小学奥数知识点梳理-全(大字).doc

学而思小学奥数知识点梳理

一、计算4
1、四则混合运算繁分数4
2、简便计算4
3、估算5
4、比较大小5
5、定义新运算6
6、特殊数列求和6
7、大数计算：6
9、重复数字：324324324324=324×10010010016
10、头同尾和十6
11、452=20256
12、7×11×13 = 10016
37×3 = 1116
13、7的秘密：6
14、位值原理：7
二、数论7
1、奇偶性问题7
2、位值原则7
3、数的整除特征：7
4、整除性质7
5、带余除法=7
6. 唯一分解定理8
7、约数个数与约数和定理8
8、两数的约数也是两数差的约数；8
9、同余定理8
10．弃九法8
11．完全平方数性质8
12．孙子定理（中国剩余定理）见下8
13．余数应用8
14．辗转相除法---根本在于辗转相减9
15. 质数9
16．求最大公因数，最小共倍数9
17．数论解题的常用方法9
三、几何图形12
1、平面图形12
2、立体图形：长方体、正方体14
3、周长15
4、图形计数：15
5、图形分割和拼接15
6、一些特殊图形15
7、勾股定理15
8．曲线形图形16
9、一些特殊的图形：16
四、典型应用题17
1．植树问题17
2．方阵问题17
3．列车过桥问题18
4．年龄问题18
5．鸡兔同笼18
6．牛吃草问题18
7．平均数问题18
8．盈亏问题18
9．和差问题18
10．和倍问题18
11．差倍问题18
12．逆推问题18
13．代换问题19
五、行程问题19
1．相遇问题19
2．追及问题19
3．流水行船19
4．多次相遇19
5．环形跑道19
6．行程问题中正反比例关系的应用19
7．钟面上的相遇与追及问题。20
8．结合分数、工程、和差问题的一些类型。20
9．行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。20
10．发车间隔问题20
11．接送问题20
12．火车过桥：20
13．电梯问题20
14．猎狗追兔20
六、计数问题21
1．枚举法：21
2．标数法：21
3．加法原理：分类21
4．乘法原理：分步21
5．排列组合：21
6．容斥原理：21
7．对应法：21
8．抽屉原理：22
9．握手问题22
10．22
11．染地图，22
七、分数问题22
1．纯循环小数、混循坏小数，互换22
2．量率对应22
3．以不变量为“1”22
4．利润问题23
5．浓度问题23
6．工程问题23
7．按比例分配，23
8．分百问题23
9．在比的问题中：23
八、方程解题23
1．等量关系23
2．二元一次方程组的求解：就是消元的过程23
3．不定方程的分析求解24
4．不等方程的分析求解24
5．未知数24
九、找规律（操作与策略）24
⑴周期性问题，也叫循坏问题24
⑵数列问题24
（3）最值问题25
十、算式谜25
十一、数阵问题26
1．相等和值问题：26
2．数列分组，含数独26
3．幻方26
十二、进制27
十三、一笔画27
1、一笔画定理：27
2．哈密尔顿圈与哈密尔顿链27
3．多笔画定理27
4．怎么把不能一笔画的变成可以的：27
5．一笔画的实际问题，27
6．最值问题（4）最值问题：27
十四、逻辑推理27
1．等价条件的转换27
2．假设法27
3．列表法27
4．对阵图28
5．逆推法28
十五、火柴棒问题28
十六、游戏与对策问题28
十七、智力问题29
十八、构造与论证29
十九、解题方法29

前言
小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。
1、把条件翻成数学表达（图、式子等）
2、代数的思想，翻不出来用字母代
3、不会做的时候怎么吧，能做啥做啥

概述
遇到让找出所有数…..,不要害怕，肯定不是很多，找规律，静下心；
代数思想、逆推思想、归纳思想、猜证思想、分类分步思想、数形结合思想，我们告诉快速提分策略。
不知该怎么办时，枚举找规律

一、计算

必考题目
一般需要速算巧算

要先观察，看准了再动手！
和、差、积的个位都只和每个数的个位有关
能大巧算就大巧，不能大巧就小巧，实在不行来狠的（数少或小的时候，有时也许可以硬算）

数多或大时，硬算会出人命的，此时大都需要找规律。

1、四则混合运算繁分数
⑴ 运算顺序：
⑵ 分数、小数混合运算技巧
一般而言：
① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；
带分数的加减法常常整数和分数分开写；
② 乘除运算中，统一以分数形式。乘法变成假分数；
⑶带分数与假分数的互化
如果有大量的假可以化带，如果有大量的带，可以化假；
⑷繁分数的化简
(5) 要考虑整体约分、连续约分的概念；

2、简便计算
⑴凑整思想
互补就加、尾同就减、配对凑整、借来还去
分组凑整：（1）好多数，且中间有省略；（2）甚至可能打乱顺序，重组；（3）带着前面的符号
⑵基准数思想
⑶裂项与拆分
裂和：目的：两两相消；凑整
= +; = +=+
裂差：目的：两两相消
（1） 分子全部相同，最简单形式为1，不是1提取公因数
（2） 分母均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数首尾相接；
（3） 分母上的几个因数间的差是一个定值；

分数拆分：
= +
==+, m, n是10的约数就可以；选取m, n的比不同就可以分成不同的两个分数相加；这里有（1,2）（2,5）（1,10）（1,5）（1,1）

阶乘：考试考到阶乘通常是除法和逆运算乘法，乘法往上5！，想6, 5！×6 = 6！
除法考虑自己，想5，5！÷5 = 4!

⑷提取公因数
公因数不会明白地告诉，需要用找出来
如何找？用拆分，也就是乘不变的方法，目的是找公因数
* 迎春杯特点：
一定会考一题，一般是凑整求和、提取共因数；考提取公因数的可能比较大，但不会那么明显地给出公因数，需要拆分找出来；实在不会，低年级可以硬算。

⑸商不变性质
⑹改变运算顺序
① 运算定律的综合运用：交换率、结合率
② 连减的性质
③ 连除的性质
④ 同级运算移项的性质：
搬家带符号，加减括号，前面是－、÷是一定要注意
⑤ 增减括号的性质
⑥ 变式提取公因数
形如：
(7)换元
(8)通项归纳
找规律，从简单情况入手
目的：利用通项求解
解题步骤：
找最后一项，然后套公式（通常别算出来，当找不出规律时，再考虑算出来）
a. 1或2步上10阶楼梯，有多上种上法；
b. 几个圆或线或矩形吧平面分多少份
方法：看多一个图形，多几个点，看多一个点把新的图形分成几个部分，就多几个部分
线和圆把平面分成多少份，第一条线有问题，其他恢复正常；

3、估算
求某式的整数部分：扩缩法
4、比较大小
基本方法
① 通分
a. 通分母
b. 通分子
② 跟“中介”比，比如和1比
③ 利用倒数性质
若，则c>b>a.。形如：，则。
④ 浓度法
是真分数，必有 > ;
是假分数，且a≠b，必有 < ;

⑤ 做差：差与0比
⑥ 做商：商与1比
做商还是做差，看题目条件
放缩法
求整数部分
结构调整：以2的次方为标记点，划几个，董老师5年级下班9讲
> 向左划括号
< 向右划括号
两数：差小积大

5、定义新运算
ü 要理解新符号的运算规则
（普通题：告诉你规则，直接代入就好；牛题：新运算需要推导出来，方法：赵规律，通项归纳）
ü 理解运算顺序
没有特殊说明的话，（1）从左往右算，有括号先括号；（2）一个式子包含多个新符号，视这些新符号优先级相同
ü 运算率别乱用；
6、特殊数列求和
运用相关公式：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n
(a+b)2=a2+2ab+b2
7、大数计算：
找规律，可以先用小数算算找规律；凑9，99， 999 ……
9、重复数字：324324324324=324×1001001001
10、头同尾和十
（1）概念：两位数×两位数中，十位数字相同，个位数字相加为十
结果：积的后两位=尾×尾；积从百位起前面的数=头×（头+1）
例如：73×77=5621
（2）尾同头合十
概念：两位数×两位数中，个位数字相同，十位数字相加为十
结果：积的后两位=尾×尾；积从百位起前面的数=头×头+尾
例如：78×38=2964
11、452=2025
12、7×11×13 = 1001
37×3 = 111
13、7的秘密：
1÷7 = 0.142857
142857×1
142857×2 = 285714
14、位值原理：
一个数可以拆成每一位上的数值×位值

二、数论
知识点小而多，需要记忆的东西多。包括：整除问题；整除特征(小升初常考内容)；余数问题；奇偶问题；质数合数；约数倍数还有那个平方数的特征。

1、奇偶性问题
奇奇=偶 奇×奇=奇
奇偶=奇 奇×偶=偶
偶偶=偶 偶×偶=偶
两个数的和差奇偶性相同
连续乘法、除法，见偶得偶；
连续加法、减法，只数奇数的个数，奇数的个数是奇数，结果是奇；奇数的个数是偶数，结果是偶
2、位值原则
形如：=100a+10b+c
3、数的整除特征：
除法的封闭性
要不是下面这些特殊数，变成这些特殊数，可以变大、也可以变大。
末位：（2,5）（22, 55）（23, 53）；
数段和：（3,9）(99,33,11) (37, 111,333,999)
数段差：（7,11,13）
整除数
特 征
2
末尾是0、2、4、6、8；也说明能被2整除的数，其个位数字只能是偶数；
3
各数位上数字的和是3的倍数
5
末尾是0或5
9
各数位上数字的和是9的倍数
11
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数
4和25
末两位数是4（或25）的倍数
8和125
末三位数是8（或125）的倍数
7、11、13
末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数，偶数位与奇数位的差
99
从后往前，两位一段，各段之和是99的倍数，此数是99的倍数
4、整除性质
① 如果c|a、c|b，那么c|(ab)。
② 如果bc|a，那么b|a，c|a。
③ 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。
④ 如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
⑥ 6672□□这样的用试除法；
⑦ ()k÷（K-1），若（a+b+c）10 = (K-1)10×(n)10，则可整除，反之，余 =（余）10；
5、带余除法=
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r
6. 唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n= p1× p2×...×pk
7、约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n= p1× p2×...×pk那么：
n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
证明：关键是乘法原理
n的所有约数和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）
约数积：约数是成对出现的
例：12的约数积，1X12=12，3X4=12， 2X6=12 123
8、两数的约数也是两数差的约数；
（a,b）是a,b; a-b; a+b; [a,b]的约数；
9、同余定理
① 同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(mod m)
②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
余数相同：减同余
补数相同：加同补
10．弃九法
（1）自然数N和它的数字和除以9同余；
（2）在其他进制里同理：如7进制里，数N和它的各个数字和除以6同余
证明：位值法
11．完全平方数性质
①平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。
②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。
④平方和。
322 = 1024 是第一个四位数
992 = 9801 四位数里最大的四位数
332 = 四位数里第1个奇数
⑥ 一个完全平方数的个位数的个位数字一定是0,1,4,5,6,9
⑦ 完全平方数除以4的性质最重要，偶数除以4余0，奇数除以4余1，除以4余3一定不是完全平方数；
12．孙子定理（中国剩余定理）见下
13．余数应用
求某数、某式的末一位、二位、三位……是几？
（1）末一位，相当于求除10 = 2×5
末二位，相当于求除100 = 4×25
末三位，相当于求除1000 = 8×125
（2）以大化小
（3）找余数1：费马小定理：
如a÷p = …… (p-1)、P为质数；
则a2÷p = ……1

如(1) p 是质数，且a和p互质
则：则ap-1÷p = ……1

14．辗转相除法---根本在于辗转相减
例：求2010 2948 的最大公约数
2948-2010 = 938
2010-938 = 1072
1072-938 = 134
938-134 = 804
804-134 = 670
。。。
134-134 = 0
所以最大公约数是134。

15. 质数
（1）质数有无穷个，质数的分布有渐稀性，
（2）特别注意：质数中2是唯一偶数（奇偶性）；5（唯一一个末尾是5的质数）；
3两次余数，
（3）如果两个数互质，这两个数的和与其中任意一个数互质，差也是；
100以内的质数：101、103、107、109，
4位最小的质数：1009
1003=17X59
1007=19X53
（4）判断质数的方法
（5）制造连续合数
（
16．求最大公因数，最小共倍数
（1）分解质因数
（2）短除法
（3）分数：分子求正面，分母求相反；
（4）a×b = (a,b)×[a,b]
17．数论解题的常用方法
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计

中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。

　　公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余

三 ，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。也就是求同余式组x≡2 （mod3），x≡3 （mod5 ），x≡2 （mod7）（式中a≡b （modm）表示m整除a－b ）的正整数解。明朝程大位用歌谣给出了该题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。”即解为x≡2×70＋3×21＋2×15≡233≡23(mod105）。此定理的一般形式是设m = m1 ，… ，mk 为两两互素的正整数，m＝m1，…mk ，m＝miMi，i＝1，2，… ，k 。则同余式组x≡b1(modm1)，…，x≡bk(modmk)的解为x≡M'1M1b1＋…＋M'kMkbk （modm）。式中M'iMi≡1 （modmi），i＝1，2，…，k 。直至18世纪 C.F.高斯才给出这一定理。孙子定理对近代数学如环论，赋值论都有重要影响。

　　解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。
　　附：如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。
　　孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。
　　即题目的答案为 70×2+21×3+15×2
　　=140+63+30
　　=233
　　233-2×105=23
　　公式：70a+21b+15c-105n

（中国剩余定理CRT）设m1,m2,...,mk是两两互素的正整数，即gcd(mi, mj) =1, i≠j, i,j = 1,2,...,k
　　则同余方程组：
　　x≡b1 mod m1
　　x≡b2 mod m2
　　...
　　x≡bk mod mk
　　模[m1,m2,...,mk]有唯一解，即在[m1,m2,...,mk]的意义下，存在唯一的x,满足：
　　x≡bi mod [m1,m2,...,mk], i = 1,2,...,k

　　中国剩余定理”算理及其应用：
　　为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×1＋45×2＋36×4=274，因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。为了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120。使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。为了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。
　　例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。
　　例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？ 题中9、7、5三个数两两互质。则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）
关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。不懂论坛上有没人发过。小学奥赛考试时学习过，也用过，现在把方法写出来，如果懂的也别笑我，呵呵。例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7＋4＝46。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足“被6除余4，被7除余4”的条件。46＋42＝8846＋42＋42＝13046＋42＋42＋42＝172这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”4＋7＝1111＋7＝1818＋35＝53这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。大家可以试下. 所以：一共有5个 187 367 547 727 907
18、最值问题
考虑平均化和极端化
两数和一定，差小积大；
两数积一定，差小和小
三、几何图形

几何出题特点及趋势：
淡化几何几大模型的直接考察
勾股定理频繁现身几何题中
方程（组）作用非比寻常
欧拉公式 = 顶点 + 区域 = 边数 + 维数 – 1

1、平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=(N-2)×180°
⑵等积变形（位移、割补）
① 三角形内等底等高的三角形

② 平行线内等底等高的三角形

③ 公共部分的传递性
④ 极值原理（变与不变）
⑶三角形面积与底的正比关系

S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4（所谓蝴蝶模型）
⑷相似三角形性质（份数、比例）
①

; S1︰S2=a2︰A2

②（即所谓梯形蝴蝶模型）

S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ; S=（a+b）2

⑸燕尾定理

S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；
(6)共角定理

(7)差不变原理

知5-2=3，则圆点比方点多3。
(8)隐含条件的等价代换
例如弦图中长短边长的关系。
(9)组合图形的思考方法
① 化整为零
② 先补后去
③ 正反结合
④ 有时要求的无法求，可以用反面的方法，求外围然后减去
求面积，直接求
间接求：整体—部分；总×
不好求，放到一个大的图形中去求，方法:这个大的图形的面积好求，或者这个大的图形可以放到再一个大的图形中求，而这个更大的图形的面积好求
容斥法求解

(10) 长方形
a b

d c
a
d b

c

a×c = b×d a＋c = b＋d

（11）正方形：
说到正方形，就要想到等腰三角形，反之亦然
弦图：看到斜着放的正方形，就应该想到弦图
□□变成5个小正方形
作一个面积为5的正方形

（12）海伦公式
三角形的三边长分别为：a、b、c; p为半周长 = （a +b +c）/2
则三角形的面积S =
（13） 如果六边形对边相等，相隔一个顶点相连成的三角形的面积是六边形面积的一半
（14） 当求一部分比另一部分的面积大多少时，除了直接求出每部分相减外，应该可以考虑差不变得方法；
2、立体图形：长方体、正方体
⑴规则立体图形的表面积和体积公式
几个面，几个棱等要记清；
圆柱体的体积和表面积
圆锥体的体积和表面积
三棱柱的体积和表面积
⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体：V升水=V物
要先判断是否水上升超过了侵入的物体，然后再算升高了多少；
②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
求堆积体表面积的常见方法——三视图法，有些看不见的图要额外加上
求堆积体体积的常见方法——切片法

⑸染色问题（含染色再切块）
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
(6) 打洞题目

3、周长
（1）规则图形：
（2）不规则图形：平移，注意别有漏的，必要的时候要分析线段之间的关系、要加加减减，
4、图形计数：
容易数不全，方法：会分类
特别的：（6+5+4+3+2+1）×（4+3+2+1）

5、图形分割和拼接
（1）割：从数量和对称点入手（特别是当要求面积一样时）
（2）拼：看每条边的长度，相同长度的往一起拼，当然有时候可以是一条长边等于多条短边
（3）剪、拼：前后面积相等、要计算规划
6、一些特殊图形
完美长方形、弦图(对角线把长方形分成相等的两部分
记一些图形规律

7、勾股定理
（两直角边的平方和等于斜边的平方，
记的数据：3、4、5； 5、12、13；1、1、根号2

(1) 在平面几何中应用：
直线形，
曲线形（两园相切：园心相连过切点；两园相交）
折叠：（1）利用对称，用尽量少得未知数表述图中的线段
（2）勾股定理解方程；
(2) 立体几何中的应用：对角线AD2 = ( AC2 + BC2 ) + BD2
A
B
C
D

8．曲线形图形
（圆、扇形的周长与面积；平移、割补、旋转）
公式总结：
 圆的面积 ＝ 扇形面积＝
圆的周长 ＝ 扇形周长＝

9、一些特殊的图形：
（1）弓形：弓形通常只求面积，半圆是特殊的弓形；
弓形面积＝扇形面积－三角形面积（除了半圆）

（2）“弯角” ：弯角的面积＝正方形－扇形

（3）“谷子”：“谷子”的面积＝弓形面积×2

（5）圆环面积：环= （）
（6）
(7) “谷子”+

四、典型应用题
迎春杯特点：
* 不会那么明显、直接地出盈亏、鸡兔同笼、倍比关系，会有变形和复杂的关系或陷阱
* 画图时，对于卖掉、去掉、运走、增加一样多等从左边画；
* 高年级了，实在不好考虑，用方程做，一般求啥设啥为未知数（直接设），还可以间接设；

1．植树问题
①开放型与封闭型
②间隔与株数的关系
2．方阵问题
外层边长数-2=内层边长数
（即不论哪一层，每往里一层，每边差2，每相邻两层的总数差8）

（外层边长数-1）×4=外周长数
（即可以用螺旋法求每一层的总数，其他形状的队列也一样）

外层边长数2-中空边长数2=实面积数，
（即正方形、长方形的有时可以转换成面积）

3．列车过桥问题
①车长+桥长=速度×时间
②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间
③车长甲+车长乙=速度差×追及时间
列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题
车长=速度和×相遇时间
车长=速度差×追及时间
4．年龄问题
（1）牢记：年龄差不变；如果变了，一定有特殊的年龄情况，一定要找问题的关键，比如XX年没有某人没有出生等等；
（2）年龄增加数一样；年龄倍数是变的
5．鸡兔同笼
假设法的解题思想、方程的方法常常会更简单快，但解方程要准确，但可以两种方法进行检验
假设法：全都是一种动物。 如果有多种动物，可根据动物的特点先分成两种
砍足法
画图法
捆绑法（打包法）
换算法
6．牛吃草问题
原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间
7．平均数问题
无论什么平均，一定记得总的数量÷总的单位，才是平均
设数法
8．盈亏问题
假设法的解题思想、方程的方法常常会更简单快，但解方程要准确，但可以两种方法进行检验
公式法 : 分析差量关系
（盈＋亏）÷两次分配差
（盈—盈）÷两次分配差
（亏—亏）÷两次分配差
特别注意：一定的数量平均分给固定的对象时才能直接套公式，即：
（1）涉及三个量：被分配的总数、接受分配的人或物、分配原则（平均）；
原则：要保证“被分配的总数”、“接受分配的人或物”不变
方法：想办法把变的量变成不变的
（2）基本的盈亏问题可以用殷老师的画图的方法；
9．和差问题
10．和倍问题
11．差倍问题
12．逆推问题
还原法，从结果入手
倒推法（列图表、线段图）
吹气球法
逆推 ß--à归纳
13．代换问题
列表消元法
等价条件代换

五、行程问题

普通行程问题最基本的概念：路程和=速度和×相遇时间，所有的问题都来自于：
（1） S变：往返问题（ST图），环形跑道（一圈的概念）
ST图，即柳卡图，但遇到数字不好解的，考虑有没有其他方法
（2） V变：流水行程（水速），变速问题（差量）
解题时要考虑速度比，或者假设速度不变会怎样（比如S变为多少）
（3） T变：走走停停（分段），平均速度（总S/总T）
ü 线段图、方程、比列法都是常用工具，有时候可以转化成面积；
ü 三人以上相遇或追及：杀人，转换成两两相遇
ü 如果路程、时间和速度只告诉一个，或一个都没有告诉用设数法
ü 中点问题（陷阱）
ü 如果题目中未提示什么相遇，相遇包括迎面相遇和追及相遇；端点的相遇，即是迎面相遇又是追及相遇
（4）变道：判断相遇的大概位置，第一次的，和要求的那次的相遇的大概位置
1．相遇问题
路程和=速度和×相遇时间
2．追及问题
路程差=速度差×追及时间
3．流水行船
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，顺水速度和逆水速度和是两倍的船速；
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，顺水速度和逆水速度差是两倍的水速；
相遇：速度和= V甲+V乙船速，变速后分段考虑
追及：速度差= V甲－V乙船速，变速后分段考虑
说明：两船相遇、追及问题可以忽略水速，问一船的问题必须考虑水速；
掉东西，掉多久，追多久；
只有一个量（V、S、T）比例设数；

4．多次相遇
线型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数×2-1
环型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数
其中甲共行路程=甲在单个全程所行路程×共行全程数
5．环形跑道
6．行程问题中正反比例关系的应用
路程一定，速度和时间成反比。
速度一定，路程和时间成正比。
时间一定，路程和速度成正比。
7．钟面上的相遇与追及问题。
① 钟面介绍：钟面60格，1格6o，时针速度：1小时5格÷60分 = 格/分；
分针速度：1小时1格÷1分 = 1格/分；
分清是追及还是相遇；一般画个草图，选择整数点作为出发点；
② 追及问题：
（1） 时针、分针一次重合，与下一次重合间隔65；
0：00到12：00，时针、分针重合了11次（算头不算尾）：
12×60÷65= 11段
（2） 解题思路：数格子数（路程差）----〉找速度差----〉求时间
数格子的方向：由快到慢
应记得数：直线----〉直线
重合----〉重合65=
③ 相遇：找格数和（即路程和）、速度和；
④ 坏钟问题：坏钟 好钟
65格 60格
？格 5×60格
注意唯一反比：时间和速度
8．结合分数、工程、和差问题的一些类型。
9．行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。
10．发车间隔问题
间隔 = ？1（甲和车）
= ？2（乙和车）
= ？