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高等数学精品课教案

高等数学精品课教案

摘要：一个量无论多么小,都不能是无穷小,零唯一例外.当...的导数的相关公式和运算法...设均可导,则(1);(2)(为常数);(3)30.复合函数的求导法则设,均可导,则复合...
关键词：论,算法,导
类别：专题技术
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《高等数学》精品课教案
课 题：§1.1函数及其性质
教学目的：1.理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值
2.了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义
教学重点：初等函数的概念、图形及性质
教学难点：分段函数的概念
课 型： 讲授课
课 时：2课时
教学过程
一、导入新课
在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，我们观察下面几个例子：
例如：某种商品的销售单价为元，则其销售额与销售量之间存在这样的依赖关系：=
又例如：圆的面积和半径之间存在这样的依赖关系：
不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质。
二、讲授新课
（一）函数的定义
定义 设有两个变量x，y。对任意的x∈D，存在一定规律f，使得y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数。记作(x)，x∈D。其中x叫自变量，y叫因变量。
定义10 （集合的观点）A，B为两个数集，对任意的x∈D，存在f，在B中有唯一确定的值与之对应。记作：f：A→B
函数两要素：对应法则、定义域（有的可直接看出，有的需计算），而函数的值域一般称为派生要素。
例1 f(x)=2x2+31就是一个特定的函数，确定的对应法则为：
f( )=2( )2+3( )-1
例10：设f(1)=2x2+31，求f(x).
解：设1得1，则
f(t)=2(1)2+3(1)-1=2t22
∴f(x)=2x2 – x – 2
其对应法则：f( )=2( )2 - ( ) -2
定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点：
①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0 ④0 (x≠0 ) ⑤(x≠)等.
例2 求函数的定义域.
解：要使函数有定义，即有：

于是，所求函数的定义域是：[-3，-2][3，4].
小结：函数有两要素：定义域和对应法则，即只要这两样定了，函数就定了，所以我们判断两个函数是否是同一函数就有依据了。
例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？
（1）2与2 (2)ω=与
解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数.
（2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数.
函数的表示法：
（1）解析法（或分析法、公式法）。如：、，这样的表达式亦为函数的解析式，这种表示法的主要优点是严密；
（2）图示法：如用直角坐标（或极坐标等）平面的一条曲线表示，这种表示法的主要优点是直观；
（3）表格法：如三角函数表、对数表、正态分布表等，这种表示法的主要优点是能进行函数值的查询。
分段函数
若函数在定义域不同的区间上用不同解析式来表示，则称函数为分段函数.如
（二）函数的几种特性
要研究函数，首先函数必须要有意义，假设f(x)在区间上有定义。
1、 有界性
若存在两个数A和B，对一切，则称为有界函数．例如：，在全数轴上均有界，而在（0，1）内无界.
思考：在定义域内，下列函数中哪些有界？

2、单调性
对 ，若对任意两点 时有 ，则称函数 在上单调增加，区间称为单调增区间；反之，函数 在上单减少，区间称为单调减区间．单调增区间或单调减区间统称为单调区间
例如在其定义域区间内均为单调函数。
3、奇偶性
对 ，若则称为奇函数；若成立，则称为偶函数。奇函数的几何图形关于原点对称，而偶函数的几何图形关于轴对称．例如：函数是偶函数。例如：函数是奇函数。例如：函数既不是奇函数也不是偶函数。
4、周期性
对 ，若存在常数 ，对任何x，满足
则称 为周期函数， 的一个周期．  例如，函数，的周期均为，的周期为。而（是一个常数）是以任何正数为周期的周期函数，但它不存在基本周期，所以说，并不是所的周期函数都存在基本周期（最小周期）。
（三）反函数
定义 函数(x)，若把y当作自变量，x当作函数，则由关系式(x)所确定的函数x =φ(y)称为函数(x)的反函数,记作 -1(x).
注：求函数的反函数的一般方法是将关系式经过一系列的变换，变成的形式，最后再表示成的形式。
三、课堂练习
思考题 1、3
四、小结
理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值；了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义；掌握基本初等函数的图形和性质.
五、布置作业
习题一 1、2、4、5、7、8.
选做：3、6

课 题：§1.2函数及其性质
教学目的：1.掌握基本初等函数的图形和性质
2.理解复合函数的概念
3.掌握复合函数的构成过程
教学重点：复合函数的构成
教学难点：复合函数的分解及反三角函数的图象
课 型： 讲授课
课 时：2课时
教学过程
一、导入新课
前面一节课讲了函数的定义，函数的性质、两要素和反函数，说到反函数有必要再讲讲反函数的图象，特别是反三角函数的图象。
1、什么样的函数才有反函数，为什么？
答：一一对应的函数才有反函数，因为从函数的定义知，函数(x),对任意的x有唯一
的y与之对应。反函数是自变量和因变量互换，所以对任意的y也应有唯一确定的x与之对应，函数 (y)才有意义。所以只有一一对应的函数才有反函数。
2、问题出现：对正弦函数和余弦函数，不是一一对应的函数，为什么会有反函数？
答：取一个周期，取[ — ， ]，
原函数 ，x[ — ，]，y[—1，1]
反函数，x[—1，1]，y[ — ，]
二、讲授新课
（一）基本初等函数
常数函数：(c为常数)
幂函数： （为常数）
指数函数：(a>0，a1，a为常数)
对数函数：(a>0，a1，a为常数)
三角函数：
反三角函数：
（二）复合函数
定义 设其中，且的值全部或部分落在的定义域内，则称为的复合函数，而称为中间变量.
简单说：几个基本初等函数的组合
例1：若，u = ，则其复合而成的函数为
，要求u必须0，0，x[2k，+2k]
例2：分析下列复合函数的结构
（1） （2）
解：（1），，
（2），，，1
例3：设f(x)= g(x)= 求f[g(x)] g[f(x)]
解：f[g(x)]()=()=4 g[f(x)]()=2
注：此题用“整体代换”的思想.
（三）初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤构成，且可用一个解析式表示的函数，叫做初等函数，否则就是非初等函数。
例：双曲正弦函数 =
双曲余弦函数 =
双曲正切函数 =
注：分段函数一般不是初等函数
三、课堂练习
习作题 1、2 9、10、11、17、25、26
四、小结
掌握基本初等函数的图形和性质，理解复合函数的概念，掌握复合函数的构成过程.
五、布置作业
习题一 12、13、14、15、18、19、
选做：24、29

课 题：§2.1极限的概念
教学目的：1.理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
2.熟练掌握和时f(x)的极限存在的充要条件
3.理解无穷大、无穷小的概念，
4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限
教学重点：函数极限与数列极限的概念；无穷大量与无穷小量的概念及性质.
教学难点：1.函数极限的定义及、的含义
2.分段函数在时的极限的讨论方法
3.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用
课 型： 讲授课
课 时：2课时
教学过程
一、导入新课
1.写出下列函数的复合过程
（1） （2）
思考：若，当无限的靠近1时，值怎样变化？
二、讲授新课
（一）函数的极限
（1）定义 函数(x)，当自变量x无限接近于某个目标时（一个数x，或+或—），因变量y无限接近于一个确定的常数A，则称函数f(x)以A为极限。
规定： x从x的左右两侧无限接近于x,记x x
x从x的左两侧无限接近于x,记x x
x从x的右两侧无限接近于x,记x x
x无限增大时，用记号x +
x无限减小时，用记号x —
无限增大时，用记号x
（2）点x的邻域
N(x，)=(x—，)，其中很小的正数，
X的去心邻域N(，)=.
1、 x x时函数的极限
举例说明：x 1时，函数无限接近于多少？
观察：当：x 1时，f(x)1，无限接近2
当：x 1时，g(x)=，无限接近2
f(x)在1有定义，g(x)在1处无定义
定义1 如果当x x时,函数无限趋近于一个确定的常数, 则称为函数当 x x时的极限,记作f(x)或 (当 x x时).此时也称存在。如果当x x时, 函数不趋近于任何一个确定的常数,则称不存在。
如 ： ，又如= 2
注意 ： f(x)=在 处无定义, 但当 时,函数f(x)=无限趋近于一个确定的常数2,所以=2。
结论：函数当 x x时的极限是否存在，与在点处是否有定义无关.
如上举例f(x)=在 处无定义, 但 = 2.
定义2 右极限 当x x，有
定义3 左极限 当x x，有
函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。
定理1 [极限存在的充分必要条件]
函数 当时的极限存在的充分必要条件是，当时的左右极限都存在并且相等.即
注：求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。
例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限
⑴ （当时） ⑵ （当时）
解：⑴ ∵ ，
∴ 函数在指定点的极限不存在。
⑵ ∵，
∴ 函数在指定点的极限=0
定理2 f(x)(x)(x)
（二）数列的极限
定义4 对于数列{}，如果当n无限增大时，通项无限接近于某个确定的常数A，则称A为数列的极限，或称数列{}收敛于A，记为或A（n）
定理3 [单调数列极限存在定理]
单调增加(上升)数列：
单调减少(下降)数列：
单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。
[单调有界原理]：单调有界数列必有极限。
（三）极限的性质
1、唯一性 若，，则
2、有界性 若，则存在的某一去心邻域 N(，)，在N(，)内函数有界.
3、保号性 若且，则存在某个去心邻域 N(，)，在N(，)内
4、夹逼准则

这个定理称为夹逼定理，它同样适用于的情况
在这个公式里x趋近于哪个数是非常重要的，x趋近于不同的数,极限是不同的。
（四）关于极限的几点说明
1． 一个变量前加上记号“”后，是个确定值。
例：正n边形面积，= 圆面积
2． 关于“x”的理解：只要求在的充分小邻域有定义。与在点和远离点有无意义无关。
例：在求分段函数的极限时尤为重要。
3． 常数函数的极限等于其本身。即：
（五）无穷小量与无穷大量
1、无穷小量概念
定义5 极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小；
注：1、无穷小量不是很小的数,它也是极限的概念。
2、数零是唯一可作为无穷小的常数。
3、无穷小指量的变化状态，而不是量的大小。
2、 一个量无论多么小，都不能是无穷小，零唯一例外。
当x→a（或∞）时，如果函数f(x)的极限为0，则称当x→a（或∞）时，f(x)是无穷小量。
若数列{}的极限为0，则{}是无穷小量。
例如：，所以，当x→0时， x 是无穷小量。
同样，当x→0时 (>0)，1， 等都是无穷小量。
当x→+∞时， ，所以{}是无穷小量.

定理4 极限与无穷小之间的关系：

无穷小量的性质
定理5 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。
例如，当x→0时，也是无穷小量
定理6 无穷小量与有界量之积是无穷小量。
例如，当x→0时，也是无穷小量。
推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。
例如，当x→0时，3也是无穷小量。
推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。（注：两个无穷小之商未必是无穷小）
2、无穷大量
当x→（或±∞）时，如果函数f(x)的绝对值无限增大，则称当x→（或±∞）时，f(x)是无穷大量。记作 f(x)=∞,或f(x)→∞。
定义6 若（或）,则称为当（或 ）时的无穷大量,简称无穷大。
如=，表示当 时, 为无穷大.
关于无穷大量几点说明:
1.无穷大量不是一个很大的数,它是极限的概念;
2.无穷大量的实质是极限不存在,为了表示记作 或 .
3.若数列{}当n→+∞时，它项的绝对值无限增大，则{}是无穷大量。
4.如果当x→（或±∞）时，函数f(x)是无穷大量，那么就是当x→（或±∞）时的无穷小量，反过来，如果当x→（或±∞）时，函数f(x)是非零无穷小量，那么就是当x→（或±∞）时的无穷大量。 即⑴无穷大量的倒数是无穷小量。⑵无穷小量(非零)的倒数是无穷大量。(3)无穷大必无界，但反之不真。
因此，证明一个变量是无穷小量的方法就是证明它的极限为0，
证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它倒数是无穷小量。
三、课堂练习
习作题 1、2 习题二 1、3
四、小结
理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；熟练掌握和时f(x)的极限存在的充要条件，理解无穷大、无穷小的概念，掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限.
五、布置作业
习题二 2、4、

课 题：§2.2极限的运算（一）
教学目的：掌握函数极限的运算法则及其推论，能运用运算法则求极限
教学重点：函数极限的运算法则及其推论
教学难点：函数极限的运算法则的灵活运用
课 型： 讲授课
课 时：2课时
教学过程
一、导入新课
1、函数极限是怎样定义的？函数极限存在的充要条件是什么？
2、无穷小的性质有哪些？
二、讲授新课
（一）极限的运算法则
设在同一变化过程中（此处省略了自变量的变化趋势，下同）及都存在，则有下列运算法则：
法则1、[f(x)g(x)]= f(x) g(x)
法则2、[f(x) g(x)]= f(x) g(x)
法则3、=（g(x)0）
提示：法则的证明不作要求.
(1)直接代入求值
例1 求(341)
解：(341)=32-42+1=5
例2 求
解： -
例3 求
解：
小结：时，可直接代入（若代入后令分母为零。可先约分后再代入）
举例：1、6x 2、（65） 3、 4、
5、 6、
（2）型
例4 求
解：
小结：时，型的极限，可用分子分母中x的最高次幂除之
课堂练习1、计算
（3）-型，型，
例5 求下列函数极限
1、（-） 2、 3、
解：1、（-）=
1
2、=

3、0
小结：1题可看成直接代值的特殊情况
2题是“型”经常可通过分母、分子有理化解决
3题是无穷小与有界量的积为无穷小
三、课堂练习
P26 习作题1、（1）～（3），
补充：求下列极限
1、 2、 3、
四、小结
掌握函数极限的运算法则及其推论，能运用运算法则求极限。特别情形：时，型的极限，可用分子分母中x的最高次幂除之；型经常可通过分母、分子有理化解决；无穷小与有界量的积为无穷小.
五、布置作业
习题二 5、6、
选做： 思考题 1

课 题：§2.2极限的运算（二）
教学目的：1.掌握两个重要极限，会运用两个重要极限求极限
2.理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义
3.掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量
4.会运用等价无穷小量求函数的极限
教学重点：1.两个重要极限及其应用
2.高阶、低阶、同阶和等价无穷小的定义与判定及其应用
教学难点：1.两个重要极限的应用
2.等价无穷小量的判定及其在极限运算中的应用
课 型： 讲授课
课 时：2课时
教学过程
一、导入新课
考察极限
观察：当x®0时函数的变化趋势
x(弧度)
0.50
0.10
0.05
0.04
0.03
0.02
...

0.9585
0.9983
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
...
当x取正值趋近于0时，®1，即=1；
当x取负值趋近于0时，®0, >0, ()>0．于是
．
二、讲授新课
（二）两个重要极限
1 =1
特点：①它是“”型
② （三角形代表同一变量）
思考：吗？
例1 求
解： 2
注：1
0
例2 求
解： 1
例3 求
解： =[]=
（复习二倍角）
2=1-2
= =
例4 求
解：原式[]=[]=
注：1、乘积的极限写成极限的乘积时，必须每个乘积的极限存在。
2、非弦函数化有弦函数
课堂练习（一）求下列极限
1、 2、 3、
4、 5、 6、
考察极限（1+）
观察：当x®+¥时函数的变化趋势
x
1
2
10
1000
10000
100000
100000
...

2
2.25
2.594
2.717
2.7181
2.7182
2.71828
...
当x取正值并无限增大时，是逐渐增大的，但是不论x如何大，的值总不会超过3．实际上如果继续增大x．即当x®+¥时，可以验证是趋近于一个确定的无理数e＝2.718281828...．
当x®-¥时，函数有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e．
2 （1+） = e
特点：（１） (1+无穷小) ，即1型；
（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数，
推广：① ②
例5 （1+）
解：原式=[]=
例6 （1+）
解：原式=[（1+）（1+）]=（1+）（1+）=
例7 （1+）
解：原式=（1+）=
例8 （1）
解：原式=[1+（）]= [1+]=
例9 （）
解：原式=（）=(1)=(1+)
=(1+)(1+)= e
课堂练习（二）
习作题1（4）—（8）
（三）无穷小的比较
例：当x0时，=3x，， =
但=0 = =
为了比较无穷小趋于零的快慢，引入无穷小阶
定义：设某一极限过程中，与都是无穷小，且 = C
（1）若0，则称是比高阶的无穷小，记成=0（） 也称是比低阶的无穷小。（2）若C0，则称与是同阶无穷小。
特别：若1，则称与是等价无穷小，记为～
等价无穷小在求两个无穷小之比的极限时有重要作用。
常用的几个等价无穷小代换：
当时，有～ x ～x ～x ～x ～ (1) ～x ～x ～

例10 求
解：
例11 求
解：
例12 求
解：
例13
解：
注：1用等价代换时，必须对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换）
2分子或分母中若有“+”“-”号连接的各部分不能分别作替换。
三、小结
掌握两个重要极限，会运用两个重要极限求极限，理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义，掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量，会运用等价无穷小量求函数的极限。特别地，用等价代换时，必须对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换），分子或分母中若有“+”“-”号连接的各部分不能分别作替换。
四、布置作业
习作题2、 习题二 7
选做： 习题二 9

课 题：§2.3函数的连续性
教学目的：1.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
2.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，
3.了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1.函数连续性的有关概念及其应用
2.间断点及其分类
教学难点：1．点连续性及复合函数连续性的概念及其应用
2．函数的连续性的判定
课 型： 讲授课
课 时：2课时
教学过程
一、导入新课
微积分学中研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。连续函数反映了自然界中普遍存在的连续变化现象，如气温的变化，河水的流动等等。
二、讲授新课
（一）函数连续性的定义
1、点连续
定义1 设(x)在点的某邻域上有定义，如果自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即
则称f(x)在点是连续的。
易知：0
即，于是有
定义2 设函数(x)在点的某邻域内有定义，若，则称函数f(x)在点处连续，f(x)在点连续，必须满足三个条件：
（1） f(x)在点的一个邻域内有定义
（2） 存在
（3） 上述极限值等于函数值
只有一个条件不满足，则点就是函数f(x)的间断点。
2、函数在区间上连续的概念
在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间。若连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是左连续，在左端点连续是右连续。
定义3（间断点的分类）：设是的一个间断点，如果：
（1）的左右极限都存在，称为第一类间断点，当
，则称为的跳跃间断点
（2）的左右极限都存在，称为第一类间断点，当存在，但不等于，则称为的可去间断点
（3）除（1）（2）以外的，称为的第二类间断点，当=，称为的无穷间断点。
例1 设，讨论f(x)在1处的连续性
解：f(1)=1 f(x)= =1
f(x)= (1)=2
即f(x)不存在
1是第一类间断点，且为跳跃间断点。
例2 设，讨论f(x)在0处的连续性。
解：f(0)=1 0是第一类间断点，且为可去间断点。
例3 在1是什么间断点。
解：函数在1处没有定义，且=
则1为f(x)的无穷间断点。
注：连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。
（二）初等函数的连续性
1、初等函数的连续性
1）基本初等函数在其定义域内是连续的，一切初等函数在定义域区间上是连续的。
2）分段函数，讨论分段点
2、利用函数的连续性求极限
若f(x)在点连续，则
即求连续函数的极限，可归结为计算函数值.
例4 求极限]
解：在处连续 ()1=0
注：基本初等函数均连续
3、复合函数求极限的方法
定理1 设有复合函数，若，而函数f(u)在点连续，则=
例5 求极限
解：=，复合函数是由和组成，又，在点连续。
=
2 ， 1为可去间断点。
=（不存在） 2为无穷间断点。
（2），0
不存在，为第二类间断点
（3），1
=2
为第一类间断点，为跳跃间断点。
2、复合函数求极限（利用函数的连续性求极限）
1） 2） 3）
3、根存在
1）证明方程至少有一个根介于1和2之间。
设f(x)= ，在（）连续
又f(1)1-3-13<0
f(2)=2
根据介值定理，至少存在一点，使得）=0
显然即为方程的根。
四、小结
理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。
五、布置作业
习作题 1、2、3、4、
选做： 12、13

课 题：§3.1导数的概念（一）
教学目的：1.理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义。
2.理解函数的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要面非充分条件。
3.了解函数可导的充要条件：存在
教学重点：导数的概念及其几何意义
教学难点：导数的几何意义
课 型： 讲授课
课 时：2课时
教学过程
一 、导入新课
（一）两个实例
1． 变速直线运动的瞬时速度
一个质点在一条直线上运动,所经过的路程是时间的函数.
如果质点是作匀速直线运动,质点的运动速度等于路程与时间之比,即

如果质点是作变速直线运动,它的速度随时间变化而变化.现讨论质点在某一时刻时的速度,即瞬时速度．
质点从时刻到这段时间间隔内,质点从位置移动到,质点经过的路程为:

质点的平均速度为： .
当较小时,平均速度可近似地表示质点在时刻的速度.且越小,这种近似程度也越好.
令,如果存在,则称平均速度的极限为质点在
时刻的瞬时速度,即.
2. 切线问题
切线的一般定义：设有曲线:及上的一点（图3－１）,在点
外另取上一点,作割线,当点沿曲线逐渐趋于点时,割线绕
点旋转,而逐渐趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线．这
里极限位置的含义：只要弦长趋于零,也趋于零．
图3-1
图3-2

设是曲线上的一点（图3－２）,则．在点外另取上
一点,割线的斜率为: 其中为割线的倾角，当点沿曲线趋于点时，，如果存在,则此极限就是切线的斜率,其中是切线的倾角．
上面两个实际问题,虽然其实际意义不同,但解决问题的方法相同.都归结为求函数增量与自变量增量之比的极限:
或 ,
其中 ,称为自变量增量,
,称为相应于自变量增量的函数增量.
在物理学、化学、生物学、经济学等科学领域中,还有许多实际问题,如线密度、
电流、反应速度等,都可归结为函数对于自变量的变化率即函数的导数.
二 、讲授新课——
1、导数的概念
（1）函数 在点处的导数
设函数在点处的某一邻域内有定义，当自变量X在点处有增量,仍在该邻域内时，相应地，函数有增量，
若 极限 存在，则称在点处可导，并称此极限值为在处的导数，记为，也可记为，，即
若极限不存在，则称在点处不可导。
令， 可表示为： 。
问 ：
若固定，令，则当时，有，所以函数f(x)在点处的导数也可表示为 。
（2）函数(x)的导函数
如果函数(x)在开区间I上的每一点都可导，就称函数f(x)在开区间I上可导，这时，都对应f(x)的一个确定的导数值，这样就成了一个新的函数成为函数(x)的导函数，简称导数，记作 ,,, 或.显然，(x)在点处的导数，就是导函数在处的函数值，即=
2、左导数与右导数
（1）函数在点处的左导数

（2）函数在点处的右导数

定理 在点可导
例1 求函数在任意点x处的导数，并求
解：在x处给自变量一个增量，相应函数增量为,
于是 ，
；即；
则
一般地，（为任意实数）
注：求得先求，再将x用代替。
3、导数的几何意义
函数在点的导数在几何上表示曲线在点（，）处切线的斜率。
（1）若存在，则曲线在点（，）切线方程为
当时，则过（）的法线方程为：
当 时，法线方程
（2）若，则切线垂直于 轴，切线方程：
例2 求抛物线在点（1，1）处的切线方程和法线方程。
解：
切线斜率
切线方程：即
法线方程：即
4、可导与连续关系：可导连续
设函数在点处可导，有
又
即
故
所以。
即 在可导，那么在处必连续，但反过来不一定成立，即在处
连续的函数未必在可导。
例3 ，虽然在=0处连续，但在该点不可导。

例4 讨论 在点=0的连续性与可导性。
解：
即

又
当

三、课堂练习
P思考题1、2 P习题三2
四、小结
理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要面非充分条件，了解函数可导的充要条件：存在
五、布置作业
P习题三 3、6 选做：7

课 题：§3.1导数的概念（二）
教学目的： 1.掌握用导数定义求函数的导数的三步曲，会求函数的导数
2.理解导数的变化率的概念，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题
3.培养学生学以致用的观念
教学重点：用导数定义求函数的导数
教学难点：用导数（变化率）描述一些简单的实际问题
课 型： 讲授课
课 时：2课时
教学过程
一、导入新课
1.如何定义函数在某点可导？
2.函数可导的几何意义是什么？
二、讲授新课
1、变化率模型
科学技术中常把导数称为变化率。
因此，对于一个未赋予具体含义的一般函来说，通常把
称 在上平均变化率。
平均变化率当时的极限 或 称在处的变化率。它反映了函数随着自变量的变化而变化的快慢程度。
切线的斜率是曲线上的纵坐标对横坐标的变化率。
例1（电流模型）设在[ 0,]这段时间内通过导线横截面的电荷为，求 时刻的电流.
解：（1）若电流恒定
（2）若电流不恒定，平均电流
故 时刻电流
例2（细杆的线密度模型）设一质量非均匀分布的细杆放在上，在[0，] 上的质量是的函数 ，求杆上的线密度。
解：如果细杆质量分布是均匀的，则长度为的一段的质量为，那么它的线密度为 反之，不能直接用此公式.
利用导数定义的思想来求细杆的平均线密度，则
平均线密度
故 细杆在处的线密度，即
例3（边际成本模型）在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的总成本。
解：设一产品产量为单位时，总成本为（x），称C（x）为总成本函数，简称为总成本函数。当产量由x变为 时，总成本函数改变量为 这时，总成本的平均变化率为

它表示产量由x变到时，在平均意义下的边际成本。
当总成本函数C（x）可导时，其变化率

表示该产品产量为x时的边际成本，即边际成本是总成本函数关于产量的导数。
例4（化学反应速度模型）在化学反应中一物质的浓度N和时间t的关系为（t），
求：在t时刻物质的瞬时反应速度。
解：当时间以 变到时，浓度的平均变化率为

令时，该物质在时刻的瞬时反应速度为：

2、求导举例
求导三步曲：（1）求增量
（2）算比值
（3）定极限：
例5 求函数的导数（c为常数）
解：（1）
（2）
（3）
即
即常数的导数等于0。
例6 求函数的导数
解：（1）
（2）
（3）
即
类似可得
例7 求函数
解：(1)

(3)
=
即
特别
三、课堂练习
1.
2. P习作题 1、4
四、小结新课
掌握用导数定义求函数的导数的三步曲，会求函数的导数，理解导数的变化率的概念，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.
五、布置作业
P习题三1、5 选做： 4

课 题：§3.2求导法则（一）
教学目的：1.掌握导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式
2.掌握复合函数求导法则
教学重点：导数的四则运算法则
教学难点：复合函数求导法则
课 型： 讲授课
课 时：2课时
教学过程
一、导入新课
1.函数可导是怎样定义的？
2.极限的四则运算法则是什么？
思考：函数的导数是否有相同的运算法则呢？
二、讲授新课
1、函数的和、差、积、商的求导的法则
定理1 设函数(x)与(x)在点x处可导，则u(x)±v(x)(x)·v(x),也在点x处可导，且有以下法则：
（1）=
(2) (x),特别= (c为常数)
(3) 特别，当u(x) (c为常数)时，
有
例1 设求
解：
=
=
例2 求的导数。

小结：非弦函数先化弦
类似可得：
例3 已知 x，求.
解:(非弦函数化成弦函数)
类似可得:
例4 设f(x)=,求 .
解:

2、复合函数求导法则:
思考：设，如何求？
①
可看成由复合而成。
又 ②

综上所述，复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.
定理 如果在点x处可导，函数(u)在对应的点处可导，那么复合函数也在点x处可导，且有或
证 设自变量x有增量，则相应的中间变量有增量，从而有增量（） 在x处可导
在x处连续，可知时，必有又已知， 则有

即 或
以上法则也可用于多次复合的情形。
例如：设都可导，则或记为
例5 的导数。
分析：可看作复合而成
解：
例6 求的导数。
分析：此函数可看作由与复合而成
解：
三、课堂练习
求下列函数