组结构及电磁量正方向定义为基础，导出a相、b相、c相坐标下同步电机有名值方程。方程中各变量及参数的单位均采用法定计量单位。
1.1.2 电压方程
由前面所设定子绕组电压、电流及磁链正方向，可写出定子各相绕组电压方程为
（1-1）
式中，p=d/dt，为对时间的导数算子；为定子各相绕组的电阻。电压单位为V，电流单位为A，电阻单位为，磁链单位为Wb，时间单位为s。
由前面所设转子各绕组的电压、电流及磁链正方向，可写出转子各绕组的电压方程为
（1-2)
式中，、、分别为f、D、Q绕组的电阻。
可把式（1-1）与式（1-2）合并，写成矩阵形式的abc坐标下的电压方程，即
（1-3）
式中，；

；
。
这里需特别注意的是式（1-3）中绕组矢量中的前3个元素前有负号，这是由于定子绕组端电压和相电流正方向按发电机惯例设定而引起的。
1.1.3 磁链方程
由图1-1所设定的各绕组电流及磁链正方向，可建立起绕组磁链方程，写成矩阵形式为

（1-4)可简写成
(1-5)
式（1-4）中为定子绕组的自感（对角元）和互感（非对角元）；为转子绕组的自感和互感；而和为定子绕组与转子绕组相互间的互感。电感单位为H。电感矩阵为对称阵。式（1-5）的各绕组电流矢量中的三项前面也有负号，这是由定子各绕组的正值电流产生相应绕组的负值磁链的假定引起的（参见图1-1）。式（1-5）的电流矢量定义可使电感矩阵中各元素符号与习惯的电感符号一致（如等等）。显然式（1-5）与式（1-3）中的定义一致，均为

下面分别讨论式（1-4）中各电感量的物理意义及数学表达式。
1.1.3.1 定子绕组自感（，和）
以定子a相绕组自感为例进行分析，b相、c相绕组和a相相似。由式（1-4）可知，定子a相绕组自感为

当转子d轴与a轴重合时，因为相应的磁阻最小，故（)产生的a相磁链达最大值，亦即当和时，达最大值。而当d轴与a轴正交，即q轴与a轴重合时，因为相应的磁阻最大，故（）产生的最小，亦即当和时，为最小值。
由上面分析和理想电机的假定可知，将以180º为周期，随d轴与a轴夹角的变化而呈正弦变化，且恒为正值。假定定子绕组自感中的恒定部分为，脉动部分幅值为（见图1-2），则
（1-6a)
同理可得
（1-6b)
式（1-6）中，从而，，恒为正值。为d轴领先于a轴的角度。对于隐极机，=0，从而====const.；对于凸极机，，则，，是随转子位置而变化的参数。
附录I给出了定子a相绕组电感的导出过程，供参考。

图1-2 定子a相绕组电感
1.1.3.2 定子绕组互感（,,,,,）
现以定子a,b相绕组间互感为例进行分析，其他的相绕组间的互感可以类推。定子a、b相绕组间互感定义为

且。
由于a、b绕组在空间互差120º（大于90º），故时，（参见图1-1），即，恒为负值。另外定子绕组间互感与自感相似，也与d轴位置有关，并以180º为周期呈正弦变化。可以证明当d轴落后于30º(＝－30º)或领先a轴150º（＝150º）时，达最大值；而=60º和=-120º时，达最小值。随的变化可参见图1-3。设的定常部分绝对值为，则可以证明在忽略漏磁时定子互感的脉动部分幅值与定子自感的脉动部分幅值相等，也为（见附录I），由前面分析可得（参见图1-3）
（1-7a）

图1-3 定子绕组互感
同理有
（1-7b）
式（1-7）中，从而定子互感恒为负值。同样地对于隐极机，由于=0，定子互感为常量；对于凸极机，则定子互感随转子位置而变。
1.1.3.3 转子绕组自感
由于转子各绕组自感所对应的磁路磁阻在转旋转中保持不变，故转子绕组自感均为常数，且由前面电流、磁链正方向的定义可知，转子自感均为正值。设
（1-8a)
同理，D绕组、Q绕组有
（1-8b）
1.1.3.4 转子绕组互感（
由于d、q轴互相正交，故d轴上的绕组与q轴上的绕组间的互感为零，即
* （1-9a)
而转子d轴上绕组f和D间的互感由于其所对应的磁路磁阻在转子旋转中保持不变，因此为常数，其值设为，即
（1-9b）
1.1.3.5 定子与转子绕组间的互感中元素）
先以a相为例讨论定子绕组与转子励磁绕组f 间的互感。由于转子的旋转，由图1-1可知，a相绕组与励磁绕组间互感将以360º为周期变化。当d轴正方向与a轴正方向一致时（=0º），a绕组与f 绕组的互感为正的最大值；当d轴与a轴正方向相反时（=180º），该互感为负的最大值。又由理想电机的假定可知，将按正弦变化，设其幅值为，则由上面分析可知
(1-10a)
同理
（1-10b)
同理可导出定子绕组与d轴阻尼绕组D间的互感为（设变化幅值为
（1-11)
以及定子绕组与q轴阻尼绕组Q间的互感为（设变化幅值为
（1-12)
式（1-12）中的幅角出现（，（，是由于当q轴分别与a，b，c轴一致时，即d轴分别落后于a，b，c轴时，相应的互感为正的最大值。
上面给出了式（1-4）中电感阵的全部元素的数学表达式，可以看到，在理想电机的假定下，可得出如下结论：
（1）定子绕组的自感和互感均以为周期，按正弦规律脉动变化，其脉动是由于转子凸极引起的，而且定子绕组自感和互感的脉动部分幅值在忽略漏磁通时相等，均为。定子绕组自感为正值，定子绕组互感为负值。
（2）转子绕组的自感，互感均为恒定值，f与Q或D与Q绕组间的互感由于d、q轴正交而为零，转子绕组f与D间互感及转子绕组自感均为正值。
（3）定子与转子绕组间的互感以为周期正弦变化，其脉动是由于转子旋转而引起的。应特别注意各电感量的变化周期及达到最大值、最小值时的转子位置，并从物理上根据对应的磁路磁阻大小加以解释。
由于L矩阵中有大量随转子位置而变化的参数，因此用abc相坐标来分析电机的暂态过程是十分困难的。
1.1.4 功率、力矩及转子运动方程
1.1.4.1 电机输出电功率的瞬时值
发电机三相输出瞬时电功率为
（1-13)
其单位为W。输出总电功率为三相绕组输出电功率之和。
1.1.4.2 电磁力矩瞬时值
若把同步电机绕组用集中参数的电阻、电感等值，又根据理想电机假定，电机为多绕组的线性电磁系统，可导出按发电机惯例电磁力矩瞬时值表达式为（详见附录II）
（1-14)
式中，为极对数；为定义与前相同，即为

L为式（1-5）中的电感矩阵；为转子旋转的电角度，实际取为d轴领先于a轴的电角度，单位为rad。力矩单位为N·m。
将磁链方程（1-4）和式（1-5）以及电感参数表达式（1-6）~式（1-12）代入式（1-14），可导出
（1-15)
1.1.4.3 转子运动方程
据牛顿运动定律转子运动方程为
（1-16）
式中，为原动机加于电机轴的机械力矩；为发电机电磁力矩，由式（1-15）计算，和单位均为N·m；为转子机械角位移，它和电角度（或）的关系为=，单位为rad；为转子机械角速度，与电角速度（或）之关系为=，单位为rad·s-1；J为转子的转动惯量，单位为kg·m2，手册中查到的转子飞轮惯量（GD2）单位一般为t·m2，则

当为整个转子（包括汽轮机或水轮机的转子）所受到的机械外力矩时，J应取整个转子的转动惯量。
稳态时=const.，。转子加速力矩为零，恒速运行。
实际分析时一般取电角度及电角速度为变量，则式（1-16）为（及的下标e从略）
(1-17)
1.1.5 小结
式（1-3）、式（1-5）、式（1-15）、式（1-17）构成了abc相坐标下同步电机的有名值方程，其中包括了6个电压微分方程：

6个磁链代数方程：

和2个转子运动微分方程：

上式中由式（1-15）计算，可以消去。以上共计14个方程，为8阶数学模型，其中含有变量为和。若考虑，，则实际变量为19个。因此，还需要有19-14=5个约束（或已知）条件方可求解。这5个约束（或已知）条件如下：为励磁系统输出电压，设为已知；为原动机输出机械力矩，设为已知；定子三相绕组与网络接口应有对应的3个网络方程（约束）与之联立求解。因此，总的方程数与变量数平衡，可以求数值解。
当计及a，b，c，f，D，Q绕组暂态及转子动态时，发电机abc相坐标下的有名值方程为8阶模型。由于电感参数的变化给abc坐标下的计算分析带来很大困难。因此实际分析同步电机时很少采用abc坐标，但由于abc坐标下的同步电机方程面向实际电机，物理上透明度大，概念清晰，是其他坐标下的方程的出发点，故予以详细介绍。
这里再次强调一下，这组同步电机方程是与图1-1的电磁量正方向假定相对应的。有些文献中取d轴领先q轴，或按正值定子绕组电流产生相应绕组的正值磁链而设定定子电流正方向等，则相应方程组中一些项的符号与本书将不相同，这点应特别注意。
1.2 派克变换
1.2.1 经典派克变换
上面在静止的abc坐标下观察同步电机的电磁现象。由于转子的旋转和凸极效应，造成了相应同步电机方程中存在大量变化参数，给分析和计算带来了很大困难。为了解决这个问题，通常根据同步电机的双反应理论，把定子abc三相绕组经过适当变换而等值成2个分别固定在d、q轴上，并与转子同步旋转的等值定子绕组，以后分别称为定子d、q绕组，这就是著名的派克变换。
当定子三相电流平衡，即时，3个电流中仅有2个独立，否则可再引入零轴分量，通常定义，从而定子相电流可经过派克变换一一对应地化为与转子同步旋转的定子d和q等值绕组电流和以及零轴分量。这里应指出，与对称分量法中的零序电流有本质区别，前者是瞬时值电流中的不平衡值，而后者是三相基波正弦电流相量中的不平衡值，不要混淆。本书中称之为零轴分量，以示区别。零轴分量电流对应的磁通属漏磁性质，对应的电抗属漏抗性质，因各相电流的零轴分量合成的空间磁动势恒为零，不产生跨气隙的磁通。
派克变换可以使我们通过等值变换，立足于d和q旋转坐标观察电机的电磁现象，从而能极好地适应转子的旋转以及凸极效应。经派克变换后所得的dq0坐标下的同步电机基本方程中的电感参数均为定常值，大大地有助于分析电机暂态过程的机理及有利于实用计算，从而在电机过渡过程分析及大规模电力系统动态分析中得到了广泛的应用。
下面介绍经典派克变换。先介绍空间磁动势矢量的概念，并由之导出派克变换的解析表达式。
1.2.1.1 空间磁动势矢量
实际三相电机定子绕组设计中，通过采用分布绕组和短节矩绕组，使每相绕组电流实际产生的空间磁动势沿气隙近似为正弦分布。在理想电机的假定下，忽略高次谐波成分，而只考虑正弦分布的基波磁动势，则a相绕组产生的空间磁动势分布如图1-4（a）所示（注意：图中画为集中绕组，且时，），并可展开画成图1-4（b）所示的沿气隙分布曲线。由图1-4（b）可知，与a轴夹角为处的气隙磁动势大小可表示为
（1-18）
磁动势单位为安培· 匝。上式中为a相绕组电流产生的空间正弦分布磁动势的幅值，与成比例。当时，；反之，则。为定子表面某空间位置与a轴正方向之夹角。由式（1-18）可知，当变化时，沿气隙正弦分布，且其最大值位于a轴。

图1-4 定子a相绕组产生的空间磁动势分布
(a) 空间磁动势分布；（b）展开曲线表示

为了便于进行空间矢量叠加分析，现定义一个空间矢量来表示上述空间分布的a相磁动势。空间磁动势矢量的方向永远沿着a轴方向，在a轴上的投影等于。亦即当时，，与a轴正方向一致，反之亦然。而沿气隙与a轴夹角为的某一点处磁动势大小，即由在该位的投影决定，并记作
（1-19a）
同理，b相、c相绕组产生的空间磁动势在沿气隙某一点（设与b轴夹角为，与c轴夹角为）的值分别为

与a相绕组相似，同样可定义相应的空间磁动势矢量和，它们分别在沿b轴及沿c轴的方向上，b相、c相绕组产生的空间磁动势在沿气隙某一点处的值也同样地分别由和在该位置上的投影决定，并分别记作,，即
（1-19b）
由空间矢量合成的概念可知，空间三相绕组综合形成的空间磁动势矢量（记作）可表示为
=++ （1-20）
则在空间领先a轴正方向为（电角度）的地方，有

在该处的三相综合磁动势大小可由投影计算
（1-21）
1.2.1.2 经典派克变换的导出
对于平衡的三相电流，即，如果用与转子同步旋转的d绕组、q绕组来等值原来静止的abc三相绕组，则等值的条件为二者形成的空间磁动势分布应完相同，亦即
=++=+ （1-22）
式中，和分别为虚构的与转子同步旋转的定子等值绕组d和q所对应的空间磁动势矢量，其定义完全和、、相似，惟一不同之处是分别沿着d轴、q轴方向，并随转子运行而同步旋转。
由于d轴、q轴互相正交，故分解成的与可直接用投影概念计算，亦即
（1-23）
式中，和是和在d轴、q轴上的投影；定义同前，分别为d轴领先于a轴、b轴、c轴的角度，、表示空间矢量在d轴、q轴上的投资（代数量）。将式（1-23）写成矩阵形式，并略去下标m，即为
（1-24）
下面对式（1-24）作必要的说明及讨论：
（1）式中的分别为,,,,在相应轴上的投影，是代数量（有大小、正负）。如使和满足式（1-24），则亦即满足了空间磁动势等价条件式（1-22）。
（2）式中分别为d轴领先a轴、b轴、c轴的电角度。再强调一下，这里取q轴领先d轴，否则式（1-24）中变换矩阵之第二行元素符号为正。
（3）若三相电流平衡，即，则三相电流有此约束，仅2个量独立，亦即中仅2个量独立，从而可惟一地转化为相应的和，而无零轴分量，否则要补入零轴分量。

理论上只产生漏磁性质的磁通，对空间磁动势无贡献，因为根据式（1-21）有

（4）在稳态对称运行时，在时间上互差120º相位，即有：
(1-25)
而电网角频率与转子电角速同步。若设t=0时，d轴与a轴重合，则有
(1-26)
将式（1-25）和式（1-26）代入式（1-24），可得
(1-27)
显然当F=1个单位时，即每相绕组空间磁动势最大幅值为1个单位时，其稳态对称运行合成的空间综合磁动势矢量幅值为单位，这给分析带来不便。产生这一现象的原因是由于，因此传统的派克变换要在式（1-24）变换矩阵前再加上一个因子，取为，以使合成的空间综合矢量幅值数值上仍为1，但这相当于采用了一个比原单位放大了倍的新单位进行度量的结果，这一点需予以特别注意。也就是说，当取
(1-28)
时，是用原单位度量的结果，而和是用原单位放大了倍的新单位度量的结果，只有这样，才与保持等价。
（5）对于其他物理量，如三相绕组电压、电流、磁链等，均可和磁动势采用相同的变换公式，导出式（1-28）的等价变换，只要把f改为，等即可。
（6）计入零轴分量后，完整的经典派克变换取为
(1-29)
或记作
(1-30)
其逆变换为
(1-31)
上式中经典派克变换的逆变换矩阵
(1-32)
（7）由式（1-32）可知，在已知和，且时，计算只需将和在相应轴a，b，c上的投影分别相加即可（参见图1-5），即

图1-5 经典派克变换对应的空间向量图

再根据=+ 可知，数值上即为在a轴上的投影，和类同。这一关系示于图1-5，这就是用式（1-29）所定义的经典派克变换的优点。
下面分别讨论定子三相加基波正序电流、负序电流及直流时，定子等值绕组d和q中电流的特点，从而加深对d和q等值绕组物理本质的理解。
当定子三相加基波正序电流，其角频率与转子电角速度相等时，与式（1-25）和式（1-26）相似，设t=0时，d轴与a轴重合，即
(1-33)
并设
(1-34)
则由派克变换得
(1-35)
即从d轴、q轴上看和是“静止的定常量”，对应的从d轴、q轴上看是静止的空间矢量，这是因为实际上以为角速度、与转子同步逆时针旋转，因此在定子三相绕组通基波正序电流，相当于在等值的d和q绕组中施加相应的直流。
同样地，当定子加三相基波负序电流，且电流角频率与转子电角速度相等时，可设
(1-36)
而表示式同式（1-33），则由派克变换得：
(1-37)
及
(1-38)
这是由于当定子加三相基波负序电流时，其合成的空间电流矢量幅值为，相对定子表面以角速度顺时针旋转，即相对转子以角速度2反向旋转，因此等值的d和q绕组电流角频率为2，即两倍频。
当定子三相加直流时，其合成的空间电流矢量是静止的，若转子以为角速度逆时针旋转，则相对转子以角速度反向旋转，因此等值的d和q绕组电流角频率将为。若设
(1-39)
表达式同式（1-33），则据派克变换得
(1-40)
在上面3种情况下，当电网频率与转子角速度均为时，等效的d和q坐标量与原来abc相坐标量均相差一倍角频，即相差，这是由于两个坐标系之间的相对速度为而引起的。
上面介绍了经典派克变换的导出过程，并进行了讨论。派克变换的最大特点是通过在d和q旋转坐标上观察电机电磁量，能更好地和转子旋转和凸极效应问题相适应。后面将导出用d和q坐标量来描写的同步电机数学模型，其相应的电感参数全部为定常值，从而大大有利于机理分析及数值计算。
1.2.2 正交派克变换
经典派克变换在变换中加入因子，已有相当长的使用历史，现在厂家的实用参数均是和经典派克变换对应的，因此目前仍在广泛应用。但应该指出，经典派克变换也存在两个缺点。其一，这个变换在功率上是不守恒的，也就是变换前后的定子量间有

其二，由派克变换将abc坐标下的同步电机有名值方程转换为dq0坐标下的有名值方程（见1.3节）时，对应的dq0坐标下有名值电感矩阵中有些互感不可逆，即。后面一个缺点将在标幺制基值选取中予以解决，从而使dq0坐标下标幺值方程中互感可逆。
为了解决前一个问题，一些文献上建议不采用经典派克变换，而采用正交派克变换，亦即对变换中引入的因子不用，而选取适当值，以便使相应的派克变换矩阵为正交阵，从而有，下标m表示修正的，下面对此作一介绍。
用经典派克变换，可得dq0坐标下的发电机输出功率计算式
(1-41)
由式（1-41）可知，使派克变换满足功率守恒的充要条件是派克变换应为正交变换，即
(1-42)
可求得满足此条件的正交派克变换为
(1-43)
正交派克变换克服了经典派克变换功率不守恒的缺点，同时由正交派克变换导出的dq0坐标下有名值方程中电感阵对称，即互感可逆，但它也存在一些缺点：
(1) 在电机方程及计算中常出现或系数，不利于分析计算。例如当定子三相加基波正序电流时，如式（1-34）相应的。
（2）零轴分量的定义式将为（f可为等等）

与传统习惯不一致。
此外，当采用厂家实用参数，而又同时采用正交派克变换时，要特别注意计算，以免出差错。
鉴于上述缺点，本书后面将不采用正交派克变换，而仍采用经典派克变换，并简称为派克变换。
1.3 dq0坐标下的有名值方程
派克变换使我们可以在旋转坐标系中观察同步电机的暂态过程，这将极大地有助于适应转子的旋转和凸极效应，从而有利于分析计算。本节将介绍怎样通过派克变换把同步电机abc坐标下的有名值方程转化为dq0坐标下的有名值方程，从而在dq0坐标上分析电机的暂态行为。
1.3.1 电压方程
对于abc坐标下的电压方程（1-3），可将定子、转子量分开，改写为
(1-44)
式中，，，f可为；
；
。
对式（1-44）两边左乘矩阵
(1-45)
其中，为派克变换矩阵（见式（1-29），I为单位阵，0为零矩阵，则式（1-44）可化为

即 (1-46)
式中 ；
，其中f可为u、i。
式（1-46）中前面的负号是由于dq0等值绕组的电流、电压正方向定义和abc绕组相似，也是服从发电机惯例的。下面讨论式（1-46）中这一项，将之化为dq0坐标下变量表示。由矩阵乘积的微分性质，有
(1-47)
由于
(1-48)
将式（1-48）代入式（1-47）得
(1-49)
将式（1-49）代入式（1-46），得dq0坐标下的名值电压方程为
(1-50)
式中，。
下面对式（1-50）作简要的说明。
(1) 式(1-50)右边第一项通常称为变压器电动势，是电磁感应效应引起的绕组电压。
(2) 式(1-50)右边第二项称为速度电动势。当转子静止()时，此项为零。这一项在abc坐标下没有，是因为在abc坐标下观察abc绕组，二者间是相对静止的。而当在旋转坐标系dq坐标上去观察静止的abc绕组时，二者间的相对运动引起了这一项。物理上速度电动势项反映了由于转子运动，使定子绕组切割磁力线而引起的电动势，它在定子、转子间能量交换中起主要作用。
(3) 式(1-50)右边第三项是欧姆电压项，反映了相应绕组的电阻压降。
1.3.2 磁链方程
abc坐标下的磁链方程(1-5)可改写为：
(1-51)
与电压方程相似，两边左乘矩阵

并在式(1-51)右边两矩阵间插入项，经整理后可得
(1-52)
上式中电感矩阵下标S和R分别表示定子和转子。
下面对式(1-52)中电感矩阵进行讨论。
(1)定子绕组的自感与互感。
据式(1-4)、式(1-6)和式(1-7)，可导出
(1-53)
式中
(1-54)
定义与式(1-6)和式(1-7)相同。分别称为同步电机d轴、q轴的同步电感。对于隐极机，从而。是对角阵，它反映了定子等值绕组d，q，0间的互感为零，是互相解耦的，而且是定常阵，不随转子位置而变化。
(2) 转子绕组的自感与互感。
由式(1-4)、式(1-8)和式(1-9)可知
(1-55)
式中，及定义同式(1-8)与式(1-9)。
(3) 定子绕组与转子绕组间的互感和。
由式(1-4)和式(1-10)~式(1-12)可得
(1-56)
(1-57)
以上二式中的定义同式(1-10)~式(1-12)。由于

说明了dq0坐标下同步电机有名值方程中定子、转子绕组间的互感不可逆，这个问题将在标幺制基值选取中予以解决。
由式(1-53)~式(1-57)可汇总得dq0坐标下电感矩阵为

(1-58)
相应的dq0坐标下磁链方程为
(1-59)
显然由式(1-58)可知，d轴上的绕组与q轴上的绕组间相互是解耦的(互感为零)。而零轴磁链为

与d轴、q轴各绕组完全解耦而独立。另外电感矩阵为定常稀疏矩阵，为分析计算提供了方便。式(1-59)中前面有一负号是由于负值定子绕组电流产生正值相应绕组磁链而引起的，故电感元素的符号与习惯相同，这点和abc坐标下的磁链方程相同。
1.3.3 功率、力矩及转子运动方程
1.3.3.1 功率方程
前面式(1-41)已导出dq0坐标下电机输出电功率瞬时值为
(1-60)
若将定子电压方程(参见式(1-50))

代入式(1-60)，可整理得
(1-61)
式(1-61)等号右边第一项反映了与变压器电动势对应的电机输出功率；第二项反映了速度电动势对输出电功率的贡献，其值即为跨气隙传输到定子的机电功率(参见后面力矩方程)；第三项是定子绕组的损耗。从功率平衡的概念可知这三项的代数和应为同步电机的输出功率。
1.3.3.2 电磁力矩方程
由abc坐标下的电磁力矩方程(1-15)出发，根据派克变换得
(1-62)
式中

式(1-62)说明了式(1-61)中的右边第二项的确为跨过气隙传到定子的机电功率，因为由式(1-62)可得

此即式(1-62)中的第二项。式中为机械速度。
1.3.3.3 转子运动方程
dq0坐标下的转子运动方程与abc坐标下的转子运动方程(1-17)相同，只是应按式(1-62)进行计算，即为
(1-63)
1.3.4 小结
上面我们根据派克变换把同步电机abc坐标下的有名值方程转换为dq0旋转坐标下的有名值方程，即式(1-50)、式(1-59)、式(1-62)及式(1-63)，其中包含了6个电压微分方程、6个磁链方程和2个转子运动方程，共14个方程，仍为8阶动态模型。与abc坐标下的方程相似，根据方程中的变量数，还需要5个约束条件或已知条件方可求解。它们是：励磁电压，设为已知；原动机输出机械力矩，设为已知；另外还有3个网络接口方程。机网接口分析时要注意接口处电量的dq0-abc坐标变换。由电压方程中的速度电势项及运动方程中电磁力矩的表达式可知，同步电机dq0坐标下的暂态方程(又称派克方程)是一组非线性的微分方程组。
由于dq0三轴间的解耦以及dq0坐标下的电感参数是常数，因而派克变换和同步电机派克方程在实用分析计算中得到了广泛应用。
1.4 同步电机标幺制
1.4.1 引言
与用归算到电机自身容量基值下的标幺值来计算相比，用有名值来进行同步电机分析有一些缺点，其主要表现在以下2个方面。（1）不同容量的电机其同一参数用有名值表示时数值相差很大，而用归算到自身容量基值下的标幺值表示则数值相对接近，且能反映该电机的物理特征。例如发电机的d轴同步电抗的标幺值一般在0.6～2.5左右，当较小时，反映该电机气隙较大，反之亦然。这样在使用标幺参数时，可根据其正常取值范围来判断参数是否有误，并了解相应电机的物理特性。（2）发电机定子电量与转子电量用有名值表示时往往差别很大，如定子电压可达上万伏，而转子电压只有几百伏，而当采用标幺值时，则相对较为合理。此外厂家出厂的参数一般是归算到发电机自身容量基值下的标幺值参数。对于多机系统，当采用公共容量基值时，只要对出厂参数进行容量折算，计算十分方便，也便于对计算结果作分析比较。由于上述原因，目前各种电力系统程序基本上都采用标幺值进行计算。
为了构造一个物理概念清晰、使用方便的同步电机标幺制系统，必须首先确定标幺制基值系统的选取原则。这些原则可归纳为以下3个方面。
原则一：标幺基值的选取应使各种电路或力学定律相应的有名值方程和标幺值方程形式相同，从而使同步电机标幺值方程和有名值方程有相同的形式。例如对于欧姆定律，有名值方程为
(1-64)
式中，单位分别为V，，A。根据原则三者基值的选取一般服从，下标B表示相应量的基值，从而

即 (1-65)
式中，下标*表示标幺值。显然标幺值方程（1-65）和有名值方程（1-64）的形式完全相同，而即为选取3个量的基值时必须满足的条件。
原则二：通过适当选取电感的基值，可解决同步电机dq0坐标下有名值方程中定子、转子绕组互感不可逆的问题，亦即使标幺值方程中互感完全可逆，相应电感矩阵为对称阵。
原则三：通过适当选取基值，使传统的标幺电机参数（如d轴、q轴同步电抗与和d轴、q轴电枢反应电抗与等）保留在标幺值电机方程中，这样可大大减少参数准备工作，且分析过程中物理“透明度”也大，使用方便。
根据上述3个原则进行基值选取的步骤为
（1）确定各绕组的公共基值。如电气频率的基值，电气角频率（角速度）基值，时间基值等。
（2）将同步电机绕组分为4个绕组系统，即定子abc（或dq0）绕组系统，励磁绕组（f）系统，d轴阻尼绕组（D）系统和q轴阻尼绕组（Q）系统。先假设各个绕组系统间相互独立，即无电磁耦合，从而对每个绕组系统任选电压基值及电流基值，再根据电磁定律及原则一导出该绕组系统的其他变量的基值。
（3各绕组系统间实际上相互是不独立的，有电磁耦合，并希望基值选取能保证标幺互感可逆，此即基值选取原则二。据此要求，可导出各绕组系统的电流、电压基值应服从的第一个约束，亦即标幺互感可逆约束。
（4） 根据基值选取原则三，还应使实用的标幺电机参数保留在标幺值电机方程中，因此各绕组系统的电流、电压基值还应服从第二个约束，即保留实用的标幺电机参数的约束。
根据上述4个步骤，即可完成全部基值选取工作。这里应当指出，满足上述各个原则的基值系统不是惟一的，这里只介绍最常用的一种，又称为基值系统。目前生产厂家给出的实用标幺参数一般均为基值系统下的参数。
1.4.2 各绕组的基值
1.4.2.1 同步电机各绕组的公用基值
取电网额定运行频率（又称工频）为频率基值（），在我国电网额定运行频率为50Hz，故
=50Hz (1-66)
相应地电角频率基值或电角速度基值为
rad/s (1-67)
对于时间基值，有些文献中采用1s作基值，这样做的优点是有名值时间即为标幺值时间，但是同步电机有名值方程化为标幺值方程时，有时会出现一些的系数（见1.5节），即标幺值方程和有名值方程形式上有不同，不注意时会造成差错。故本书除特殊说明外，不采用秒作基值单位。
本书采用的时间基值是这样定义的：将转子以为电角速旋转1rad所需要的时间定义为时间基值，又称为1rad时，亦即
(1-68)
由于，故时。或者说1s≈314rad时。这样取时间基值符合基值选取原则一，可使有名值方程转化为标幺值方程时形式完全不变，二者一致，惟一的缺点是采用的时间基值与习惯单位不同。
1.4.2.2 定子绕组（a，b，c或d，q，0 ）的基值
选定子绕组电流基值为
(1-69)
式中，下标a表示电枢绕组，可代表a，b，c或d，q，0中任一绕组；为发电机额定相电流的有效值，则为额定相电流的峰值。
选定子绕组电压基值为
(1-70)
式中，为定子额定相电压的有效值，为额定相电压的峰值。
由和，可根据基值选取原则一导出定子绕组的其他变量的基值。
定子绕组容量基值
(1-71)
定子绕组电阻、电抗及阻抗基值
(1-72)
根据，定子绕组自感基值可定义为
(1-73)
定子绕组磁链基值
(1-74)
应当指出：有名值电抗X在工频下相应的标幺值与电感L的标幺值相等，以后不加区分。可证明如下：

1.4.2.3 励磁绕组f的基值
先假定f绕组与其他绕组独立，而任选其电压和电流基值，以后再根据基值选取原则二与原则三确定和应服从的2个约束，从而最终合理地选择和。现假设和已选定，则可根据基值选取原则一，和定子绕组相似导出其他量的基值。
(1-75)
1.4.2.4 阻尼绕组D和Q的基值
阻尼绕组D或Q的基值选取与励磁绕组f完全相同，只要把式（1-75）中下标f分别换为D或Q即为绕组D或Q相应的基值，这里不予重复。
1.4.3 确保标幺值互感可逆的约束（第一约束）
由于各个绕组系统电磁上的耦合，事实上相互间是不独立的，为确保标幺值互感可逆，这就要对绕组间互感基值的选取提出一定要求。互感基值的选取一方面必须按原则一使有名值电磁量间的相互关系在标幺值条件下依然成立，另一方面应使标幺互感可逆。
下面以定子绕组和励磁绕组间的互感基值选取为例，加以说明。
根据定子绕组（下标为a表示电枢绕组，指a ,b，c或d，q，0中任一个绕组）与励磁绕组间互感有名