计数原理综合习题有答案.doc

选修2-3第一章计数原理单元质量检测

第一卷(选择题，共60分)
一、选择题(每题5分，共60分)
1．小王打算用70元购置面值分别为20元与30元的两种IC 卡．假设他至少买一张，那么不同的买法一共有(　　)
A．7种 B．8种 C．6种 D．9种
2．设某班有男生30人，女生24人，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，那么不同的选法种数是(　　)
A．360 B．480 C．720 D．240
P＝1＋5(x＋1)＋10(x＋1)2＋10(x＋1)3＋5(x＋1)4＋(x＋1)5，那么P等于(　　)
A．x5 B．(x＋2)5 C．(x－1)5 D．(x＋1)5
4.5的展开式中x2y3的系数是(　　)
A．－20 B．－5 C．5 D．20
5．20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取自同一个格子中，那么不同的拿法一共有(　　)
A．C种 B．C种 C．CC种 D．C·25种
6．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中，假设2a2＋an－5＝0，那么n的值是(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
7．7人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两边的排法共有(　　)
A．120种 B．240种 C．48种 D．24种
8．(＋)100的展开式中，无理项的个数是(　　)
A．83 B．84 C．85 D．86
9．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目与1个相声类节目的演出顺序，那么同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A．72 B．120 C．144 D．168
10．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A．144 B．120 C．72 D．24
11．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，那么f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　)
A．45 B．60 C．120 D．210
12．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.假设13a＝7b，那么m＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
第二卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每题5分，共20分)
13．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有________种(用数字作答)．
14．(＋a)6的展开式中含x2项的系数为60，那么实数a＝________.
15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．
a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.假设点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如下图，那么a＝________.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)4位学生与2位教师坐在一起合影留念，根据以下条件，求各有多少种不同的坐法：
(1)教师必须坐在中间；
(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；
(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．
18．(12分)从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它的与大于100，那么不同的取法有多少种？
19.(12分)n，i是虚数单位，x>0，n∈N＋.
(1)如果展开式的倒数第三项的系数是－180，求n的值；
(2)对(1)中的n，求展开式中的系数为正实数的项．
20.(12分)假设n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，求a1＋a2＋…＋an的值．
21.(12分)(a2＋1)n的展开式中的各项系数之与等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
22.(12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字：
(1)可组成多少个无重复数字的自然数？
(2)可组成多少个无重复数字的四位偶数？
(3)组成无重复数字的四位数中比4 023大的数有多少？
答案
1．C　要完成“至少买一张IC 卡〞这件事，可分三类：第一类是买1张IC卡；第二类是买2张IC卡；第三类是买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC 卡〞这件事．买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有1种方法．不同的买法共有2＋3＋1＝6(种)．
2．C　由分步乘法计数原理，得N＝30×24＝720(种)．
3．B　P＝[1＋(x＋1)]5＝(x＋2)5，应选B.
4．A　由，得Tr＋1＝C5－r(－2y)r＝C5－r·(－2)rx5－ryr(0≤r≤5，r∈Z)，令r＝3，得T4＝C2(－2)3x2y3＝－20x2y3.应选A.
5．D　分两步：第一步先从10个格子中选中5个格子，有C种方法；第二步从每个格子中选一个球，不同的拿法有2×2×2×2×2＝25(种)．由分步乘法计数原理共有C·25种不同的拿法．
6．B　Tr＋1＝C(－1)rxr，那么a2＝C，an－5＝(－1)n－5C，因为2a2＋an－5＝0，a2>0，所以an－5＝－C，所以2C＝C且n为偶数，将各选项代入验证知n＝8，应选B.
7．C　由题意知，甲的位置确定，而乙、丙的位置有2种排法，再排其他4人，有A种不同的排法，故不同的排法总数为A·2＝48(种)．
8．B　先求展开式中的有理项．
∵Tr＋1＝C()100－r·()r＝C·2·3，
∴要使展开式中的项为有理项，r必为6的倍数．
又∵0≤r≤100，且r∈N，
∴r的取值为0,6,12，…，96，它构成了以0为首项，6为公差，96为末项的等差数列，设它有n项，那么96＝6(n－1)．
∴n＝17.
∵展开式中共有101项，其中有17项是有理项，
∴无理项有84项．
9．B　解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类A，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有A·2A＝72.第二类也分两步，先排歌舞类A，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有CAA，故不同的排法有AAAC＝48，故共有120种不同排法，应选B.
10．D　插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空当中选出3个插入3人即可．故排法种数为A＝24.应选D.
11．C　因为(1＋x)6展开式的通项公式为Tr＋1＝Cxr，(1＋y)4展开式的通项公式为Th＋1＝Cyh，所以(1＋x)6(1＋y)4展开式的通项可以为CCxryh.所以f(m，n)＝CC.所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C＋CC＋CC＋C＝20＋60＋36＋4＝120.应选C.
12．B　由题意可知，a＝C，b＝C，
又因为13a＝7b，所以13·＝7·，
即＝.解得m＝6.应选B.
13．30
解析：方法1：可分以下两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法．所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)．
方法2：C－C－C＝30(种)．
14．±2
解析：通项Tr＋1＝C()6－rar＝arCx3－，
令3－＝2，得r＝2.
故a2C＝60，解得a＝±2.
15．60
解析：不同的获奖情况分为两种，一是一人获两张奖券一人获一张奖券，共有CA＝36(种)；二是有三人各获得一张奖券，共有A＝24(种)．因此不同的获奖情况有36＋24＝60(种)．
解析：由题意得a1＝·C＝＝3，所以n＝3a；
a2＝C＝＝4，所以n2－n＝8a2.
将n＝3a代入n2－n＝8a2得9a2－3a＝8a2，
即a2－3a＝0，解得a＝3或a＝0(舍去)．
所以a＝3.
17．解：(1)分步完成：教师先坐中间，有A种方法，学生再坐其余位置，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，不同的坐法共有A·A＝48(种)．
(2)将2名教师看作一个元素，问题变为5个元素排列的问题．
先将教师排好，有A·A种方法，再排学生，有A种方法，故不同的坐法共有A·A·A＝144(种)．
(3)插空法：先排学生，有A种方法，教师从4名学生之间的3个空位选2个进展排列，有A种方法，故不同的坐法共有A·A＝144(种)．
18．解：假设从1,2,3，…，97,98,99,100中取出1，有1＋100>100，有1种取法；
假设取出2，有2＋100>100,2＋99>100，有2种取法；
取出3，有3种取法；…；
假设取出50，有50＋51>100,50＋52>100，…，50＋100>100，有50种取法；
所以取出数字1至50，共有不同的取法N1＝1＋2＋3＋…＋50＝1 275(种)．
假设取出51，有51＋52>100,51＋53>100，…，51＋100>100，有49种取法；
假设取出52，那么有48种取法；…；假设取出99，只有1种取法．
所以取出数字51至100(N1中取过的不再取)，有不同取法N2＝49＋48＋…＋2＋1＝1 225(种)．
故总的取法共有N＝N1＋N2＝2 500(种)．
19.解：(1)由，得C(2i)2＝－180，即4C＝180，
化简得n2－n－90＝0，又n∈N＋，解得n＝10.
(2)10展开式的通项为
Tr＋1＝C(2i)10－rx－2r＝C(2i)10－rx，
∵展开式中的系数为正实数，且r∈{0,1,2，…，10}，
∴r的取值为10,6,2，
故所求的项为
T11＝x－20，T7＝3 360x－10，T3＝11 520.
20．解：T6＝C(x2)n－55＝－Cx2n－15，
令2n－15＝1，那么n＝8，
令x＝1，那么a0＋a1＋…＋an＝(－2)8＝256，
令x＝0，那么a0＝1，
所以a1＋a2＋…＋an＝255.
21.解：5的展开式的通项是
Tr＋1＝C5－rr＝5－r·C·x，
令20－5r＝0，解得r＝4，
故常数项T5＝C×＝16，
又(a2＋1)n的展开式的各项系数之与等于2n，
由题意得2n＝16，解得n＝4，
由二项式系数的性质可知，(a2＋1)4的展开式中系数最大的项是中间项，即第三项，
由Ca4＝54，解得a＝±.
22．解：(1)组成无重复数字的自然数共有CA＋CA＋CA＋CA＋CA＋C＝1 631(个)．
(2)无重复数字的四位偶数中个位数是0的有A＝60(个)，个位数是2或4的有2CA＝96(个)，所以无重复数字的四位偶数共有60＋96＝156(个)．
(3)无重复数字的四位数中千位数字是5的共有A＝60(个)，千位数字是4的有A＝60(个)，其中不大于4 023的有5个，故比4 023大的数共有60＋60－5＝115(个)．
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