立体几何10道大题.doc

立体几何练习题
1.
四棱锥中，底面为平行四边形，侧面面，已知，，，.
（1）设平面与平面的交线为，求证：；
（2）求证：；
（3）求直线与面所成角的正弦值.

2.
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，AD=AC=1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO=2，M为PD的中点。

（1）证明：PB//平面ACM；
（2）证明：AD平面PAC
（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。

3.
如图，四棱锥中，，，△与△都是等边三角形．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．

4.
如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．

5.
如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，平面平面，且，，，且．
（1）设点为棱中点，在面内是否存在点，使得平面？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的余弦值.

6.
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．

7.
在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
（1）求证AB⊥面VAD；
（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

8.
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=，对角线AC与BD相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．
（Ⅰ） 求证：EF∥BC；
（Ⅱ）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值．

9.
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角．

10.
如图，在等腰梯形中，，，，四边形
为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.

立体几何试卷答案
（2）证明：连接AC， ，
由余弦定理得， 6分
取中点，连接，则.

面 …………………8分
（Ⅲ）如图，以射线OA为轴，以射线OB为轴，以射线OS为轴，以为原点，建立空间直角坐标系,
B y
S
C
A
D

2、试题解析：（1）证明：为AC的中点，即O为BD的中点，且 M为PD的中点，
又平面ACM，平面ACM,
所以PB//平面ACM。
（2）证明：因为，AD=AC，所以，
所以,
又PO平面ABCD，所以
所以AD平面PAC。
（3）取OD的中点为N，因为所以MN平面ABCD，
所以为直线AM与平面ABCD所成角。
因为AD=AC=1，，所以
所以又所以

3.（1）证明见解析；（2）．．
试题解析：（1）证明：过作平面于，连．
依题意，则．又△为，故为的中点．
∵面，∴面面．在梯形中，，

4.【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．又BC⊂平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．…
（Ⅱ）证明：∵PC⊥AD，
∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，∴∠DCA=∠BAC=，
又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形，
∴DC=AC=（AB）=2AB．
连接BD，交AC于点M，则==2．
连接EM，在△BPD中， ==2，∴PD∥EM，
又PD⊂/平面EAC，EM⊂平面EAC，∴PD∥平面EAC．…
（Ⅲ）解：以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）

设=（x，y，1）为平面AEC的一个法向量，则⊥，⊥，
∵=（3，3，0），=（0，2，1），
∴解得x=，y=﹣，∴=（，﹣，1）．
设=（x′，y′，1）为平面PBC的一个法向量，则⊥，⊥，
又=（3，0，0），=（0，﹣3，3），
∴，解得x′=0，y′=1，∴=（0，1，1）．
（取PB中点为F，连接AF可证为平面PBC的一个法向量．）
∵cos＜，＞=|=，
∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为..…
注：以其他方式建系的参照给分．

5.（1）详见解析；（2）.
试题分析：（1）连接，交于点，连接，证明平面，从而即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.
试题解析：（1）连接，交于点，连接，则平面，
∵为中点，为中点，∴为的中位线，∴，
又∵平面平面，平面平面，平面，，

6【解答】（本小题满分14分）
（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…
因AA1=AB，则AD⊥A1B 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，
且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B。
得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…
因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．
（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，
则CD是AC在平面A1BC内的射影
∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…
在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点
∴，且，∴…
过点A作AE⊥A1C于点E，连DE
由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A
∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…
且直角△A1AC中：
又，∴，
且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角
∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…

7.【解答】证明：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，
则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB．
又面ABCD是正方形，则AB⊥AD，故AB⊥面VAD．
（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角．
设正方形ABCD的边长为a，
则在Rt△ABF中，AB=a，AF=a，tan∠AFB=
故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为．

8. 【解答】（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形
∴AD∥BC，且BC⊄面ADEF，AD⊂面ADEF，
∴BC∥面ADEF，且面ADEF∩面BCEF=EF，∴EF∥BC．
解：（Ⅱ）∵FO⊥面ABCD，∴FO⊥AO，FO⊥OB
又∵OB⊥AO，以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，
y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
取CD的中点M，连OM，EM．易证EM⊥平面ABCD．
又∵BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标：
B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），
F（0，0，），E（﹣，﹣，），
向量=（﹣，，），向量=（﹣，﹣1，0），向量，
设面BCFE的法向量为：，
，得到，
令时， =（﹣1，，1），
面AOF的一个法向量，
设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为θ，
则cosθ===，∴sinθ=．
故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为．…
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如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，
则A（0，0，0）P（0，0，2），B（2，0，0），M（1，12，1），D（0，2，0）
（Ⅰ）因为=0所以PB⊥DM．
（Ⅱ）因为=0所以PB⊥AD．
又PB⊥DM．
因此的余角即是BD与平面ADMN．
所成的角．
因为所以=
因此BD与平面ADMN所成的角为．
10. 试题解析：（1）证明：在梯形中，
∵，，，∴，
∴，
∴，∴，
∴平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
（2）由（1）分别以直线为轴，轴，轴发建立如图所示空间直角坐标系，

令，则，
∴.设为平面的一个法向量，
由，得，取，则，
∵是平面的一个法向量，
∴.
∵，∴当时，有最小值，
当时，有最大值，∴.
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