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第26课时 图形与坐标
【基础知识梳理】
1.位置的确定
一般地，在平面内确定物体的位置需要 个数据.
2.平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直有 的数轴组成平面直角坐标系。通常把其中水平的一条数轴叫做 (或 )，取 为正方向；铅直的数轴叫做 (或 )，取 为正方向；x轴和y轴统称为 ，它们的公共原点O叫做直角坐标系的 。
3.点的坐标
对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的数a、b分别叫做点P的 、 ，有序实数对P(a，b)叫做点P的 。
4.特殊点的坐标特征
⑴连接横坐标相同的点的直线于y轴，于x轴；连接纵坐标相同的点的直线于轴， 于y轴.
⑵横坐标轴上点的 为0；纵坐标轴上点的 为0.
(3)各个象限内的点的坐标特征是：
第一象限( ， ) 第二象限( ， )
第三象限( ， ) 第四象限( ， )
(4)对称点的坐标特征：
点P(x，y)关于x轴的对称点的坐标是 .
点P(x，y)关于y轴的对称点的坐标是 .
点P(x，y)关于原点的对称点的坐标是 .
5.距离与点的坐标关系
(1) x轴上两点P1(x1，0)，P2(x2，0)间的距离为：︱P1P2︱= .
(2) y轴上两点Q1(0，y 1)，Q2(0，y 2)间的距离为：︱Q1 Q2︱= .
(3)P(a，b)到x轴的距离为 ；点P(a，b)到y轴的距离为 ；点P(a，b)到原点的距离为 .
6.坐标平面内图形的变化与坐标的变化之间的关系
(1) 平移
向上或向下平移， 坐标不变， 坐标加上一个数；向左或向右平移， 坐标不变， 坐标加上一个数.
(2) 轴对称
关于x轴对称， 坐标不变， 坐标乘以－1；关于y轴对称， 坐标不变， 坐标乘以－1；关于原点对称，横、纵坐标都 .
(3)拉长(压缩)
横向拉长(压缩) 坐标不变， 坐标分别乘以；纵向拉长(压缩) 坐标不变， 坐标分别乘以.
【基础诊断】
1、在平面直角坐标系中，点P(，5)关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A．(，) B．(3，5) C．(3．) D．(5，)
2、在平面直角坐标系中，将点A (－2，1)向左平移2个单位到点Q，则点Q的坐标为
A．(－2，3) B．(0，1) C．(－4，1) D．(－4，－1)
3、如图，矩形的边、分别在x轴、y轴
上，点B的坐标为（3，2）．点D、E分别在、边上，1．沿
直线将△翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为（ ）
A.（1，2）． B．（2，1）． C．（2，2）． D．（3，1）．
【精典例题】
例1如果点P(-3,21)关于原点的对称点在第四象限，求m的取值范围；如果Q(1,35)到x轴的距离与到y轴的距离相等，求m的值。

点拨：点P关于原点的对称点在第四象限知道P是第二象限的点，第二象限的点的纵坐标的符号为正，从而得到m的取值范围。点Q到x轴的距离与到y轴的距离相等列出方程得出m的值。要注意距离这个概念，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，距离用符号语言表示的时候一定要注意用绝对值符号。否则就丢失了一个值。
例2、（2012山东泰安）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0）（2，1），（1，1）（1，2）（2，2），……，根据这个规律，第2012个点的横坐标为 .

【点拨】观察图形可知，到每一横坐标相同的点结束，点的总个数等于最后点的横坐标的平方，并且横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为横坐标减1的点结束，根据此规律解答即可．

例3：如图2方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
①把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标；
②以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点坐标．
点拨：图形的变化其实可以看作图形上关键点坐标的变化，本题很好的体现了数形结合的思想。

图2

点悟：以平面直角坐标系和网格为背景，借点的坐标变化引起图形的变化，综合考察对称、平移、旋转三大图形变换。因此，画平移、旋转后的图形时，关键是确定图形的关键点，然后根据相应顶点的平移方向、距离，旋转方向、角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种以局部带整体的作图方法是最常用的作图方法。
【自测训练】A—基础训练
一、 选择题
1、在平面直角坐标系中，点P（－3，2）所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、平面直角坐标系中，与点（2，－3）关于原点中心对称的点是（ ）
(A)（－3，2） (B)（3，－2） (C)（－2，3） (D)（2，3）
3、若点P（，﹣2）在第四象限，则的取值范围是（ ）
A、﹣2＜＜0 B、0＜＜2 C、＞2 D、＜0
4、在平面直角坐标系中，▱的顶点A、B、C的坐标分别是(0，0)、(3，0)、(4．2)，则顶点D的坐标为（ ）
A. (7，2) B. (5, 4) C. (1，2) D. (2，1)
5、以平行四边形的顶点A为原点，直线为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是（ ）
A、（3，3） B、（5，3） C、（3，5） D、（5，5）
6、如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．(－4，3) B．(4，3) C．(－2，6) D．(－2，3)
二、填空题
7. 已知点A（1，1）在x轴上，则a等于．
8．点与都在第二、四象限两条坐标轴的夹角的平分线上,则 .
9. 已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条垂直与x轴的直线上，且N点到x轴的距离为5，那么点N的坐标是 。
10. 如图，在平面直角坐标系中，将△绕点P旋转180°，得到△,则点P的坐标为
第6题图

第10题图

第10题图

三、解答题

11、△在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△关于轴对称的△，并写出点的坐标；
（2）作出将△ 绕点O顺时针旋转180°后的△．

12、 如图，菱形的中心在直角坐标系的原点，一条边与x轴平行，已知点A、D的坐标分别是（－4，3）、（，3），求B、C的坐标．

13、（2012山西）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线平行于x轴，边与x轴正半轴的夹角为30°，2，求点B的坐标

B提升训练
一、 选择题
1、点P（m－1,2m＋1）在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. <1 D.
2、点M（﹣60°，60°）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. （， ） B. （，） C. （，） D. （，）
3、 在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.且规定，正方形的内部不包含边界上的点.观察如图所示的中心在原点、一边平行于轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…则边长为8的正方形内部的整点的个数为（ ）  
A.64.  B.49.  C.36.　　D.25.
4、已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C160°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（　　）

A．

B．

C．

D．

第4题图
第3题图

第5题图

5．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（ ）
A．（2，0）　B．（-1，1）　C．（-2，1）　D．（-1，-1）[来

二、填空题
6、在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则的值是 ．
7、在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点P′(2+，+2)关于原点对称，则－的值为
8、如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为 ．
9、如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（－1，0），则点C的坐标为 ．
第10题图
10、将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 .
第9题图
第8题图

三、解答题
11、 如图，已知平行四边形的对角线、相交于坐标原点O，与x轴夹角∠＝30°，∥x轴，＝8，＝6．求平行四边形的四个顶点的坐标．

12.如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴、y轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，若B（1，2），求点D的坐标．

13、【阅读】
在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（，）．
【运用】
（1）如图，矩形的对角线交于点M，、分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为；
（2）在直角坐标系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

（第13题图）
第26课时 图形与坐标答案

【自测训练】A—基础训练
一、 选择题
1、 B 2、C 3、B 4、 C 5、D 6、A

二、 填空题
7、-1 8、-2；3 9、（3,5)或 （35) 10、（-11)
三、解答题
11、【答案】（1）作图如图示，的坐标为（－2，－3）．
（2）如图示．

12、 B（-，-3） C（4，-3）
13.解：过点B作⊥于E，
∵矩形的对角线平行于x轴，边与x轴正半轴的夹角为30°，
∴∠30°，∴4，∴4，∴2，∴2，
∴则点B的坐标是（2，），
B提升训练
一、 选择题
1、B 2、B 3、B 4、D 5、D
二、 填空题
6、-4或6 7、1 8、（3，4) 9、（ ， ） 10、210
三、解答题
11、A(-2,2) B(-,2)C(2,2)D((2)
12、过点D作⊥于F，
∵四边形是矩形，∴∥。∴∠∠。
根据折叠对称的性质得：∠∠，∠∠90°，
∴∠∠，∴。
∵B（1，2），∴2。
设，则－2－x，
在△中，22＋2，即（2－x）22＋1，解得：。∴，，
∵⊥，⊥，∴∥，∴△∽△。
∴。 ∴－。∴点D的横坐标为：（－，
13、（1）∵四边形是矩形，
∴点M是的中点．
∵O（0，0），E（4，3），
∴点M的坐标为（2，）．
（2）设点D的坐标为（x，y）．
若以为对角线，，为邻边构成平行四边形，则，的中点重合
∴，解得，．
若以为对角线，，为邻边构成平行四边形，则，的中点重合
∴，解得，．
若以为对角线，，为邻边构成平行四边形，则，的中点重合
∴，解得，．
综上可知，点D的坐标为（1，-1）或（5，3）或（-3，5）．