二次根式培优专题之一难点指导与典型例题含答案及解析.doc

《二次根式》培优专题之一
——难点指导及典型例题
【难点指导】
1、如果是二次根式，则一定有a≥0；当a≥0时，必有≥0；
2、当a≥0时，表示a的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；
3、表示a2的算术平方根，因此有，a可以是任意实数；
4、区别与的不同：
中的可以取任意实数，中的a只能是一个非负数，否则无意义．
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
（1）因式的内移：因式内移时，若m＜0，则将负号留在根号外．即：
(m＜0)．
（2） 因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
6、二次根式的比较：
（1）若，则有；（2）若，则有．
   说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．
【典型例题】
1、概念与性质
2、二次根式的化简与计算
例1. 化简的结果是（ ）
A． B． C．- D．-
分析：本题是同学们在做题时常感困惑,容易糊涂的问题.很多同学觉得选项B形式最简单,所以选B;还有的同学觉得应有一个负号与原式对应,所以选A或D;这些都是错误的.本题对概念的要求是较高的,题中隐含着这个条件,因此原式的结果应该是负值,并且被开方数必须为非负值.
解：C. 理由如下:
∵二次根式有意义的条件是,即，
∴原式=.故选C.
例2. 把（a－b）化成最简二次根式
解：
例3、先化简，再求值：
，其中a=，b=．
3、在实数范围内分解因式
例. 在实数范围内分解因式。（1）；                （2）
4、比较数值
（1）、根式变形法
当时，①如果，则；②如果，则。
例1、比较与的大小。
（2）、平方法
当时，①如果，则；②如果，则。
例2、比较与的大小。
（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例3、比较与的大小。
（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4、比较与的大小。
（5）、倒数法
例5、比较与的大小。
（6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
例6、比较与的大小。
＜6，＞6，∴＜
（7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①；②
例7、比较与的大小。
（8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：
①； ②
例8、比较与的大小。
5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程：
  ， 验证：；
验证:.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.
例2. 已知，则a_________
发展：已知，则a______。
例3、化简下列各式：
（1）　　　　　　　　　　　　　　（2）
例4、已知a>b>0，a+b=6，则的值为（ ）A． B．2 C． D．
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