北师大版数学五年级上册知识点总结及配套练习.doc

北师大版数学五年级（上册）各单元知识点
第一单元 小数除法
1、 除数是整数的小数除法计算法则：
①除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除；
②商的小数点要和被除数的小数点对齐；
③如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”再继续除。
2、 除数是小数的小数除法计算法则：
①除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；
②除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的，在被除数末尾用0补足)；
③然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
3、在小数除法中的发现：
①当除数大于1时，商小于被除数。如：3.5÷5=0.7
②当除数小于1时，商大于被除数。如：3.5÷0.5=7
4、小数除法的验算方法：
①商×除数=被除数(通用)
②被除数÷商=除数
③被除数÷除数=商
5、 商的近似数：
①计算时，比要求保留的小数位数多除一位，再根据“四舍五入”法保留小数位数，求出商的近似数。例如：要求保留一位小数的，商要除到第二位小数就可以停下来；要求保留两位小数的，商除到第三位小数停下来……如此类推。
②在解决实际问题取商的近似数时，要结合实际情况用“去尾”法或者“进一”法。
6、循环小数问题：
①小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。如：0.37、1.4135等。
②小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。如：5.3……、7.145145……等。
③一个数的小数部分，从某位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。(如5.3……、3.12323……、5.7171……)
④一个循环小数的小数部分，依次不断重复的数字，叫做小数的循环节。
(如5.333……的循环节是3，4.6767…的循环节是67，6.9258258…的循环节是258)
7、用简写循环小数的方法：
①只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点。
例如：只有一个数字循环节的，就在这个数字上面记一个小圆点，5.333…写作；
有两位小数循环节的，就在这两位数字上面记上小圆点，7.4343…写作
有三位或以上小数循环的，在首位和末位记上小数点，10.732732…写作
8、除法中的变化规律：
①商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数( 0除外)，商不变。
②除数不变，被除数扩大，商随着扩大。
③被除数不变，除数缩小，商扩大。
配套练习题：
1、6.4÷0.004的商的最高位是在（ ）位上。
2、在括号里填上适当的数 
（  ）×0.8=3.32   0.175÷（  ）=0.25 2.024÷（ ）=20.24÷4
3、20÷3的商可以记作（    ），保留一位小数是（    ），7.59595……保留三位小数是（    ）。
4、两个数相除的商是5.3，如果除数不变，要使他们的商是53，那么被除数必须（     ）。
5、一个三位小数四舍五入后是4.38，这个三位小数最小是（    ），最大是（    ）。 
6、4.5时=（     ）分     1时15分=（       ）时
7、在3.14、、、3.144中，循环小数有（ ）个，最大的数是（ ）。
8、用竖式计算 
15.6÷0.25  9.6÷0.75  1.26÷18 0.756÷0.18
15 / 15
9、妈妈带6000元人民币到银行兑换泰铢，大约能换多少泰铢？（100泰铢兑换人民币19.67元）
10、循环小数0.425871425871……小数部分第1000位上的数字是几，前1000位的和是多少？
第二单元 轴对称和平移
轴对称：
1. 轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，那么这条直线就叫做对称轴。两图形重合时互相重合的点叫做对应点，也叫对称点。
2.轴对称图形的性质：对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。
3.轴对称图形具有对称性。
4.轴对称图形的画法：
（1）找出所给图形的关键点，如图形的顶点、相交点、端点等；
（2）数出或量出图形关键点到对称轴的距离；
（3）在对称轴的另一侧找出关键点的对称点；
（4）按照所给图形的顺序连接各点，就画出所给图形的轴对称图形。
平移：
1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2.平移的基本性质：
（1）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
（2）经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。
3.平移图形的画法：
（1）确定平移的方向与距离。
（2）将关键点按所需方向平移所需距离。
（3）按原来图形的连接方式依次连接各对应点并标上相应字母。
设计图案的基本方法：平移、对称、旋转
配套练习题：
1、 下列日常生活现象中，不属于平移的是（ ） 
A. 飞机在跑道上加速滑行 B.大楼电梯上上下下地迎送来客
C.时钟上的秒钟在不断的转动 D.滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑动 
2、判断题：
①线段不是轴对称图形。（ ）
②对称轴是一条线段。（ ）
3、能通过左边的图形平移得到的是哪个？是的打“√”。 

3、作图题：画下面图形的对称轴。

第三单元 倍数和因数
知识点：
像0，1，2，3，4，5，6，…这样的数是自然数。
像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数是整数。
（一） 因数与倍数
我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数，倍数与因数是相互依存的关系，要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
①概念：两个不为0的自然数相乘的积，是这两个自然数的倍数，这两个自然数是积的因数。如：4×9=36，那么36就是4或者9的倍数，4或者9就是36的因数。
②在1～100的自然数中，找出某个自然数的所有因数。
方法一：运用乘法算式，思考：哪两个数相乘等于这个自然数。（可以一对一对找）
方法二：用除法
例如 8 ，8÷1=8
8÷2=4
那么8的因数有：1、8、2、4
由此可知：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；
③找一个数的倍数的方法——用乘法
例如 8 ， 8×1=8 8×5=40
8×2=16 8×6=48
8×3=24 8×7=56
8×4=32 ……
那么8的倍数有：8、16、24、32、40、48、56、……
由此可知：一个数的因数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；
（一）2、5的倍数的特征
2的倍数的特征：个位上是 0 ，2 ，4 ，6 ，8 的数是2的倍数。
5的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数是5的倍数。
既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
（二）偶数和奇数的定义：
是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
（三）3的倍数的特征
3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
补充知识点：
6的倍数的特征：既是2的倍数又是3的倍数的数。
9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
4（或25）的倍数的特征：如果一个整数的末两位数字组成的数是4（或25)的倍数，那么这个整数就能是4（或25）的倍数。
（四）理解质数与合数的意义：
①一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
②一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。
【1既不是质数也不是合数】
1、 自然数中最小的偶数是0，最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4。
2、 1～100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
（五）互质：公因数只有1的两个非零自然数互质。
两个不同的质数一定互质，如2和3。
1和任意一个自然数（0除外）互质，如1和6。
相邻的两个自然数（0除外）一定互质，如1和2。
相邻的两个奇数一定互质，如1和3。
互质的两个数可以是一个质数、一个合数，如2和15。
互质的两个数，可以都是合数，如4和9。
（六）数的奇偶性
通过规律发现奇数、偶数相加奇偶性变化：
偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数
偶数-偶数=偶数 奇数-奇数=偶数 偶数-奇数=奇数 奇数-偶数=奇数
偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数
（记忆技巧：把偶数看做 0 ，把奇数看做 1 ）
配套练习题：
1、 因为60÷（ ）=（ ），所以（ ）和（ )是（ ）的因数，（ ）是（ )和（ )的倍数。
2、 有一个三位数15口，如果它是5的倍数，口里可以填（ ）；如果它是3的倍数，口里可以填（ ）；如果它同时是2，5的倍数，口里填（ ）。
3、 18=（ )×（ )=( )×( )=( )×（ )，所以18的因数有（ ）个，因数的个数是（ ）的，最大的是（ ），最小的是（ ）。
4、 在括号里填入合适的质数：
22=（ ）+（ ）=（ ）-（ ）； 27=（ ）×（ ）×（ ）
5、 有一堆棋子，2个2个数多1，3个3个数多1，5个5个数多1。这堆棋子最少有多少个?
6、 小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的很数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁?
第四单元 多边形面积
（一）比较图形的面积
知识点：
确定一个图形面积的大小，不仅是根据图形的形状，更重要的是根据图形所占格子的多少来确定。
（二）底和高：
1、认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。【高和底的关系是对应的】
①从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，对应的这条对边是平行四边形的底。
【平行四边形有无数条高】
②三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。
【三角形有三个顶点，所以三角形有3条高】
③从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是梯形的高，这条对边就是梯形的底。
【梯形有无数条高】
（三）用三角板画出平行四边形的高的方法：
把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一点。从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）就是平行四边形一条边上的高。
注意：从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。
（四）用三角板画出图形的高的方法：
把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点，另一条直角边与这个顶点的对边重合。
从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从顶点到垂足）就是三角形形一条边上的高。
（五） 探索活动
知识点：
两组对边平行且相等的四边形叫作平行四边形。
只有一组对边平行的四边形叫作梯形。
平行四边形的面积——【S平行四边形=拼成的长方形的面积】
长方形的长就是平行四边形的底；长方形的宽就是平行四边形的高。
因此：平行四边形面积=底×高
如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，那么，平行四边形的面积公式可以写成：
补充知识点：
当平行四边形的底和高相同时，其面积也是相同的。
三角形的面积——【S三角形=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2】
三角形的底和高，也就是平行四边形的底和高。
因此：三角形面积=平行四边形的面积÷2
=底×高÷2
如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么，三角形的面积公式可以写成：÷2
补充知识点：
决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状，而是三角形的底与高的长度，只要底和高相同，不同形状的三角形的面积也是相同的。
梯形的面积——【S梯形=两个相同梯形拼成的平行四边形的面积÷2】
梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。
因此：梯形面积=平行四边形面积÷2
=底×高÷2
=（上底+下底）×高÷2
如果用S表示梯形的面积，用a和b分别表示梯形的上底和下底，用h表示梯形的高，那么，梯形的面积公式可以写成：()h÷2
补充知识点：
决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状，而是梯形的上、下底之和与高的长度，只要上下底的和与高相同，不同形状的梯形的面积也是相同的。
配套练习题：
1、 一个等腰梯形的面积是20平方米，高是4米，下底是3米，上底是（ ）米。
2、 一个平行四边形面积60平方厘米，底10厘米，高（ )厘米，与它等底等高的三角形面积为（ ）平方厘米。
3、 将一个长方形的铁丝圈，拉成一个平行四边形，它的面积（ )原来长方形面积。
A.大于 B.小于 C.等于
4、 一个直角三角形的三条边分别为3分米、4分米和5分米，它们的面积是（ ）平方分米。 A、3×4÷2 B、3×5÷2 C、4×5÷2
5、 有一个平行四边形相邻的两条边分别为4厘米和6厘米，其中一条高是5厘米，这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米。
6、 有一个面积为100平方厘米的正方形，每边都增加5厘米，这个正方形的面积增加了（ ）平方厘米。
7、 求阴影部分的面积

第五单元 分数的意义
（一）分数的再认识
分数对应的“整体”不同，分数所表示的部分的大小或具体数量也不一样，也就是分数具有相对性。
（二） 分数的意义
把整体“1”平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示。分母是几，整体就被分成了几份，分子是几，就表示其中的几份。
把整体“1”平均分成若干份，其中的一份，用分数表示，叫作分数单位，例如：、、、、……
（三）分饼（分数的分类）
像、、、，…这样的分数叫作真分数。特点：分子<分母；分数值<1。
像、、、，…这样的分数叫作假分数。特点：分子≥分母；分数值≥1。
像，这样的分数叫作带分数。特点：由整数和真分数两部分组成的；分数值大于1。
带分数的读法：2读作：二又四分之一。
★补充知识点：
分子是分母倍数的假分数可以化成整数。
分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。
（四）分数与除法
理解分数与除法的关系：被除数÷除数=（除数不为0），a÷（b≠0）
分数的分母不能是0。因为在除法中，0不能做除数，因此根据分数与除法的关系，分数中的分母相当于除法中的除数，所以分母也不能是0。
运用分数与除法的关系解决实际问题，用分数来表示两数相除的商。
（五）假分数化成带分数——根据分数与除法的关系：
用分子除以分母，把所得的商写在带分数的整数位置上，余数做分数部分的分子上，分母保持不变。
带分数化成假分数的方法：将整数×分母+分子做分子，分母不变。
（六）分数基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
联系分数与除法的关系以及“商不变”的规律，来理解分数的基本性质。分子相当于被除数，分母相当于除数，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。因此分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小也是不变的。
运用分数的基本性质，把一个分数化成指定分母（或分子）而大小不变的分数。
（七）找最大公因数以及最小公倍数
公因数和最大公因数：几个数公有的因数是这几个数的公因数，其中最大的一个是它们的最大公因数。
公倍数和最小公倍数：两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做最小公倍数。
最大公因数的表示方法：（ A，B ）
最小公倍数的表示方法：[ A，B ]
找两个数的公因数和最大公因数的方法：
1、列举法：
①运用找因数的方法先分别找到两个数各自的因数；
②再找出两个数的因数中相同的因数，这些数就是两个数的公因数；
③再看看公因数中最大的是几，这个数就是两个数的最大公因数；
例如：找15和50的公因数和最大公因数：
15的因数有：1、15、3、5
50的因数有：1、50、2、25、5、10
公因数：1、5
最大公因数：5
2、筛选法：
先找出两个数中较小的数的因数，再看看这些因数中有哪些也是较大的数的因数，那么这些数就是这两个数的公因数，其中最大的就是这两个数的最大公因数。
例如：找15和50的公因数和最大公因数：
可以先找出15的因数：1、3、5、15，再判断4个数中，哪几个也是50的因数，只有1和5，那么1和5就是15和50的公因数，5就是它们的最大公因数。
3、分解质因数法：
用分解质因数的方法，分解15和50的质因数：

15=3×5 50=2×5×5
最大公因数=公有质因数的乘积=5
4、短除法：

5、特殊数字的最大公因数：
①如果两个数是连续的自然数（0除外），那么这两个数的公因数只有1；
②如果两个数具有倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数；
③偶数与所有奇数的最大公因数是1；
④如果两个数互质，那么这两个数的最大公因数就是1；
找两个数的公倍数和最小公倍数的方法：（与找最大公因数的办法雷同）
两个数公倍数的个数是无限的，因此只有最小公倍数没有最大的公倍数。
1、 列举法：
①先找出两个数各自的倍数（限制一定的范围内），
②再找出公有的倍数，
③再看看这些公倍数中最小的是几，这个数就是两个数的最小公倍数。
例如：找6和9的公倍数和最小公倍数：
6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48……
9的倍数有：9、18、27、36、45……
公倍数：18、36、……
最小公倍数：18
2、 筛选法：
先找出两个数中较大的数的倍数（限制一定的范围内），再看看这些倍数中有哪些也是较小的数的倍数，那么这些数就是这两个数的公倍数，其中最小的就是这两个数的最小公倍数。
例如：找6和9的公倍数和最小公倍数：
（50以内）可以先找出9的倍数（50以内）有：9，18，27，36，45，再从这些数中找出6的倍数18，36，18和36就是6和9的公倍数，18是最小公倍数。
3、 分解质因数法：
用分解质因数的方法，分解6和9的质因数：
6=2×3 9=3×3
最小公倍数 = 公有质因数的乘积×独有质因数的乘积
= 3×2×3=18
4、 短除法：

5、特殊数字的最小公倍数：
①如果两个数是不同的质数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
②如果两个数是连续的自然数（0除外），那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
③如果两个数具有倍数关系，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。
（八）约分
理解约分的含义：把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫做约分。
理解最简分数的含义：像这样分子、分母公因数只有1了，不能再约分了，这样的分数是最简分数。
约分的方法一般有两种：
①一种是用两个数的公因数一个一个去除；
②另一种是直接用两个数的最大公因数去除。
补充知识点：
比较分数大小时，分母相同的、分子相同的可以直接比较，有些时候分子分母都不相同可以采用约分后进行比较的方法。例如：○
（九）分数比较大小
①数形结合：

②分母相同，分子大的就大；
③分子相同，分母小的就大；
④通分比较大小
理解通分的含义：把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫作通分。
★通分的两个要点：①分数值与原来分数相等；
②分母相同；
通分的方法：
①先求出原分数分母的最小公倍数
②然后根据分数的基本性质
③把分数化成分母是最小公倍数的分数
（通分一般以最小公倍数作分母）
⑤比补数：（与1或者的差值进行比较大小，间接判断数的大小）
例如：和 1
1
﹥（更接近于1）
所以：<
配套练习：
1、 米表示把（ ）平均分成（ ）份，表示有这样（ ）份；也可以表示把（ ）平均分成（ ）份，有这样的（ ）份。
2、 把7糖平均分给8个小朋友，每个小朋友分到这些糖的（ ），每个小朋友分到（ ）。（用分数表示）
3、 （ ）÷（ ）（ ）÷12.6
4、 分母是5的最简真分数有（ ）个，它们的和是（ ）。
5、 在O里填上“>”“<”或“=”。
O O O O
6、 一个分数的分子比分母小8，约分后是，这个分数是（ ）。
7、 在、、、、中，是最简分数有（ ）个。
8、判断：大于而小于的分数只有3个。 （ ）
9、先通分，在按照从小到大的顺序排列。
（1）、和
10、同学们分组参加植树节活动，每8人一组或每14人一组，都没有剩余，已知该班的人数在30人至60人之间，该班有学生多少人？
11、2×2×3×5×7 2×2×2×5×11
（A，B）= [A，B]=
第六单元 可能性、鸡兔同笼
1、图形中的规律
在摆n边形的活动中，摆第一个需要n个小木棒，其余的只需n－1个小木棒，找点阵中的规律 ，要找到点数与点阵序号的关系
2、鸡兔同笼
①运用“假设举例与列表”的方法解题时，其中列举法就是各取总数的一半，或近似一半；
②用假设法解鸡兔同笼问题时，假设算出的腿数与实际腿数的差值除以2就是兔子的个数
3、等可能性和游戏公平性
可能性相同，游戏规则才公平
4、数量和可能性大小的关系
事件发生可能性的大小能反映出物体数量的多少，可能性越大，对应的物体数量越多；可能性越小，对应的物体数量越少
数学公式及运算律
一、运算定律：
1、加法交换律： 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即 。
加法结合律： 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（)() 。
乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a××a。
乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)××(b×c) 。
乘法分配律： 两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即()×××c 。
2、减法的性质：
从一个数里连续减去几个数，等于从这个数里减去所有减数的和，差不变，即() ；
一个数减去一个数再加上一个数，等于减去这两个数的差() 。
3、除法的运算性质：
a÷(b×c) = a÷b÷c； a÷(b÷c）÷b×c ；
（)÷ a÷÷c； （)÷ a÷÷c
二、分数四则运算法
1、分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变；异分母的分数相加减，先通分，然后再加减；带分数加减，把整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
三、平面几何图形的周长和面积
名称
字母意义
特征
周长C、面积S公式
正方形
a—边长
四条边都相等，
四个角都是直角
正方形的周长=边长×4 公式：4a
正方形的面积=边长×边长 公式：2
长方形
a—长
b—宽

两对边相等，
四个角都是直角
长方形的周长=（长+宽）×2
公式：（）×2
长方形的面积=长×宽
公式：×b
平行四边形
a—底
h—高
两组对边分别平行且相等
平行四边形的面积=底×高
公式： a×h
三角形
a—底
h—高
有三条边和三个角
三角形的面积=底×高÷2。
公式： a×h÷2
梯形
a—上底
b—下底
h—高
只有一组对边平行
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
公式：（）h÷2