福建省三明市宁化一中2015届高三上学期第四次段考数学(理)试卷.doc

2014-2015学年福建省三明市宁化一中高三（上）第四次段考数学试卷（理科）

一、选择题：（共10小题，每小题5分，计50分）
1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B=[3，+∞），则图中阴影部分所表示的集合为( )

A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．{1}

2．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知函数f（x）=那么f（）的值为( )
A． B． C． D．

4．“实数a=1”是“复数（1+ai）i（a∈R，i为虚数单位）的模为”的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件又不是必要条件

5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )

A．2 B． C． D．3

6．若直线x+ay﹣1=0与4x﹣2y+3=0垂直，则二项式（ax﹣1）5的展开式中x2的系数为( )
A．﹣40 B．﹣10 C．10 D．40

7．甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙相邻的排法种数是( )
A．6 B．8 C．12 D．24

8．已知双曲线C的左右焦点为F1，F2，其中一条渐近线为y=x，点A在双曲线C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=( )
A． B． C． D．

9．已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于( )
A．6π B．7π C．12π D．13π

10．已知函数f（x）=，如在区间（1，+∞）上存在n（n≥1）个不同的数x1，x2，x3，…，xn使得比值==…成立，则n的取值集合是( )
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{2，3，4}

二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．某次数学成绩ξ～N（90，σ2），已知P（70≤ξ≤110）=0.6，则P（ξ＜70）=__________．

12．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M，则点M恰好取自阴影部分的概率为__________．

13．设O为坐标原点，点，若M（x，y）满足不等式组，则的最小值是__________．

14．设F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，B是圆C：（x+3）2+（y+3）2=4上任意一点，设点A到y轴的距离为m，则m+|AB|的最小值为__________．

15．设函数f（x）、g（x）的定义域分别为DJ、DE，且DJ⊆DE，若对于任意x∈DJ，都有g（x）=f（x），则称g（x）函数为f（x）在DE上的一个延拓函数．设f（x）=e﹣x（x﹣1）（x＞0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数．给出以下命题：
①当x＜0时，g（x）=e﹣x（1﹣x）；
②函数g（x）有3个零点；
③g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；
④∀x1，x2∈R，都有|g（x1）﹣g（x2）|＜2．
其中所有正确命题的序号是__________．

三.解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（13分）已知f（x）=sin2x﹣cos2x+n﹣1（n∈N*）．
（1）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，当n=1时，f（A）=，且c=3，△ABC的面积为3，求b的值．
（2）若f（x）的最大值为an（an为数列{an}的通项公式），又数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．

17．（13分）学校从高一各班随机抽取了部分同学参加了一次安全知识竞赛，其中某班参赛同学的成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分，如图所示，据此解答下列问题：

（1）求该班的参赛人数及分数在[80，90）之间的人数；
（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生的失分情况，在抽取的试卷中，设分数在[90，100]之间的份数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

18．（13分）如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，|BB1|=a，E为BB1延长线上的一点且满足|BB1|•|B1E|=1．
（1）求证：D1E⊥平面AD1C；
（2）当a=1时，求二面角E﹣AC﹣D1的平面角的余弦值．

19．（13分）已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若F是椭圆C的右焦点，过F的直线交椭圆C于M、N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上，
（ⅰ）求•的取值范围；
（ⅱ）若OT平分线段MN，证明：TF⊥MN（其中O为坐标原点）．

20．（14分）已知函数f（x）=lnx+x2．
（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．

【选修4一2：矩阵与变换】
21．若圆C：x2+y2=1在矩阵A=（a＞0，b＞0）对应的变换下变成椭圆E：+=1．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判断矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A﹣1，如不可逆，说明理由．

【选修4一4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分7分）
22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 （θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）．
（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．

【选修4一5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）
23．设函数f（x）=
（Ⅰ）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．

2014-2015学年福建省三明市宁化一中高三（上）第四次段考数学试卷（理科）

一、选择题：（共10小题，每小题5分，计50分）
1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B=[3，+∞），则图中阴影部分所表示的集合为( )

A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．{1}

考点：Venn图表达集合的关系及运算．
专题：计算题；集合．
分析：由已知中U为全集，A，B是集合U的子集，及图中阴影，分析阴影部分元素满足的性质，可得答案．
解答： 解：由已知中阴影部分在集合A中，而不在集合B中，
故阴影部分所表示的元素属于A，不属于B（属于B的补集）
即（CRB）∩A={1，2}．
故选C．
点评：题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键．

2．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4

考点：等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：设数列{an}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．
解答： 解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，
故选B．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．

3．已知函数f（x）=那么f（）的值为( )
A． B． C． D．

考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：由已知得f（）=f（）=sin=．
解答： 解：∵函数f（x）=，
∴f（）=f（）=sin=．
故选：B．
点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

4．“实数a=1”是“复数（1+ai）i（a∈R，i为虚数单位）的模为”的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件又不是必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数求模．
专题：简易逻辑．
分析：根据复数的有关概念，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
解答： 解：复数（1+ai）i=i﹣a，对应的模长为，
当a=1时，=，充分性成立．
若=，解得a=±1，必要性不成立．
故“实数a=1”是“复数（1+ai）i（a∈R，i为虚数单位）的模为”的充分不必要条件．
故选：A．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复数的有关概念是解决本题的关键，比较基础．

5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )

A．2 B． C． D．3

考点：简单空间图形的三视图．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．
解答： 解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：
V==3⇒x=3．
故选D．

点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．

6．若直线x+ay﹣1=0与4x﹣2y+3=0垂直，则二项式（ax﹣1）5的展开式中x2的系数为( )
A．﹣40 B．﹣10 C．10 D．40

考点：二项式系数的性质．
专题：计算题；二项式定理．
分析：根据两条直线垂直的性质求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x的系数．
解答： 解：∵直线l1：x+ay﹣1=0与l2：4x﹣2y+3=0垂直，∴﹣•2=﹣1，a=2．
二项式（ax﹣1）5展开式的通项公式为Tr+1=•a5﹣r•（﹣1）r•x5﹣r，
令5﹣r=2，求得r=3，可得二项式（ax﹣1）5展开式中x的系数为﹣40，
故选：A．
点评：本题主要考查两条直线垂直的性质，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

7．甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙相邻的排法种数是( )
A．6 B．8 C．12 D．24

考点：计数原理的应用．
专题：排列组合．
分析：采取分步计数原理，先乙、丙捆绑在一起看作一个符合元素，再和甲丁全排列，问题得以解决
解答： 解：把乙、丙捆绑在一起看作一个符合元素，再和甲丁全排列，故有=12，
故选：C．
点评：本题考查了分步计数原理，相邻问题采用捆绑，属于基础题

8．已知双曲线C的左右焦点为F1，F2，其中一条渐近线为y=x，点A在双曲线C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=( )
A． B． C． D．

考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；解三角形；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由已知得渐近线的斜率为，即有b=a，再求c=2a，运用双曲线的定义和条件，求得三角形AF2F1的三边，再由余弦定理，即可得到所求值．
解答： 解：由于双曲线的一条渐近线y=x，且为y=x，则斜率为，
即有b=a，c==2a，
|F1A|=2|F2A|，且由双曲线的定义，可得|F1A|﹣|F2A|=2a，
解得，|F1A|=4a，|F2A|=2a，
又|F1F2|=2c，由余弦定理，可得
cos∠AF2F1===．
故选A．
点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．

9．已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于( )
A．6π B．7π C．12π D．13π

考点：函数的零点与方程根的关系；两点间的距离公式．
专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．
分析：利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知，y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，…M13的坐标，从而可求的值．
解答： 解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cosxsinx=sin2x，
∴由题意得：sin2x=，
∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，
∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，
∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，
∴得M1（，0），M2（，0），M3（π+），M4（π+），…M13（6π+，0），
∴=（6π，0），
∴=6π．
故选A．
点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，着重考查正弦函数的性质，求得M1，M13的坐标是关键，属于中档题．

10．已知函数f（x）=，如在区间（1，+∞）上存在n（n≥1）个不同的数x1，x2，x3，…，xn使得比值==…成立，则n的取值集合是( )
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{2，3，4}

考点：分段函数的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：作出f（x）的图象，==…的几何意义为这些点有相同的斜率，利用数形结合即可得到结论．
解答： 解：∵表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，
∴==…的几何意义为这些点有相同的斜率，
作出函数f（x）的图象，在在区间（1，+∞）上，
y=kx与函数f（x）的交点个数有1个，2个或者3个，
故n=1或n=2或n=3，
即n的取值集合是{1，2，3}，
故选：B

点评：本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．

二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．某次数学成绩ξ～N（90，σ2），已知P（70≤ξ≤110）=0.6，则P（ξ＜70）=0.2．

考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
专题：计算题；概率与统计．
分析：判定正态分布曲线的峰值，再根据曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1解答．
解答： 解：由题意知：正态分布的平均值为90，
∴正态分布曲线的中间值为90，
根据对称性得：P（ξ＞110）=P（ξ＜70），
∴P（ξ＜70）=×[1﹣P（70≤ξ≤110）]=0.2．
故答案为：0.2．
点评：本题考查了正态分布曲线的特点，熟练掌握正态分布曲线的对称性及中间值是解题的关键．

12．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M，则点M恰好取自阴影部分的概率为．

考点：几何概型；定积分在求面积中的应用．
专题：概率与统计．
分析：欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．
解答： 解：由题意可知，此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，
由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，
曲线y=x2与x轴，x=1所围成的图形的面积S，即满足所取的点落在阴影部分内部所对应的几何度量：
S（A）==（x3）=．
则点M取自阴影部分的概率为P（A）=．
故答案为：．
点评：本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

13．设O为坐标原点，点，若M（x，y）满足不等式组，则的最小值是．

考点：简单线性规划．
专题：数形结合；平面向量及应用．
分析：由约束条件作出可行域，化向量数量积为线性目标函数，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
解答： 解：由约束条件作出可行域如图，

∵，M（x，y），
∴=，化为，
由图可知，当直线过A（1，1）时，目标函数有最小值，
．
故答案为：．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了平面向量的数量积，训练了数形结合的解题思想方法，是中档题．

14．设F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点， B是圆C：（x+3）2+（y+3）2=4上任意一点，设点A到y轴的距离为m，则m+|AB|的最小值为2．

考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：把圆的方程化成标准式，求得圆的圆心和半径，利用抛物线的标准方程求得抛物线的焦点和准线方程，根据抛物线的定义可知点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，进而问题转换为焦点到A点距离与A点到B的距离问题，推断出当A，B，F三点共线时A到点B的距离与点A到抛物线的焦点F距离之和的最小．
解答： 解：圆C：（x+3）2+（y+3）2=4，表示为以（﹣3，﹣3）为圆心设为O，2为半径的圆，
抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，焦点F（1，0），
根据抛物线的定义可知点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，
进而推断出当A，B，F三点共线时A到点B的距离与点A到抛物线的焦点F距离之和的最小，即m+1+|AB|的值最小，
此时|AO|==5，
∴|AF|=|A0|﹣|B0|=3，即m+1+|AB|的最小值为3，
∴m+|AB|的最小值为2．
故答案为：2
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用数形结合的思想，并利用抛物线的定义解决，属于中档题．

15．设函数f（x）、g（x）的定义域分别为DJ、DE，且DJ⊆DE，若对于任意x∈DJ，都有g（x）=f（x），则称g（x）函数为f（x）在DE上的一个延拓函数．设f（x）=e﹣x（x﹣1）（x＞0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数．给出以下命题：
①当x＜0时，g（x）=e﹣x（1﹣x）；
②函数g（x）有3个零点；
③g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；
④∀x1，x2∈R，都有|g（x1）﹣g（x2）|＜2．
其中所有正确命题的序号是②③④．

考点：函数零点的判定定理；函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：设x＜0，则﹣x＞0，由函数得性质可得解析式，可判①的真假，再由性质作出图象可对其他命题作出判断
解答： 解：由题意得，x＞0时，g（x）=f（x）=e﹣x（x﹣1），
当x＜0时，则﹣x＞0，g（﹣x）=f（﹣x）=ex（﹣x﹣1）=﹣g（x），所以g（x）=ex（x+1），
故①不正确；
对x＜0时的解析式求导数可得，g′（x）=ex（x+2），令其等于0，解得x=﹣2，
且当x∈（﹣∞，﹣2）上导数小于0，函数单调递减；
当x∈（﹣2，+∞）上导数大于0，函数单调递增，
x=﹣2处为极小值点，且g（﹣2）＞﹣1，且在x=1处函数值为0，且当x＜﹣1是函数值为负．
又因为奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：
由图象可知：函数f（x）有3个零点，故②③正确；
由于函数﹣1＜g（x）＜1，故有对∀x1，x2∈R，|g（x2）﹣g（x1）|＜2恒成立，
即④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题是个新定义题，主要考查利用函数奇偶性求函数解析式的方法，在解题时注意对于新定义的理解，是个中档题．作出函数的图象是解决问题的

三.解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（13分）已知f（x）=sin2x﹣cos2x+n﹣1（n∈N*）．
（1）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，当n=1时，f（A）=，且c=3，△ABC的面积为3，求b的值．
（2）若f（x）的最大值为an（an为数列{an}的通项公式），又数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．

考点：三角函数中的恒等变换应用；数列的求和．
专题：点列、递归数列与数学归纳法；解三角形．
分析：（1）由已知可解得，又由△ABC是锐角三角形，可得A的值，从而由三角形的面积公式可求得b的值；
（2）由（Ⅰ）可解得an=n+1，可得，从而可求数列{bn}的前n项和Tn．
解答： （13分）解：（1）∵f（x）==，…
当n=1时，由得：，
∴，
又∵△ABC是锐角三角形，
∴
∴即，…
又由=
∴可解得：b=4，…
（2）由（Ⅰ）知：，
∴f（x）取最大值为n+1，
∴an=n+1…
又…
∴…（13分）
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，数列的求和，其中裂项求和是解题的关键，属于中档题．

17．（13分）学校从高一各班随机抽取了部分同学参加了一次安全知识竞赛，其中某班参赛同学的成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分，如图所示，据此解答下列问题：

（1）求该班的参赛人数及分数在[80，90）之间的人数；
（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生的失分情况，在抽取的试卷中，设分数在[90，100]之间的份数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（1）由图知：[50，60）的频率为0.08，频数为2，由此能求出分数在[80，90）的人数．
（2）因为分数在[80，90）之间的人数为4，[90，100]之间的人数为2，所以ξ=0，1，2，分别求出相应在的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ．
解答： 解：（1）由图知：[50，60）的频率为0.08，频数为2，
所以该班参赛人数为人，
所以分数在[80，90）的人数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4人．
（2）因为分数在[80，90）之间的人数为4，[90，100]之间的人数为2，
所以ξ=0，1，2，
且，
，

所以ξ的分布列为：
ξ 0 1 3
P
．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，是中档题．

18．（13分）如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，|BB1|=a，E为BB1延长线上的一点且满足|BB1|•|B1E|=1．
（1）求证：D1E⊥平面AD1C；
（2）当a=1时，求二面角E﹣AC﹣D1的平面角的余弦值．

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能证明D1E⊥平面AD1C．
（Ⅱ）分别求出平面EAC的法向量和平面AD1C的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D1的大小．
解答： 解：（1）如图所示建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（1，0，0），C（0，1，0），
∵||=a，||•||=1，
所以 ，…

∴，，，
∵，
∴D1E⊥AD1
又∵，
∴D1E⊥CD1∵AD1∩CD1=D1，
∴D1E⊥平面AD1C…
（也可用勾股定理证明D1E⊥AD1，D1E⊥CD1）
（2）当a=1时，，
设平面EAC的法向量为，
则，即，
令z=1，则x=y=﹣2，
∴．…
∵D1E⊥平面AD1C，
∴平面AD1C的法向量，
因为a=1，
所以，
∴，…
∴当a=1时，二面角E﹣AC﹣D1的平面角的余弦值为…（13分）
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的平面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

19．（13分）已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若F是椭圆C的右焦点，过F的直线交椭圆C于M、N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上，
（ⅰ）求•的取值范围；
（ⅱ）若OT平分线段MN，证明：TF⊥MN（其中O为坐标原点）．

考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）椭圆C的方程为=1a＞0，b＞0，运用方程组求解，（2）（ⅰ）分类①若直线l斜率不存在，②若直线l斜率存在，利用韦达定理求解，
（ⅱ）求出直线OT的斜率k′==，TF的斜率kTF==﹣，根据斜率判断．
解答： 解：（1）设椭圆C的方程为=1a＞0，b＞0，则 解得a2=4，b2=3，所以椭圆C：=1，
（2）（ⅰ）易得F（1，0）
①若直线l斜率不存在，则l：x=1，此时M（1，），n（1，﹣），=，
②若直线l斜率存在，设l：y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），则
由消去y得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
∴=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=（1+k2）[x1x2﹣（x1+x2）+1]=，
∵k2≥0∴0≤1∴3＜4
∴﹣3≤
综上，的取值范围为[﹣3，），
（ⅱ）线段MN的中点为Q，则由（ⅰ）可得，xQ==，yQ=k（xQ﹣1）=，
所以直线OT的斜率k′==，所以直线OT的方程为：y=﹣x，
从而T（4，﹣），此时TF的斜率kTF==﹣，
所以kTFkMN=﹣•k=﹣1，所以TF⊥MN．
点评：本题综合考查了椭圆的方程，性质，结合韦达定理求解，运算量较大，属于难题．

20．（14分）已知函数f（x）=lnx+x2．
（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．

考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）根据题意写出g（x）再求导数，由题意知g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，转化为a≤2x+，再利用基本不等式求右边的最小值，即可求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）先假设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx．结合题意列出方程组，利用换元法导数研究单调性，证出ln＜在（0，1）上成立，从而出现与题设矛盾，说明原假设不成立．由此即可得到函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴．
解答： 解：（Ⅰ）∵g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，∴g′（x）=+2x﹣a
由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤（2x+）min又x＞0，2x+≥，当且仅当x=时等号成立
故（2x+）min=，所以a≤
（Ⅱ）设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx
结合题意，有
①﹣②得2ln﹣（m+n）（m﹣n）=k（m﹣n）
所以k=，由④得k=﹣2x0
所以ln==…⑤
设u=∈（0，1），得⑤式变为lnu﹣=0（u∈（0，1））
设y=lnu﹣（u∈（0，1）），可得y′=﹣=＞0
所以函数y=lnu﹣在（0，1）上单调递增，
因此，y＜y|u=1=0，即lnu﹣＜0，也就是ln＜此式与⑤矛盾
所以函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴．
点评：本题给出含有对数符号的基本初等函数函数，讨论了函数的单调性并探索函数图象的切线问题，着重考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．

【选修4一2：矩阵与变换】
21．若圆C：x2+y2=1在矩阵A=（a＞0，b＞0）对应的变换下变成椭圆E：+=1．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判断矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A﹣1，如不可逆，说明理由．

考点：逆变换与逆矩阵；几种特殊的矩阵变换．
专题：选作题；矩阵和变换．
分析：（Ⅰ）设P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），代入椭圆方程，对照圆的方程即可求出a和b的值；
（Ⅱ）因为，所以矩阵A可逆，再代入逆矩阵的公式，求出结果．
解答： 解：（Ⅰ）设点P（x，y）为圆C：x2+y2=1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P'（x'，y'），
则，所以
因为点P'（x'，y'）在椭圆E：上，所以，…
又圆方程为x2+y2=1，故，即，
又a＞0，b＞0，所以a=2，．…
（Ⅱ），因为，所以矩阵A可逆，…
所以…
点评：本题主要考查了特殊矩阵的变换、逆变换与逆矩阵，同时考查了计算能力，属于基础题．

【选修4一4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分7分）
22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 （θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）．
（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．

考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．
专题：选作题；坐标系和参数方程．
分析：（Ⅰ）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d+r=3，即可求r的值．
解答： 解：（Ⅰ）因为圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0），消去参数得，，…
所以圆心，半径为r，
因为直线l的极坐标方程为，
化为普通方程为，…
（Ⅱ）圆心C到直线的距离为，…
又因为圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d+r=3，所以r=3﹣2=1…

点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及直线的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．

【选修4一5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）
23．设函数f（x）=
（Ⅰ）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．

考点：函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）易知|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x﹣2|和y=5 的图象，由图象可求；
（Ⅱ）由题意可知|x+1|+|x﹣2|≥﹣a恒成立，由图象求出|x+1|+|x﹣2|的最小值即可；
解答： 解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0，
如图，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x﹣2|和y=5 的图象（如图所示）
得定义域为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．
（Ⅱ）由题设知，当x∈R 时，恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥﹣a，即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，
又由（Ⅰ）知|x+1|+|x﹣2|≥3，
当且仅当 （x+1）（x﹣2）≤0，即﹣1≤x≤2取等号，
∴﹣a≤3⇒a≥﹣3．

点评：该题卡函数的定义域及其求法，考查函数恒成立问题，考查数形结合思想．

23 / 23