江苏省徐州市20162017学年度第一学期高二期中考试数学试题含答案.doc

2016-2017学年度第一学期期中考试
高二数学试题
(考试时间120分钟，总分160分)
参考公式：
圆柱的体积公式：其中S是圆柱的底面积，h是高．
锥体的体积公式：其中S是锥体的底面积，h是高．
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分.)
1．过点且和直线垂直的直线方程为．
2．过三点，和原点的圆的标准方程为．
3．在平面直角坐标系中，过,两点直线的倾斜角为．
4．圆心在轴上，且和直线相切于点的圆的方程是．
5. 对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是.
6. 若直线和直线平行，则实数的值是.
7. 经过点，且和两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为.
8. 已知圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面直径和母线长相等.若
圆柱和圆锥的体积相同，则圆锥的高为.
9. 在坐标系中，若直线和圆心为的圆相
交于两点，且为直角三角形，则实数的值是.
10.已知点和点，若直线和线段没有公共点，
则实数的取值范围是．
11.设为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，是平面内任意的直线，则；②若，，
，，则； ③若，，，则；
④若，，，则.其中正确命题的序号为．
12.在平面直角坐标系中，圆，若直线上至少存
在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆和圆有公共点，则实数的最
大值是．
13.已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将
其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥
的体积为．
14.已知实数满足，则的取值范围是.
二、解答题(本大题共6小题，共计90分.)
A
B
C
D
M
N
A1
B1
C1
（第15题）
15.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱中，点分别为线段
的中点.(1)求证：平面；
(2)若在边上，，求证：.

16.(本小题满分14分)命题实数满足(其中)，命题
实数满足.(1)若，且为真，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

A
B
C
D
E
F
(第17题图）
O
17.(本小题满分14分)如图，四边形是矩形，平面平面，
.(1)求证：平面平面；
(2)点在上，若平面，求的值.

18.(本小题满分16分)已知直线和圆相交于两
点，弦的中点为.(1)求实数的取值范围以及直线的方程；
(2)若圆上存在动点使成立，求实数的取值范围.

19.(本小题满分16分)设直线，圆().
(1)当取一切实数时，直线和圆都有公共点，求的取值范围；
(2)当时，求直线被圆截得的弦长的取值范围.
(3)当时，设圆和轴相交于两点，是圆上异于的任意
一点，直线交直线于点，直线交直线于点.
求证：以为直径的圆总经过定点，并求出定点坐标.

20.(本小题满分16分)已知为坐标原点，设动点.
(1)若过点的直线和圆相切，求直线的方程；
(2)求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；
(3)设，过点作的垂线和以为直径的圆交于点，
求证：线段的长为定值，并求出这个定值.

2016～2017学年度第一学期期中考试
高二数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.；2.； 3.；4.；
5.；6..或； 7．或；
8.6； 9. -1； 10.或； 11.①②； 12．；
13.； 14..
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
证明：(1)如图，连结A1C．在直三棱柱－A1B1C1中，
∴A
B
C
D
M
N
A1
B1
C1
（第15题）
侧面1C1C为平行四边形．
又N为线段1的中点，
∴A1C和1相交于点N，
即A1C经过点N，
且N为线段A1C的中点．……… 2分
∵为M为线段A1B的中点，
∴∥． ……………… 4分
又Ë平面1C1C，Ì平面1C1C，
∴∥平面1C1C． …………………… 6分
(2)在直三棱柱－A1B1C1中，1⊥平面．
又Ì平面，∴1⊥． ……………… 8分
∵⊥1，1Ì平面1C1C，
1Ì平面1C1C，1∩1＝C1，
∴⊥平面1C1C． …………………… 10分
又Ì平面1C1C，∴⊥． ……………… 12分
又由（1）知，∥，∴⊥． ………… 14分

16.（本小题满分14分）
解：【答案】(1)由得，
又，所以，
当时，，
即为真时，实数的取值范围是，……………2分
由得，解得，
即为真时，实数的取值范围是，……………4分
若为真，则真且真，
所以实数的取值范围是. ………………………6分
(2)由(1)知p：，则：或，…………8分
q：，则：或，………………………10分
因为是的充分不必要条件，
则，且，
所以解得，
故实数的取值范围是．……………………………14分

A
B
C
D
E
F
(第17题图）
O
17. （本小题满分14分）
解：（1）证明：∵为矩形，
∴⊥．
∵面⊥面，
面∩面＝，Ì面，
∴⊥面． ……………… 3分
∵Ì面，∴⊥．
∵⊥，Ì平面，
Ì平面，∩＝B，
∴⊥平面． ………………………… 6分
∵Ì平面，∴平面⊥平面．… 8分
（2）连结交于点O，连结．
∵∥平面，Ì平面，
平面∩平面＝，
∴． ………………………… 12分
又矩形中，O为中点，
∴F为中点，即＝． ………………… 14分

18. （本小题满分16分）
解：（1）圆……2分
据题意：……4分
因为
所以直线的方程为……6分
（2）由2，得,……10分
依题意，圆和圆有公共点，
故，……13分
解得.……15分
又因为由（1）知，所以……16分

19．（本小题满分16分）
解：（1）直线过定点，当取一切实数时，直线
和圆都有公共点等价于点在圆内或在圆上，
所以． ………………………2分
解得．
所以的取值范围是； ……………4分
（2）设坐标为的点为点，则．
则当直线和垂直时，
由垂径定理得直线被圆截得的弦长为
；……………6分
当直线过圆心时，弦长最大，
即轴被圆截得的弦长为；
所以被圆截得的弦长的范围是．………8分
（3）对于圆的方程，令，
即，．
设，则直线方程为．
解方程组，得，
同理可得：． ……………10分
所以，半径长为，
又点在圆上，所以．
故，半径长为，
所以圆的方程为，………12分
即，
即，
又，
故圆的方程为，………14分
令，则，
所以圆经过定点，，则，
所以圆经过定点且定点坐标为. ……………16分

20. （本小题满分16分）
解：(1)圆C：圆心C(4,0),半径4
当斜率不存在时，符合题意； ……………2分
当斜率存在时，设直线
因为直线和圆相切，所以圆心到直线距离为4，
所以
所以直线
故所求直线……………5分
（2）以为直径的圆的方程为
其圆心为,半径, ………………………7分
因为以为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离, ……9分
所以，解得
所求圆的方程为, …………………10分
（3）方法一：由平几知：,
直线：，直线：, ………………12分
由得

所以线段的长为定值. ………………………………16分
方法二:设，则，，
，，

又∵，∴，
即，
所以，为定值.