对数函数及其幂函数教案及复习资料详解.doc

对数函数与幂函数
教学目标
一、教学知识点
1、对数函数的概念.
2、对数函数的图象和性质
3、幂函数的概念。
4、五种幂函数的图象并归纳他们的基本性质，并能进行简单的应用。
二、能力训练要求
1、理解对数函数的的概念.
2、掌握对数函数的图象和性质.
3、培养学生数形结合的意识.
4、理解幂函数的概念。
5、理解五种幂函数的图象并归纳他们的基本性质，并能进行简单的应用。
教学重点
对数函数的图象和性质
幂函数的概念
从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质
教学难点
对数函数指数函数的关系
画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律
对数及其对数函数
1、对数的概念
（1）定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。
①以10为底的对数称常用对数，记作；
②以无理数为底的对数称自然对数，，记作；
（2）基本性质：
①真数N为正数（负数和零无对数）；2）；
③；4）对数恒等式：。
（3）运算性质：如果则
①；
②；③R）。
（4）换底公式：
两个非常有用的结论①；②。
【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
(1) af(x)=bÛf(x)=logab, logaf(x)=bÛf(x)=ab; （定义法）
(2) af(x)=ag(x)Ûf(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)Ûf(x)=g(x)>0（转化法）
(3) af(x)=bg(x)Ûf(x)logma=g(x)logmb(取对数法)
(4) logaf(x)=logbg(x)Ûlogaf(x)=logag(x)/logab(换底法)
2．对数函数定义
一般地，当a>0且a≠1时，函数y=㏒2 x.叫做对数函数.
在 a b = N中, 底数a不变, 指数b变为x, 幂N变为y, 得到指数函数y= a x.
在 a b = N中, 底数a不变,指数b变为y,幂N变为
x, 得到对数函数y = loga x.
这里大家要明确，对数函数与指数函数互为反函数，所以，对数函数的解析式可以由指数函数求反函数得到，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域.即对数函数的定义域是（0，+∞），值域是R.
3．对数函数的性质：
（1）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。
同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。

1
1

1
1

（图1）
（图2）

（2）对数函数性质列表：
图
象

性
质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即当时，
（4）在（0，+∞）上是增函数
（4）在上是减函数

幂函数
1.问题引入
我们先看下面几个具体问题:
(1). 如果圣诞节卡片每张1元，那么买x张卡片需y元。 y=x
(2). 如果正方形的边长为x，面积为y。 y=
(3). 如果正方形边长为x，体积为y。 y=
(4). 如果正方形的面积为 x，边长为y。 y=
(5). 如果某人x秒内骑车行了1km, 他骑车的平均速度为y. y=
以上问题中的函数具有什么共同特征？
答：共同特征：（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂；
（3）指数为常数；
（4）自变量前的系数为1;
2、幂函数的概念
一般地，函数 y= 叫做幂函数，其中x是自变量， 是常数
注：一般我们讨论为有理数的情况
3、幂函数性质的探究：
对于幂函数，我们只讨论=1，2，3， ，–1 时的情形。

定义域
 R
 R
 R

值 域
 R

 R

 奇偶性
 奇函数
 偶函数
 奇函数
 非奇非偶函数
 奇函数

单调性

公共点
  （1，1）
通过上表 我们得出：
（1） 函数 ， ， ，和得图像都通过点（1，1）
（2） 函数 ， ，是奇函数，函数是偶函数
（3） 在区间上，函数，，，是增函数，函数是减函数
（4） 在第一象限内，函数的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。
由上述推理归纳：幂函数的性质如下
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);
(2)指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数
(3) 如果＞０，则幂函数在区间[0,+∞)上是增函数；
如果＜０，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，图象向右与x轴无限接近。
4、课堂小结
（1）学习了对数函数和幂函数的定义
（2）对数函数和幂函数的图像和性质
（3）利用幂函数的单调性判别“同指数不同底数”的幂的大小
（4）数形结合思想的再次升华

典例解析
例1．计算
（1）；（2）；
（3）。

例2．设、、为正数，且满足
（1）求证：；
（2）若，，求、、的值。

例3.（1）已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a, b 表示）
（2）设 求证：

例4．设关于的方程R），
（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；
（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。
.

例5.已知y=loga(2－ax)在区间[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围．

例6，已知函数f(x)=loga(a－ax)且a＞1，
（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

例7. 已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求的值。

课后练习

1．函数的定义域是 ，值域是 .
2．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为 .

3．函数y= 的单调递增区间是 .

4．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是___________.

5．设若时有意义，求实数的范围

6. 已知函数.
(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.

7. 如图，A，B，C为函数的图象

上的三点，它们的横坐标分别是t, t+2, t+4(t1).
(1)设ABC的面积为S 求S=f (t) ；
(2)判断函数S=f (t)的单调性；
(3) 求S=f (t)的最大值.

8. 已知幂函数在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求的值，并写出相应的函数

例题答案与解析
例1.解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）分子=；
分母=；
原式=。
点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。
例2． 证明：（1）左边
；
解：（2）由得，
∴……………①
由得………… ……………②
由①②得……………………………………③
由①得，代入得，
∵， ∴………………………………④
由③、④解得，，从而。
点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。
例3. （1） 解：∵ log 18 9 = a ∴ ∴log 18 2 = 1 - a ∵ 18 b = 5 ∴ log 18 5 = b ∴
（2） 证：∵ ∴
∴
题型4：指数、对数方程
例4． 解：（1）原方程为，
，
时方程有实数解；
（2）①当时，，∴方程有唯一解；
②当时，.
的解为；
令
的解为；
综合①、②，得
1）当时原方程有两解：；
2）当时，原方程有唯一解；
3）当时，原方程无解。
点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。

例5. 解析：先求函数定义域：由2－ax＞0，得ax＜2
又a是对数的底数，
∴a＞0且a≠1，∴x＜
由递减区间[0，1]应在定义域内可得＞1，∴a＜2
又2－ax在x∈[0，1]是减函数
∴y=loga(2－ax)在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a＞1
∴1＜a＜2

例6．解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)
(2)设1＞x2＞x1
∵a＞1，∴，于是a－＜a－
则loga(a－a)＜loga(a－)
即f(x2)＜f(x1)
∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数
例7，解：因为的图象与x,y轴都无交点，所以，，所以，m可取0，1，2。因为的图象关于y轴对称 所以m=1

课后习题答案与解析

1．
2. 0
3.
4.
5. 解：由已知得，当时 ，∴
∴ ∴
，∴， ∴

6. 解：(1)函数的定义域为(1，p).
(2)当p＞3时，f (x)的值域为(－∞，2log2(p+1)－2)；
当1＜p3时，f (x)的值域为(－，1+log2(p+1)).

7. 解：（1）过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴，垂足为A1,B1,C1，
则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C－S梯形AA1C1C.

（2）因为v=在上是增函数,且v5,
上是减函数，且1<u; S上是增函数，
所以复合函数S=f(t) 上是减函数
（3）由（2）知t=1时，S有最大值，最大值是f (1)

8 解：因为幂函数f（x）＝在（0，＋∞）上是增函数，所以－p2＋p＋＞0，解得－1＜p＜3、又幂函数在其定义域内是偶函数且p∈Z，所以p＝2、相应的函数f（x）＝、

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