初三数学二次函数与圆知识点总结.doc

初三数学知识点总结
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，20叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当20 (a≠0)时，Δ2-4 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；
Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.
4. 一元二次方程的根系关系： 当20 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：
※ 5．当20 (a≠0) 时，有以下等价命题：
(以下等价关系要求会用公式 ；Δ2-4 分析，不要求背记)
（1）两根互为相反数 Û = 0且Δ≥0 Û b = 0且Δ≥0；
（2）两根互为倒数 Û =1且Δ≥0 Û a = c且Δ≥0；
（3）只有一个零根 Û = 0且≠0 Û c = 0且b≠0；
（4）有两个零根 Û = 0且= 0 Û c = 0且0；
（5）至少有一个零根 Û 0 Û c0；
（6）两根异号 Û ＜0 Û a、c异号；
（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值Û ＜0且＞0Û a、c异号且a、b异号；
（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值Û ＜0且＜0Û a、c异号且a、b同号；
（9）有两个正根 Û ＞0，＞0且Δ≥0 Û a、c同号， a、b异号且Δ≥0；
（10）有两个负根 Û ＞0，＜0且Δ≥0 Û a、c同号， a、b同号且Δ≥0.
6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.
2(1)(2) 或 2.
7．求一元二次方程的公式：
x2 -（x12）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.
8．平均增长率问题应用题的类型题之一 （设增长率为x）：
(1) 第一年为 a , 第二年为a(1) , 第三年为a(1)2.
（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总与.
9．分式方程的解法：
10. 二元二次方程组的解法：
※11．几个常见转化：
1.垂径定理及推论:
如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，
即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.

几何表达式举例：
∵ 过圆心
∵⊥
2.平行线夹弧定理：
圆的两条平行弦所夹的弧相等.

几何表达式举例：

3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）
“等角对等弦”； “等弦对等角”；
“等角对等弧”； “等弧对等角”；
“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；
“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.

几何表达式举例：
(1) ∵∠∠
∴ =
(2) ∵ =
∴∠∠
4．圆周角定理及推论:
（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)
（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；
（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)
（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)

（1） （2）（3） （4）
几何表达式举例：
（1） ∵∠∠
∴ ……………
（2） ∵ 是直径
∴ ∠90°
（3） ∵ ∠90°
∴ 是直径
（4） ∵
∴ Δ是Δ

5．圆内接四边形性质定理:
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外
角都等于它的内对角.
几何表达式举例：
∵ 是圆内接四边形
∴ ∠ =∠
∠∠A =180°
6．切线的判定与性质定理:
如图：有三个元素，“知二可推一”；
需记忆其中四个定理.
（1）经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线；
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；
※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

几何表达式举例：
（1） ∵是半径
∵⊥
∴是切线
（2） ∵是半径
∵是切线
∴⊥
（3） ……………

7．切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等；圆心与这一
点的连线平分两条切线的夹角.

几何表达式举例：
∵ 、是切线
∴
∵过圆心
∴∠ =∠
8．弦切角定理及其推论:
（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；
（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）

几何表达式举例：
（1）∵是切线，是弦
∴∠ =∠

（2）
∵ ，是切线
∴ ∠ =∠

9．相交弦定理及其推论:
（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；
（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.

几何表达式举例：
（1） ∵··
∴………
（2） ∵是直径
∵⊥
∴2·
10．切割线定理及其推论:
（1）从圆外一点引圆的切线与割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.

几何表达式举例：
（1） ∵是切线，
是割线
∴2·
（2） ∵、是割线
∴··
11．关于两圆的性质定理:
（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；
（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.

（1） （2）
几何表达式举例：
（1） ∵O1，O2是圆心
∴O1O2垂直平分
（2） ∵⊙1 、⊙2相切
∴O1 、A、O2三点一线
12．正多边形的有关计算:
（1）中心角an ，半径 ， 边心距 ，
边长 ，内角bn ， 边数n；
（2）有关计算在Δ中进行.
公式举例：
(1) an =；
(2)
几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空与选择题）
一 基本概念：圆的几何定义与集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高
三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦
切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外）
公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正
多边形的中心角.
二 定理：
1．不在一直线上的三个点确定一个圆.
2．任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3．正n边形的半径与边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.
三 公式：
1.有关的计算：（1）圆的周长2πR；（2）弧长；（3）圆的面积πR2.
（4）扇形面积S扇形 =；（5）弓形面积S弓形 =扇形面积±Δ的面积.（如图）
2.圆柱与圆锥的侧面展开图：
（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2π； (r:底面半径；h:圆柱高)
（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =. （2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）
四 常识：
1． 圆是轴对称与中心对称图形.
2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.
3． 三角形的外心 Û 两边中垂线的交点 Û 三角形的外接圆的圆心；
三角形的内心 Û 两内角平分线的交点 Û 三角形的内切圆的圆心.
4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）
直线与圆相交 Û d＜r ； 直线与圆相切 Û ； 直线与圆相离 Û d＞r.
5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）
两圆外离 Û d＞； 两圆外切 Û ； 两圆相交 Û ＜d＜；
两圆内切 Û ； 两圆内含 Û d＜.
6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”与“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.
7．关于圆的常见辅助线：

已知弦构造弦心距.

已知弦构造Δ.

已知直径构造直角.

已知切线连半径，出垂直.

圆外角转化为圆周角.

圆内角转化为圆周角.

构造垂径定理.
构造相似形.

两圆内切，构造外公切线与垂直.

两圆内切，构造外公切线与平行.

两圆外切，构造内公切线与垂直.

两圆外切，构造内公切线与平行.

两圆同心，作弦心距，可证得.

两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线.

、是切线，构造双垂图形与全等.

相交弦出相似.

一切一割出相似, 并且构造弦切角.

两割出相似,并且构造圆周角.

双垂出相似,并且构造直角.

规则图形折叠出一对全等，一对相似.

圆的外切四边形对边与相等.

若 ∥都是切线，连结、可证∠180°，即A、O、B三点一线.

等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 与切点,并构造相似形.

Δ的内切圆半径：.

补全半圆.

.

.

过圆心，是切线，构造
双垂、Δ.

O是圆心，等弧出平行与相似.

作⊥，可证出:
.

第 10 页