资源描述
不等关系
1、 不等式：
（1） 生活中的不等关系： 太阳的体积大于地球的体积；汽车的速度比自行车的时速的100倍要小；小明的年龄不小于你的年龄；的3倍与13的和不大于100
（2） 定义：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“﹥”（或“ ≥”）连接的式子叫不等式。
（3） 表示不等式关系的符号： 5种
2、 不等式的分类： 绝对不等式 ； 条件不等式 ；矛盾不等式
3、 列不等式表示简单的数量关系：（1）认真审题，分清数量的大小关系
（2）列出相应的代数式，找出不等关系 （3）用表示不等关系的符号，列出不等式
例1、 用适当的符号表示下列不等关系：
（1） 一条鲸鱼的长度比一条鲳鱼的长度长；
（2） 空调的电功率比电扇的电功率的10倍还要大；
（3） 是非负数
例2、 指出下列关系式中的不等式：
（1） （2） （3） （4） （5）
（6） （7） （8） （9） （10）
例3、 从1 ，3 ，5 ， 7 ，9中任取两个数组成一组数，写出其中两数之和小于10的所有数组。
例4、 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
原料
维生素Ｃ含量及价格
甲种原料
乙种原料
原料价格（元/千克）
8
4
维生素C（单位/千克）
600
100
（1）现配制这两种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量千克满足的不等式。
（2）若还要购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么所需甲种饮料的质量千克应满足什么样的不等式 。
（3）你能写出同时满足（1）（2）所需甲种原料的质量千克应满足的不等式组吗 ？
例5、 某校两名教师带若干名学生去旅游，联系了两家标价相同的旅游公司，经洽谈后，甲公司的优惠条件是1名教师全额收费，其余7.5折收费；乙公司的条件是全部师生8折收费。试问当学生人数超过多少人时，甲旅游公司比乙旅游公司更优惠 ？ （只列关系式即可）
一、 选择题：
1、 下面给出6个式子：（1）； （2） ；（3） ；（4）
（5） ；（6） ，其中是不等式的有（ ）
A、 2个 B、 3个 C、 4个 D、 5个
2、与3的和的一半是负数，用不等式表示为 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、 下列按条件列不等式错误的是 （ ）
Ａ、 若不是负数， Ｂ、 若的值不大于１，则
Ｃ、 若与１的差大于或等于０，则 Ｄ、若的值不超过３，则
４、 若实数 ，则实数， ，的大小关系是（ ）
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
二、 填空题：
５、 “的２倍与５的和比的小”用不等值表示为 。
６、 “代数式的值至少比大３”用不等式表示为
７、 小红准备去买苹果和橘子，她带了３０元钱，已知一千克苹果４元，一千克橘子元，她买了３千克苹果，４千克橘子，那么应该满足的不等式是
。
三、 解答题：
8、 写出下列不等关系：
（1）的2倍减3的差不大于1
（2）的9倍与的的和是负数 。
（3）直角三角形的斜边比它的两条直角边、都长
（4）与两数和的平方不大于3
9、 某电信公司的A类手机收费标准是：每月缴月租费50元，另外每通话1分钟缴费0.36元；B类手机收费标准是：不缴月租费，每通话1分钟缴费0.60元，如果每月的通话时间为分钟，分别写出：
（1）选择A类手机收费标准应满足的不等式；
（2）选择B类手机收费标准应满足的不等式。
10、 一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，请列出以后几天平均每天要完成的土方数应满足的不等式。
中考真题：
1、 比较大小 2 。
1.2不等式的基本性质
1、 不等式的基本性质：
（1）不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
2、不等式的其它性质： （1）对称性：若 ，则
（2）传递性：若，且 ，则
（3）同向相加性：若 ，则
（4）若 ， ，则
（5）若在，则
3、 不等式性质的应用： （1）分类讨论 （2）数形结合
例1、 填空：
（1）若，则 ， 。
（2）若 ，则 ， ，根据
（3）若，则 ，，根据
。
（4）若 ，，则 ， ，
。
（5）若 ， ，则 ， ，
。
（6）若，则 6 。
（7） ，那么 0 。
（8）若，且 ，则 0
例2、 选择题：
（1）若，则下列不等式成立的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
（2）下列变形不正确的是 （ ）
A、若 ，则 B、 若 ，则
C、 若，，则 D、若，则
例3、 试判断与的大小。
一、 选择题：
1、 在下列不等式中，一定成立的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、 下列说法正确的是 （ ）
A、 若 ，则 B、 若 ，则
C、若 ，则 D、若，则
3、下列说法中错误的是 （ ）
A、 如果，则 B、如果，，则
C、如果 ，，则 D、如果，，那么
4、 如果，那么下列式子成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、 填空题：
5、 若，则 ， 。
6、 如果 ，那么 。
7、 若，则
8、 若 ，则 时 ， ； 时 ，。
三、 用不等式的性质，把下列不等式化成或的形式。
9、 10、
四、 据下列条件，写出不等式
11、，两边都减去 12、 ，两边都乘以
五、 说出下列不等式变形的依据：
13、 若 ，则 14、若，则
六、 解答题：
16、 一段路程长24km ，小明准备用不超过6 h的时间走完全程，则小明的速度应满足什么条件？
中考真题：
1、 如果，，那么下列不等式成立的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
不等式的解集
1、 不等式的解集：
（1）使不等式成立的未知数的每一个值叫做这个不等式的一个解。
（2）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。
2、 在数轴上表示不等式的解集：
3、 （1）“或”的意义：“或”即“或者”，指所列出的情况二者居其一和二者同时存在。
（2） “且”即“并且”，表递进，是对已有情况再进一步限制或说明。
例1、 判断：
（1）2是不等式的一个解 。 （ ）
（2）是不等式的一个解 。 （ ）
（3）是不等式的解集。 （ ）
（4），0 ，1 ，3都是不等式的解。 （ ）
（5）不等式的解集是 。 （ ）
（6）是不等式的解集。 （ ）
（7）不等式的正整数解是1 。 （ ）
（8）不等式与的解集相同。 （ ）
（9）不等式的解有无穷多个，解集是。（ ）
（10）可用数轴上表示1 的点的左边部分来表示。（ ）
例2、 如图所示，写出数轴上表示的解集。
例3、 在数轴上表示下列解集：
（1） (2)
(3) (4) 且
例4、 在同一数轴上表示下列解集：
（1） 和 （2）和
例5、 已知 ，且，，试判断、的符号。
例6、 求下列符合条件的解：
（1）不等式的正整数解。
(2) 不等式的最小整数解 。
（3）不等式的非负整数解。
一、 选择题：
1、 下列四种说法，正确的有（ ）
（1）是不等式的一个解；（2）是不等式的一个解；（3）是不等式的解集 ； （4）中的任何一个数都能使不等式成立，所以也是它的解集 。
A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个
2、 把不等式的解集在数轴上表示出来，则正确的是 （ ）
3、 不等式的解集是 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、 不等式的解的情况是 （ ）
A、 只有一个解 B、 有两个解 C、 无解 D、 有无数解
二、 填空题：
5、 写出不等式的正整数解是 。
6、 写出一个不等式，使不等式的整数解为， ，0 ，1 ： 。
7、 不等式的最大整数解为 。
三、 在数轴上表示解集：
8、
9、且
10、
中考真题：
1、 不等式的解集是 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、 如图，数轴上表示的关于的一元一次不等式的解集为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、 不等式的解集在数轴上表示为 （ ）
1.4 一元一次不等式
1、 一元一次不等式：
（1）定义：可化为只含有一恶搞未知数，并且未知数的最高次数是1 ，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式。
（2）一元一次不等式的标准形式 ：
或 （ ）
（3）一元一次不等式的最简形式：
或 （ ）
2、 一元一次不等式的解法步骤：
一般步骤： （1）去分母 （2）去括号 （3）移项 （4）合并同类项
（5）系数化为1 （6）按要求在数轴上表示解集
3、 同解不等式
4、 列不等式解应用题：
例1、 指出下列不等式中的一元一次不等式：
（1） （2） （3）
（4）或 （5） （6）
例2、 解不等式 ，并将解集在数轴上表示出来 。
例3、 已知不等式的解集与的解集相同，求的值 。
例4、 一次数学测验共25道题（满分100分），评分办法是：答对一道题4分，答错一道题扣1分，不答不给分。某同学有一道题未答，俺们他至少答对多少道题才及格？
例５、 有１０名农民，每人可种甲种蔬菜３亩或乙种蔬菜２亩，已知甲种蔬菜每亩可收入０.５万元 ，乙种蔬菜每亩可收入０.８万元，若要使总收入不低于１５.６万元，最多可安排多少人种甲种蔬菜 ？
例6、 去商店买衣服 ，甲、 乙两点的衣服每件均为300元，多买可以优惠，甲店每件可优惠40% ，乙店是第一件按原价出售，其余优惠50% ，如果买3～8件 ，在哪家店买合算 ？
例7、 一种礼花弹，爆炸范围为半径1米的圆形面积，导火线每秒燃6厘米，人每秒走0.5米 ，导火线至少多长，才能保证人的安全 ？
例8、 九年级的几位同学拍了一张合影留作纪念 ，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元，在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数 （ ）
A、 至多6人 B、 至少6人 C、 至多5人 D、 至少5人
一、 选择题：
1、 下列不等式中，一元一次不等式有 （ ）
（1） (2) (3) (4)
A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个
2、 不等式的解集是 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、 把不等式的解集表示在数轴上，正确的是 （ ）
4、不等式的解集是 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、 若关于的方程的解是负数，则的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、 若、、 、四个数在数轴上的对应点，由左到右的顺序为、、、 ，那么的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
二、 填空题：
7、 若不等式是一元一次不等式，则= 。
8、 不等式的正整数解是 。
9、 当 时 ，代数式的值不小于0 。
10、 代数式的值是非负数，则的取值范围是 。
11、 某商店在第一季度比进价提高10%销售，第二季度降价出售，且售价不低于进价的99% ，则的取值范围是 。
三、 解不等式，并在数轴上表示解集：
12、 13、
四、 解答题：
14、 数学测验中共有20道选择题，评分标准是：每答对一道题给6分，每答错一道题不但不给分，而且还扣去2分，若不答则不给分。有一个同学有一道题没答，并且他的成绩不低于60分，那么他至少答对多少道题 ？
中考真题：
1、 解一元一次不等式，得其解的范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、 不等式的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
3、 西宁市天然气公司在一些居民小区安装天然气与管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费方法，若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，在对每户收费500元。某小区住户按这种收费方法全部装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（ ）
A、 至少20户 B、 至多20户 C、 至少21户 D、 至多21户
4、 使在实数范围内有意义的的取值范围是 。
5、 某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡称为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠。已知小敏5月1日前不是该商店的会员。
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元 ?
(2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算 ？
1.5 一元一次不等式与一次函数
1、 一元一次不等式与一次函数的关系。
一般地，对于一个一次函数，当取一个值 ，求相应的的值时，一次函数即可化为一个一元一次方程；当在一定范围内取值时，则一次函数即可变为一个一元一次不等式 。
2、 一元一次不等式与一次函数的关系：
一元一次不等式的解集可以通过函数的图像来体现。若要求一元一次不等式
的解集，可先画出的函数图象，在图像上找出相应的时的点 ，再由函数图像的性质，可得出的解集为
（或） 。
3、 利用一元一次函数的“数”与与一次函数图像的“形”之间的关系来解决实际问题 。
例1、 已知函数。
（1）当取何值时， ？
（2）当取何值时， ？
（3）当取何值时， ？
例2、 一次函数的图像经过点A、 点B ，如右上图所示，则不等式的解集是 （ ）
A、 B、 C、 D、
例3、 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图像，观察图像回答下列问题：
（1） 何时弟弟跑在哥哥前面 ？
（2） 何时哥哥跑在弟弟前面 ？
（3） 谁先跑过20米？谁先跑过100米 ？
例4、 甲、 乙两人骑摩托车从相距20km的A、B两地相向而行，下图中分别表示甲、乙两人离开A 地的距离（km）与行驶时间（）之间的函数关系。
（1）甲、乙两人谁骑摩托车的速度较快 ？
（2）经过多长时间 ，甲到A、 B两地的中点 ？
一、 选择题：
1、如图（1），直线经过点A （﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线过点A ，则不等式组的解集为 （ ）
A、 B、
C、 D、
（图1） （图2）
2、 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图像如图（2）所示，则关于的不等式的解集为 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、 函数与的交点坐标是 （ ）
A、 B、 C、 D、
二、 解答题：
4、 在坐标系中，画出与的图像，并根据图像解方程 。
5、 钝角三角形中，一个锐角比另一个锐角大20°，设较小的锐角度数为°，钝角的度数为°，写出与的函数关系式，作出图像并求较小锐角的范围 。
1、 如图，直线交坐标轴于A （﹣3，0）、B（0 ，5）两点，则不等式﹤0是解为 （ ）
（图1） （图2） （图3）
A、 B、 C、 D、
2、 一次函数的图像如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、 已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集是 。
4、 某企业在生产甲、乙两种节能产品时需用A、B两种原料，生产每种节能产品所需原料的数量如下表所示：
销售甲、乙两种产品的利润(万元)与销售量（吨）之间的函数关系如图所示。已知该企业生产了甲种产品吨与乙种产品吨，共用去A原料200吨。
（１） 写出与满足的关系式；
（２） 为保证生产的这批甲、乙两种产品售后的总利润不少于２２０万元，那么至少要用Ｂ原料多少吨 ？
１.６ 一元一次不等式组
１、 一元一次不等式组：
（１）定义：由几个都含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
（２）一元一次不等式组的解集
一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。
２、 不等式组的解法步骤：
（１） 求出不等式组中各个不等式的解集。
（２） 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集。
３、 列不等式组解应用题。
例１、 指出下列不等式组中的一元一次不等式组，并说出依据。
例２、 已知关于的不等式组 的整数解共有５个，则的取值范围是多少 ？
例３、 解不等式组：
例４、 解不等式组：
例５、 填空：
（１）若不等式组无解，则取值范围是 。
（２）若不等式组 的解为，那么 ＝ 。
（３）若关于的不等式 的解都是不等式 的解，则的取值范围是 。
（４）若关于的不等式组 无解，则 的取值范围是 。
例６、 有一个两位数，其十位数字比个位数字小２，这个数大于２０小于４０ ，求这个两位数 。
例７、 某宾馆一楼客房比二楼少５间，某旅游团有４８人，若全安排住一楼，如每件住４人，则房间不够；若每间住５人，则有的房间住不满５人；若是全安排住二楼，若每间住３人，则房间不够；若每间住４人，则有的房间住不满４人，则该宾馆的一楼有多少间客房 ？
一、 选择题：
１、 下列说法不正确的是 （ ）
Ａ、 是的一个解 Ｂ、是的一个解
Ｃ、 不是的解 Ｄ、是的解
２、 若 是一元一次不等式组，则等于 （ ）
A、 1 B、 C、2 D、
3、 不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组可能是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、不等式组 ，的解集在数轴上表示正确的是 ( )
5、 已知关于的方程的解大于2且小于10 ，则的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
二、 填空题：
6、 根据图示写出所表示的解集 。
7、 不等式组 的解集为 。
三、 解不等式组，并在数轴上表示解集 。
8、 9、
10、 筹建中的城南中学需720套单人课桌椅，光明厂承担了这项任务，该厂生产桌子的必须5人一组，每组每天可生产12张；生产椅子的必须4人一组，每人每天可生产24把。已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务。
（1）问光明厂平均每天要生产多少套单人课桌椅 ？
（2）现学校筹建组要求至少提前1天完成这项生产任务，光明厂生产课桌椅的员工增加到84名，试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案 ？
中考真题：
1、 把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是 （ ）
2、 若点P 在第四象限，则的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、 解不等式组：
把解集表示在数轴上，并求出不等式组的解集 。
4、 某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“：书香校园”，计划用不超过1900本科技书籍和1620本人文类书籍，组建中小型图书角共30个 。已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本。
（1）符合题意的方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元 ？
5、 师徒二人分别组装28辆摩托车，徒弟单独工作一周（7天）不能完成，二师傅单独工作不到一周就已完成，已知师徒平均每天比徒弟多组装2辆，求：
（1）徒弟平均每天组装多少量摩托车（答案取整数）？
（2）若徒弟先工作2天，师傅才开始工作，师傅工作几天，师徒两人所组装的摩托车辆相同 ？
知识总结
例1、 下列不等式变形正确的是 （ ）
A、 由，得 B、 由，得
C、 由，得 D、 由，得
例2、 解不等式组 ，
例3、 某班到毕业时共结余1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过200元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品。已知每件T恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集。
（1）每件T恤和每本影集的价格分别为多少元 ？
（2）有几本购买T恤和影集的方案 ？
一、选择题：
1、 若，且为实数，则下列说法正确的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、 不等式组 的解集是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、 图3 是关于的一次函数的图像，当是 ，的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、不等式组 的最小整数解为 （ ）
A、 0 B、 1 C、 2 D、
二、 填空题：
5、 若，则 。
6、 若关于的不等
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