直线与方程知识点及典型例题.doc

第三章 直线与方程知识点及典型例题
1. 直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时
,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
2. 直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。即k=tana。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当时，； 当时，； 当时，不存在。
x
y
o
a1
a2
l1
l2
例.如右图，直线l1的倾斜角a=30°，直线l1⊥l2，求直线l1与l2的斜率.
解：k1=tan30°= ∵l1⊥l2 ∴ k1·k2 =—1
∴k2 =—
例：直线的倾斜角是( )
A.120° B.150° C.60° D.30°
②过两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式：
注意下面四点：
(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P1、P2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.设直线 l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，
当(1) l1/ / l2 (2) l1⊥l1时分别求出m的值
※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
3. 直线方程
①点斜式：直线斜率k，且过点
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：y=kx+b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：（）直线两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)
④截矩式：其中直线与轴交于点(a，0)，与y轴交于点(0，b),即l与x轴、y轴的
截距分别为a、b。
注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ；
但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：或y=kx.
⑤ 一般式：Ax+By+C=0（A，B不全为0）
注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。
(2)各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：
平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）；
例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是，经过点A(8，—2)； .
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴； .
(3)在轴与轴上的截距分别是； .
(4)经过两点P1(3，—2)、P2(5，—4)； .
例1：直线的方程为Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）
A．C=0，B>0 B．C=0，B>0，A>0 C．C=0，AB<0 D．C=0，AB>0
4. 两直线平行与垂直
当，时，
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
5. 已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
(A1与B1及A2与B2都不同时为零)
若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组的一组解。
若方程组无解 ； 若方程组有无数解与重合
6. 点的坐标与直线方程的关系
几何元素
代数表示
点P
坐标P(xo，yo)
直线l
方程Ax+By+C=0
点P(xo，yo)在直线l上
坐标满足方程：Ax+By+C=0
点P(xo，yo)是l1、l2的交点
坐标(xo，yo)满足方程组
7. 两条直线的位置关系的判定公式
A1B2—A2B1≠0
方程组有唯一解
两直线相交

或A1C2—A2C1 ≠ 0
无解
两直线平行

或A1C2—A2C1 = 0
有无数个解
两直线重合
两条直线垂直的判定条件：当A1、B1、A2、B2满足 时l1⊥l2。
答：A1A2+B1B2=0
经典例题；
例1.已知两直线l1： x+(1+m) y =2—m与l2：2mx+4y+16=0，m为何值时l1与l2①相交②平行
解：
例2. 已知两直线l1：(3a+2) x+(1—4a) y +8=0与l2：(5a—2)x+(a+4)y—7=0垂直，求a值
解：
例3.求两条垂直直线l1：2x+ y +2=0与l2： mx+4y—2=0的交点坐标
解：
例4. 已知直线l的方程为，
(1)求过点（2，3）且垂直于l的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l的直线方程。
8. 两点间距离公式：设A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，
则|AB|=
9. 点到直线距离公式：一点P(xo，yo)到直线l：Ax+By+C=0的距离
10. 两平行直线距离公式
例：已知两条平行线直线l1与l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，
则l1与l2的距离为
例1：求平行线l1：3x+ 4y —12=0与l2： ax+8y+11=0之间的距离。
例2：已知平行线l1：3x+2y —6=0与l2： 6x+4y—3=0，求与它们距离相等的平行线方程。
12. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(，)
例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。
13. 对称点与对称直线的求法
例1：已知直线l：2x—3y+1=0与点P(—1，—2).
(1) 分别求：点P(—1，—2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称点Q坐标
(2) 分别求：直线l：2x—3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程.
(3) 求直线l关于点P(—1，—2)对称的直线方程。
(4) 求P(—1，—2)关于直线l轴对称的直线方程。
例2：点P(—1，—2)关于直线l： x+y—2=0的对称点的坐标为 。
例3：已知圆C1：(x+1)2+(y—1)2=1与圆C2关于直线x—y—1=0对称，则圆C2的方程为： 。
A. (x+2)2+(y—2)2=1 B. (x—2)2+(y+2)2=1 C. (x+2)2+(y+2)2=1 D. (x—2)2+(y—2)2=1
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