专题中点的妙用初三数学.doc

专题——中点的妙用(初三数学)
方法专题:中点的妙用
联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么？
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；
3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；
4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；
5、有中点时常构造垂直平分线；
6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；
7、倍长中线
8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
中点辅助线模型
一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）
A． B． C． D．

N
M
B
O
C
A
二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
2、如图，在Ｒｔ⊿ABC中，∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△OMN的形状，并说明理由.

3、如图，正方形的边长为2, 将长为2的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为（ ）
A. 2 B. 4－
C. D.

三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”
4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）
如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？

5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）
如图所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，求DE的长

6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）
如图所示，AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE ，DF=EF，甲从B出发，沿着BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达F点？

7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）
如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于点O，，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.
求证：△SPQ是等边三角形。

四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）
8、如图：梯形ABCD中，∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,
E为AB中点，求证：DE⊥EC

9、如图甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B、C、G在同一直线上，M是AE的中点，（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明；
（2）将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明
A
B
C
D
F
G
E
M
图乙
图甲
B
A
C
E
D
F
G
M

B
D
C
A

五、有中点时常构造垂直平分线
10、如图所示，在△ABC中，AD是BC边上中线，∠C=2∠B.AC=BC。
求证：△ADC为等边三角形。

六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）
11、（1）探索：已知的面积为，
①如图1，延长的边BC到点D，使CD=BC，连接DA，若的面积为，则= （用含的代数式表示）
②如图2，延长的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE，若的面积为，则= （用含的代数式表示）
③在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD，FE,得到（如图3），若阴影部分的面积为，= （用含的代数式表示）
⑵发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到（如图4），此时，我们称向外扩展了一次。可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的 倍
⑶应用：如图5，若△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=AB，B1C= BC，C1A=CA，顺次连结A1，B1，C1，得到△A1B1C1. 第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1= A1B1，B2C1= B1C1，C2A1= C1A1，顺次连结A2，B2，C2，得到△A2B2C2，第三次操作… ，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少要经过　 　　次操作.

12、如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE，
求证：S△ABE=S四边形ABCD。

13、如图，M是ABCD中AB边的中点。CM交BDD
C
B
M
A
E

于点E,则图中阴影部分面积与ABCD面积之比为

14、如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于：A、 B、 C、 D、

七、倍长中线
15、如图，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：AB⊥AD

16、如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+AC>AD+AE

17、如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，
求证：△DEF为等腰直角三角形。

八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
18、半径是 5 cm的圆中，圆心到 8 cm长的弦的距离是________

19、半径为的圆O中有一点P，OP=4，则过P的最短弦长_________，
最长弦是__________，

20、如图，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。

21、如图，在⊙O中，直径AB和弦CD的长分别为10 cm和8 cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是_____.

22、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，
求：CD的长；

23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出A
B
C

滴水湖的半径。

倍长中线：
1．（2011平谷二模）24. 已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，
过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
D
F
B
A
C
E
图③
F
B
A
D
C
E
G
图②

② 遇到中点引发六联想
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
例1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于【 】
A． B． C． D．
分析：由AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边；由点M为BC中点，如果连接AM，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM是底边BC上的高线，这样就能求出三角形ABC的面积，而三角形AMC的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形AMC中利用三角形的面积公式，求可以求得MN的长。
解: 连接AM， ∵ AB=AC=5 , 点M为BC中点 ∴ AM⊥BC，
在直角三角形AMC中，AC=5，CM=BC=3, ∴ AM==4，
S△ABC= ×BC×AM=×6×4=12 , S△ACM= S△ABC =6；
∴ 6=×AC×MN， ∴ MN=. 所以，选择C。
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
例2、在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，
求证：四边形EFGD是等腰梯形。
分析：由点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，知道FG∥BC,FE∥AC，FE=AC，由直角三角形ADC，DG是斜边上的中线，因此，DG=AC，所以，EF=DG，这样，我们就可以说明梯形EFGD是等腰梯形了。
证明：∵ 点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点， ∴ FG∥BC ， FE∥AC，FE=AC，
∵ AD是三角形的高， ∴ △ADC是直角三角形，
∵ DG是斜边上的中线， ∴DG=AC， ∴DG=EF, ∴梯形EFGD是等腰梯形。
3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”
例1 求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。

已知：如图4所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
我们就自然联想到三角形的中位线定理，但是在这里，我们发现缺少三角形，因此，我们只要连接四边形的一条对角线，就出现我们需要的三角形了。
证明：连接AC，∵ E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
∴ EF∥AC ，EF =AC， GH∥AC，GH=AC， ∴ EF∥GH，EF=GH，
∴ 四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形
例4、如图6所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE。 求证：S△ABE=S四边形ABCD。
分析：如果直接证明，是不容易，联想到AD∥BC，点E是CD的中点，我们延长AE，与BC 的延长线交于点F，这样，我们就构造出一对八字型的三角形，
并且这对三角形是全等的。这样，就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上，问题就好解决了。
证明：如图7所示，延长AE，与BC 的延长线交于点F，
∵ AD∥BC， ∴ ∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，
又∵ 点E是CD的中点， ∴ DE=CE， ∴ △ADE≌△FCE， ∴ AE=EF，∴ S△ABE= S△BEF，
∵ S△BEF= S△BEC+ S△ECF= S△BEC+ S△ADE， ∴ S△ABE= S△BEC+ S△ADE，
∵ S△ABE+ S△BEC+ S△ADE= S四边形ABCD， ∴ 2 S△ABE= S四边形ABCD， ∴ S△ABE= S四边形ABCD。
5、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
例5、如图8所示，是⊙O的弦，点是AB的中点，若，，则⊙O的半径为 cm．
分析：由点C是AB 的中点，联想到圆的垂径定理，知道OC⊥AB，这样在直角三角形AOC中根据勾股定理，就可以求得圆的半径。
解：∵ 点C是AB 的中点， ∴ OC⊥AB， ∵ AB=8, ∴ AC=4
在直角三角形AOC中，AC=4,OC=3, ∴ OA==5(cm)，因此，圆的半径是5cm。
6、遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相等
例6、如图9所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于：【 】
A、 B、 C、 D、
分析：如果两个三角形有一个公共的高顶点，有一边在一条直线上，并且两个三角形的这个公共顶点，是这条共边线段的中点，那么，这两个三角形的面积相等。
解：如图10所示，连接BG， ∵ E是线段AB的中点， ∴ S△AEG= S△BEG=x， S△BGF= S△GCF=y，
设AB=2a，BC=2b， =2a×2b=4ab，
根据题意，得：2 y +x=×BC×BE=ab， 2x+y=×BA×BF=ab，∴ 2x+y=2y+x，即x=y=，
∴ 4x==， ∴ S四边形AGCD= ∴ 等于， 所以，选D。

几何必考辅助线之中点专题

专题性总结
² 中点专题
² 角平分线专题
² 截长补短专题

中点专题——看到中点该想到什么？
1．两条线段相等，为全等提供条件
2．中线平分三角形的面积

3．倍长中线

4．中位线

5．斜边上的中线是斜边的一半

【例1】(2008北京)如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC。若∠ABC＝∠BEF＝60°，
⑴探究PG与PC的位置关系及的值。

⑵将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图)。你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。

【例2】如图所示，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的延长线于F，
求证：MF＝(AC－AB)。

【例3】如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CD＝2CE，
求证：∠ACB＝2∠B。

中点专题——看到中点该想到什么？
1．两条线段相等，为全等提供条件
2．中线平分三角形的面积
3．倍长中线
4．中位线
5．斜边上的中线是斜边的一半

中点问题探究（1）
B
E
D
M
C
A
1、已知如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD的延长线于E，M是BC的中点，求证：ME=

B
F
G
O
E
C
D
A
2、已知如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，（1）判断EF和DG有何关系并证明；（2）求证：。

3、已知如图，在四边形ABCD中，EF分别为AB、CD的中点；
（1）求证：EF＜
（2）四边形ABCD的周长不小于EF的四倍
（3）EF交BD、AC分别于P、Q，若AC=BD，求证：△OPQ为等腰三角形。
P
Q
O
F
E
A
D
C
B
A

4、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E为CD的中点，求证：AE⊥BE。
E
D
C
B
A

5、如图，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分别为BC、AE的中点。
·
E
N
M
D
C
B
A
求证：MN∥AD

6、如图，以△ABC的AB、AC边为斜边向形外作Rt△ABD，和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE=α，M是BC的中点，（1）求证：DM=ME；（2）求∠DME的度数。
M
C
B
D
E
A

C
N
M
B
A
7、如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，求△ABC的周长。

中点问题探究（2）
8、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点。
O
G
F
E
D
C
B
A
求证：（1）BE⊥AC（2）EG=EF

D
E
C
B
A
9、如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD求证：CD=2EC。

10、点O是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中点D、E、F、G顺次连结起来，设DEFG能构成四边形。
（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当O点移动到△ABC外时，（1）的结论是否成立？画出图形，说明理由；
（3）若四边形DEFG是矩形，则点O所在的位置满足什么条件？试说明理由。
F
E
O
G
D
C
B
A

11、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形的高。
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）设AE=x，四边形DEFG的面积为y，求y关于x的函数关系式。
G
FA
E
D
C
B
A

12、（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B、C、G在同一条直线上，M为线段AE的中点，探究：线段MD、MF的关系。
F
E
G
C
B
A
M
D
（2）若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点，试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。
E
M
FA
G
C
D
A
B

图1 图2

13、已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AF为∠BAC的平分线，交BD于E，BC于F．
    求证：OE=FC．

2012中考数学专题复习5
图形的中点问题
一.  知识要点：
线段的中点是几何图形中的一个特殊点，与中点有关的问题很多，添加适当的辅助线、恰当地利用中点是处理中点问题的关键。
涉及中点问题的几何问题，一般常用下列定理或方法：
(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
(2)三角形中位线定理；
(3)等腰三角形三线合一的性质；
(4)倍长中线，构造全等三角形（或平行四边形）；
(5)平行四边形的性质与判定.
二.例题精选
1、若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三形底边的中点，则常过中点作中线，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质或“等腰三角形三线合一”的性质。

例1. 如图，已知△ABC中，∠B =90°，AB=BC,D在AB上,E在BC上，BD=CE , M是AC的中点，求证：△DEM是等腰直角三角形.
提示：连结BM,证明ΔBDM≌ΔCEM,得DM=ME，∠DMB=∠EMC,
则∠DME=,得ΔMDM为等腰直角三角形

2、三角形中遇到两边的中点，常应用“三角形的中位线定理”,若有一点是三角形一边的中点或梯形一腰的中点，则常过中点作中位线。

例2.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别交MN的延长线于E、F．
求证：∠DEN＝∠F．
提示：连结AC，作AC中点G，连结MG，NG。则MG=NG，MG∥BC，NG∥AD。∴∠MGN＝∠F ,∠GNM=∠DEN,∠MGN=∠GNM. ∴∠DEN＝∠F．

3、若有三角形的中线或过中点的线段，则通常加倍延长中线或过中点的线段，以构造两个三角形全等。

例3. 已知：如图2，AD为△ABC的中线，BE交AC于E，交
AD于F，且AE=EF，   求证：AC=BF
    提示：延长AD至G，使DG=AD，连结BG，则ΔBDG≌ΔCDA，∴AC=BG=BF

4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想或构造“X字型”全等三角形.

例4. 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为　　    　　　．    
提示：延长AD、FM交于点H，则AH=EF=3，DH=1=DF，
∴FH=
MF=

5、有关面积的问题中遇到中点，常用“等底等高的两个三角形面积相等”的性质。

例5.如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则=______________
提示：连接BG， ∵ E是线段AB的中点， ∴ S△AEG= S△BEG=x，   S△BGF= S△GCF=y，
设AB=2a，BC=2b，  =2a×2b=4ab，
根据题意，得：2 y +x=×BC×BE=ab，  2x+y=×BA×BF=ab，∴ 2x+y=2y+x，即x=y=，  ∴  S四边形AGCD=4ab-4x =    ∴ 等于，   

三.能力训练
1.       已知AD是△ABC的角平分线，AB＝10，AC＝6，CN⊥AD于N，且M是BC的中点.则MN的长为_________.
2.       顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个命题：
①若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形；
②若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形；
③若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；
④若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；
⑤若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90°；
⑥若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD．
以上命题中，正确的是(    )
A．①②    B．③④    C．③④⑤⑥    D．①②③④. 
3.       如图，在△ABC中，DC=4，BC边上的中线AD=2，AB+AC=3+，则S△ABC等于(    )
A．    B．      C．  D．
4.       如图，在□ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点,∠AEF=54°，则∠B=        .
第3题

5.       ABC中，AB=7,AC=3,则中线AD的取值范围是______________
6.       如图，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，BC上的中线AD=2，求BC的长.

7.       如图，已知△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G为垂足．求证：(1)G是CE的中点；(2)∠B=2∠BCE．

8.       在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．
请判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。  

9.        如图,在ΔABC中, ∠ABC=2∠C,AD⊥BC于D,E是AC中点,ED的延长线与AB的延长线交于点F,
求证:BF=BD

10.    如图, ΔABC中，角平分线BE与BC边上的中线AD互相垂直,并且BE=4，AD=6,求AB的长

四.思维拓展
11.    如图，四边形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD交于F，且F是BD的中点，O是AC，BD的交点，AF=2EF，△AOD的面积是3cm2，求四边形ABCD的面积．

12.    在图1，图2中，ABC和DEC都是等腰直角三角形。∠ACB=∠DCE=900，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点.
(1)如图1，点D,E分别在AC,BC的延长线上，求证：FGH是等腰直角三角形.
(2)将图1中的DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，FGH还是等腰直角三角形吗？若是,给出证明;若不是请说明理由.

13.    如图1.在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE(提示：参见例2).
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论。
问题二：如图3，在ABC中，AC>AB,D点在AC上，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若∠EFC=,连接GD,判断AGD的形状并证明.

14.    如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点,点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。
（1）设AE=时，△EGF的面积为,求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。

15.    如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.
（1）求点到的距离；
（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.
①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.

答案：
1.  2   2.B    3. D   4.  72°  5.   2<AD<5

6.  延长AD到E，使DE=AD，连结BE，∴AE=2AD=2×2=4. 
　 　     在ΔACD和ΔEBD中， 
　　      ∵ AD=ED，∠ADC=∠EDB， CD=BD， 
　　     ∴ ΔACD≌ΔEBD.     ∴ AC=BE，    ∴BE=AC=3.
　     　在ΔABE中，∵AE2+BE2=42+32=25=AB2，∴∠E=90°.
　     　∴ BD===.∴ BC=2BD=2         
7.      (1)连接DE，  则在Rt△ABD中，DE是斜边上的中线，
       ∴DE=BE=DC       ∵DG⊥EC      ∴G是CE的中点
(2）∵ DE=BE         ∴∠B=∠EDB   ,  ∠EDB=∠ECD+∠CED=2∠ECD
        ∴∠B=2∠BCE
8. 延长CE交BA的延长线于点G．
∵E是AD中点，∴AE=ED，
∵AB∥CD，∴∠CDE=∠GAE，∠DCE=∠AGE，
∴△CED≌△GEA，∴CE=GE，AG=DC，
∴GB=BC=3，∴EB⊥EC．
9. ∵E是AC中点, AD⊥BC  ∴DE=EC   ∴∠C=∠EDC=∠BDF
∵∠ABC=2∠C=2∠BDF, ∴∠BDF=∠BFD, ∴BF=BD
10 .作DH//BE，交AC于点H， ∴DH=1/2BE=2，∵BE平分∠ABC，AD⊥BE  ∴AF=FD=3
∵BE//DH   ∴FE=1/2DH=1  ∴BF=3,  AB=
11.  四边形AFCD是平行四边形，所以四边形AFCD的面积是12 cm2。
三角形FCD的面积是6 cm2。
∵F是BD的中点，∴△FBC的面积=△DFC的面积=6 cm2。
∵E为BC中点，∴△BEF的面积=△BCF面积的一半=3 cm2。
又∵AF=2EF，∴△BFA的面积=△BEF的2倍=6 cm2。
∴四边形ABCD面积 = 24 cm2
12. （1）FH∥AD且FH＝AD/2，FG∥BE且FG＝BE/2
∴FG⊥FH且FG＝FH
∴△FGH是等腰直角三角形
（2）连接AD、BE
易证得△ACD≌△BCE，∴AD⊥BE且AD＝BE，
可知FH∥AD且FH＝AD/2，FG∥BE且FG＝BE/2
∴FG⊥FH且FG＝FH
∴△FGH是等腰直角三角形
13.  问题一：OM=ON
问题二:△AGD是直角三角形．
证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=AB/2，∴∠1=∠3．
同理，HE∥CD，HE=CD/2，
∴∠2=∠EFC．
∵AB=CD   ∴HF=HE，∴∠1=∠2．
∵∠EFC=60°，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，
∴△AGF是等边三角形．
∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°
∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．
14、
15．解:（1）如图1，过点作于点
∵为的中点，∴
在中，∴
∴
即点到的距离为
（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．
∵∴
∵∴，
同理
如图2，过点作于，∵
∴
∴
∴
则
在中，
∴的周长=
②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．
当时，如图3，作于，则
类似①，∴
∵是等边三角形，∴
此时，
当时，如图4，这时
此时，
当时，如图5，
则又
∴
因此点与重合，为直角三角形．
∴
此时，
综上所述，当或4或时，为等腰三角形．

一.单选题(本大题共8小题， 共80分)

1.(本小题10分) 如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，
DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为(    )

· A. 9cm
· B. 14cm
· C. 15cm
· D. 18cm
核心考点: 平行四边形的性质  相似三角形的判定与性质  类倍长中线 

2.(本小题10分) 如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M，N分别是AB，BC的中点，于点P，则的度数为(    )

· A. 40°
· B. 45°
· C. 50°
· D. 55°
核心考点: 菱形的性质  类倍长中线  直角三角形斜边中线等于斜边的一半 

3.(本小题10分) 如图，正方形ABCD，正方形CGEF的边长分别是2，3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接FM，则FM的长为(    )

· A.
· B.
· C.
· D.
核心考点: 正方形的性质  全等三角形的判定与性质  类倍长中线 

4.(本小题10分) 如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．若，则AB的长为(    )

· A. 3
· B. 6
· C. 9
· D. 18
核心考点: 直角三角形斜边上的中线  等腰直角三角形  全等三角形的判定与性质 

5.(本小题10分) 如图，在矩形ABCD中，，BC=3，F为CD的中点，EF⊥BF交AD于点E，连接CE交BF于点G，则EG的长为(    )

· A.
· B.
· C.
· D.
核心考点: 勾股定理  相似三角形的判定与性质  类倍长中线 

6.(本小题10分) 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CF平分∠ACB交AB于点F，且BE，CF相交于点O，AG⊥BE于点G，AH⊥CF于点H．若AB=9，AC=14，BC=18，则GH的长为(    )

· A.
· B. 5
· C. 3
· D. 6
核心考点: 角平分线的性质  三角形中位线定理  全等三角形的判定与性质 

7.(本小题10分) 如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长为(    )

· A. 4
· B. 3
· C. 2
· D. 1
核心考点: 三角形中位线定理  全等三角形的判定与性质 

8.(本小题10分) 如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，
且始终保持EF∥AB．设线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长为(    )

· A.
· B.
· C.
· D.
核心考点: 梯形中位线  三角形中位线 

二.填空题(本大题共2小题， 共20分)

9.(本小题10分) 把一副直角三角板如图放置，已知E是AB的中点，连接CE，DE，CD，F是CD的中点，连接EF．若AB=8，则=____．

核心考点: 直角三角形斜边上的中线 

10.(本小题10分) 如图，在四边形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则____．

核心考点: 勾股定理  中点四边形 
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

1、如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D,E、F、G分别是AC、AB、BC的中点。
求证：四边形OEFG是等腰梯形。

2、如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点
求证：MN⊥DE

3、已知梯形ABCD中，∠B+∠C＝90o，EF是两底中点的连线，试说明AB－AD＝2EF

4、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。MN、AC的位置关系如何？证明你的猜想。