河北省张家口市2017届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析.doc

2016-2017学年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷
（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合U=R，集合A={x|1＜2x＜4}，B={x|x2﹣1≥0}则A∩（∁UB）=（　　）
A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1|} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x≤1}
2．设复数z的共轭复数为，若z=1﹣i（i为虚数单位），则复数+z2+|z|在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=An2+Bn，且a1=1，a2=3，则a2017=（　　）
A．4031 B．4032 C．4033 D．4034
4．在正三角形△ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为（　　）
A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣ D．1﹣
5．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（﹣|x|）的图象为（　　）

A． B． C． D．
6．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．12
7．已知双曲线C的焦点为F1，F2，点P为双曲线上一点，若|PF2|=2|PF1|，∠PF1F2=60°，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
8．已知向量=（1，x﹣1），=（y，2），若向量，同向，则x+y的最小值为（　　）
A． B．2 C．2 D．2+1
9．程序框图如图所示，则该程序运行后输出n的值是（　　）

A．4 B．2 C．1 D．2017
10．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
11．设椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=x相交于M，N两点，若在椭圆上存在点P，使得直线MP，NP斜率之积为﹣，则椭圆离心率为（　　）
A． B． C． D．
12．已知ω＞0，在函数y=4sinωx与y=4cosωx的图象的交点中，距离最近的两个交点的距离为6，则ω的值为（　　）
A． B． C． D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若向量=（0，1），||=||， •=，则||=　　．
14．（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为　　．
15．设数列{an}是等比数列，公比q=2，Sn为{an}的前n项和，记Tn=（n∈N*），则数列{Tn}最大项的值为　　．
16．函数f（x）=ax2+bx﹣1，且0≤f（1）≤1，﹣2≤f（﹣1）≤0，则z=的取值范围是　　．

三、解答题（共5小题，满分60分）
17．已知函数f（x）=（m+2cos2x）•cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中m∈R，θ∈（0，π）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象的对称中心和单调递增区间
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f（+）=﹣，c=1，ab=2，求△ABC的周长．
18．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD，AE⊥PC于点E，EF∥CD，交PD于点F
（Ⅰ）证明：平面ADE⊥平面PBC
（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣F的余弦值．

19．在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，只是告诉大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级”
（Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率
（Ⅱ）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分
①请你从平均分光和方差的角度来分析两个班的选手的情况；
②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

20．已知M是直线l：x=﹣1上的动点，点F的坐标是（1，0），过M的直线l′与l垂直，并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N
（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程
（Ⅱ）设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′，点P的坐标为（2，0），直线AP与曲线C的另一个交点为B（B与A′不重合），直线P′H⊥A′B，垂足为H，是否存在一个定点Q，使得|QH|为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=+lnx﹣3有两个零点x1，x2（x1＜x2）
（Ⅰ）求证：0＜a＜e2
（Ⅱ）求证：x1+x2＞2a．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ，直线l的参数方程是（t为参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与y轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣m|（m＞0），g（x）=2f（x）﹣f（x+m），g（x）的最小值为﹣1．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若|a|＜m，|b|＜m，且a≠0．求证：f（ab）＞|a|f（）．

2016-2017学年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合U=R，集合A={x|1＜2x＜4}，B={x|x2﹣1≥0}则A∩（∁UB）=（　　）
A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1|} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x≤1}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：20=1＜2x＜4=22，
解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，
由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≥0，
解得：x≤﹣1或x≥1，即B={x|x≤﹣1或x≥1}，
∴∁UB={x|﹣1＜x＜1}，
则A∩（∁UB）={x|0＜x＜1}，
故选：B．

2．设复数z的共轭复数为，若z=1﹣i（i为虚数单位），则复数+z2+|z|在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数+z2+|z|=+（1﹣i）2+|1﹣i|=﹣2i+=﹣i+．
在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：D．

3．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=An2+Bn，且a1=1，a2=3，则a2017=（　　）
A．4031 B．4032 C．4033 D．4034
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=An2+Bn，数列{an}是等差数列．再利用通项公式即可得出．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=An2+Bn，∴数列{an}是等差数列．
∵a1=1，a2=3，则公差d=3﹣1=2．
a2017=1+2×=4033．
故选：C．

4．在正三角形△ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为（　　）
A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣ D．1﹣
【考点】几何概型．
【分析】先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．
【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：设边长为2，
其中正三角形ABC的面积S三角形=×4=．
满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，
则S阴影=π，
则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是：P=1﹣．
故选：A．

5．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（﹣|x|）的图象为（　　）

A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】判断函数的奇偶性，然后利用已知条件转化判断即可．
【解答】解：函数y=f（﹣|x|）是偶函数，图象关于y轴对称，排除选项B，D；
当x＞0时，函数y=f（﹣|x|）=f（﹣x）与原函数关于y轴对称，是x＜0对称的函数的图象，
排除C，图象A满足题意．
故选A．

6．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．12
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，
其底面面积S=（1+2）×2=3，
高h=2，
故体积V==2，
故选：A

7．已知双曲线C的焦点为F1，F2，点P为双曲线上一点，若|PF2|=2|PF1|，∠PF1F2=60°，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题设条件，利用余弦定理能够求出|PF1|=c，再由双曲线定义可以推导出2a=c，从而求出该双曲线的离心率．
【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=2x，|F1F2|=2c，
∵∠PF1F2=60°，
∴cos60°==⇒x=c，
∵|PF2|﹣|PF1|=2a，
∴x=2a=c，
∴e==．
故选：D．

8．已知向量=（1，x﹣1），=（y，2），若向量，同向，则x+y的最小值为（　　）
A． B．2 C．2 D．2+1
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】由已知得xy﹣y﹣2=0，y≥0，x﹣1≥0，从而得到（x+y）2≥4y+8≥8，由此能求出x+y的最小值．
【解答】解：∵向量=（1，x﹣1），=（y，2），向量，同向，
∴，整理得：xy﹣y﹣2=0，
∵向量，同向，∴y≥0，x﹣1≥0，
∴y+2=xy≤，
∴（x+y）2≥4y+8≥8，
∴x+y≥．
故选：C．

9．程序框图如图所示，则该程序运行后输出n的值是（　　）

A．4 B．2 C．1 D．2017
【考点】程序框图．
【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出n，从而到结论．
【解答】解：第1步：n=1，k=0，n=4，k=1，
第2步：n=4，n=2，k=2，
第3步：n=2，n=1，k=3，
第4步：n=1，n=4，k=4，
第5步：n=4，n=2，k=5，
第6步：n=2，n=1，k=6，
…，
由2018÷3=672+2，
同第2步，此时n=4，n=2，k=2018＞2017，
输出n=2，
故选：B．

10．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】如图所示，取AC的中点D，A1C1的中点D1，建立空间直角坐标系．利用=，即可得出．
【解答】解：如图所示，取AC的中点D，A1C1的中点D1，建立空间直角坐标系．
不妨设AC=2．则A（0，﹣1，0），M（0，0，2），B（﹣，0，0），
N．
=（0，1，2），=．
∴===．
故选：C．

11．设椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=x相交于M，N两点，若在椭圆上存在点P，使得直线MP，NP斜率之积为﹣，则椭圆离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】求得直线直线MP，NP的斜率分别为，，则则=﹣，M，P是椭圆C上的点，则+=1，，两式相减可得=﹣， =，利用离心率公式可知：e==．
【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，设P（x，y），M（m，m），N（﹣m，﹣m），
则直线MP，NP的斜率分别为，，
∵直线MP，NP斜率之积为﹣，即•=﹣，则=﹣，
∵M，P是椭圆C上的点，
∴+=1，，
两式相减可得=﹣，
∴=﹣，
∴=，
∴椭圆离心率e====，
故选B．

12．已知ω＞0，在函数y=4sinωx与y=4cosωx的图象的交点中，距离最近的两个交点的距离为6，则ω的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据正弦线，余弦线得出交点（（k1π+，2），（（k2π+，﹣2），k1，k2都为整数，两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可．
【解答】解：∵函数y=4sinωx与y=4cosωx的图象的交点，
∴根据三角函数线可得出交点（（k1π+，2），（（k2π+，﹣2），k1，k2都为整数，
∵距离最短的两个交点的距离为6，
∴这两个交点在同一个周期内，
∴36=（﹣）2+（﹣2﹣2）2，ω=，
故选：D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若向量=（0，1），||=||， •=，则||=　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】设出的坐标，由已知列式求得的坐标，可得的坐标，则可求．
【解答】解：设，
由=（0，1），||=||， •=0，
得，∴x=±1．
则或，
∴或．
则．
故答案为：．

14．（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为　16　．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】（x﹣）4展开式的通项公式：Tr+1==x4﹣2r，分别令4﹣2r=2，4﹣2r=1，解得r，进而得出．
【解答】解：（x﹣）4展开式的通项公式：Tr+1==x4﹣2r，
令4﹣2r=2，解得r=1；令4﹣2r=1，解得r=舍去．
∴（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为=16．
故答案为：16．

15．设数列{an}是等比数列，公比q=2，Sn为{an}的前n项和，记Tn=（n∈N*），则数列{Tn}最大项的值为　3　．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由等比数列前n项和公式推导出Tn=9﹣2n﹣，由此能示出数列{Tn}最大项的值．
【解答】解：∵数列{an}是等比数列，公比q=2，Sn为{an}的前n项和，
Tn=（n∈N*），
∴Tn==9﹣2n﹣，
∵=4，
当且仅当时取等号，
又n∈N*，n=1或2时，Tn取最大值T1=9﹣2﹣4=3．
∴数列{Tn}最大项的值为3．
故答案为：3．

16．函数f（x）=ax2+bx﹣1，且0≤f（1）≤1，﹣2≤f（﹣1）≤0，则z=的取值范围是　[，2]　．
【考点】简单线性规划；二次函数的性质．
【分析】利用已知条件得到a，b的不等式组，利用目标函数的几何意义，转化求解函数的范围即可．
【解答】解：函数f（x）=ax2+bx﹣1，且0≤f（1）≤1，﹣2≤f（﹣1）≤0，
可得0≤a+b﹣1≤1，﹣2≤a﹣b﹣1≤0，
即，表示的可行域如图：
，

则z==，令t=，可得z==+．t≥0．
，又b=1，a=0成立，此时z=，
可得z∈[，2]
故答案为：[，2]．

三、解答题（共5小题，满分60分）
17．已知函数f（x）=（m+2cos2x）•cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中m∈R，θ∈（0，π）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象的对称中心和单调递增区间
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f（+）=﹣，c=1，ab=2，求△ABC的周长．
【考点】复合函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）把x=代入函数解析式可求得m的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得函数解析式，进而可得函数f（x）的图象的对称中心和单调递增区间
（Ⅱ）由f（+）=﹣可得C角，结合余弦定理及c=1，ab=2，可得△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）f（）=﹣（m+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴m+1=0，即m=﹣1，
∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=（m+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=．
故f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣sin4x，
由4x=kπ，k∈Z得：x=kπ，k∈Z，
故函数f（x）的图象的对称中心坐标为：（kπ，0），k∈Z，
由4x∈[+2kπ， +2kπ]，k∈Z得：x∈[+kπ， +kπ]，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为[+kπ， +kπ]，k∈Z，
（Ⅱ）∵f（+）=﹣sin（2C+）﹣，C为三角形内角，
故C=，
∴c2=a2+b2﹣2abcosC==，
∵c=1，ab=2，
∴a+b=2+，
∴a+b+c=3+，
即△ABC的周长为3+．

18．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD，AE⊥PC于点E，EF∥CD，交PD于点F
（Ⅰ）证明：平面ADE⊥平面PBC
（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣F的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥AD，AD⊥PC，AE⊥PC，从而PC⊥平面ADE，由此能证明平面ADE⊥平面PBC．
（Ⅱ）以DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣F的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，
∵AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC，
∵AE⊥PC，∴PC⊥平面ADE，
∵PC⊂平面PBC，∴平面ADE⊥平面PBC．
解：（Ⅱ）设AB=1，则PD=，PC=PA=2，
由（Ⅰ）知PC⊥平面ADE，
∴DE⊥PC，CE=，PE=，
以DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，），
E（0，，），F（0，0，），
设平面AEF的法向量为=（x，y，z），
则，取x=，得=（），
∵PC⊥平面ADE，∴平面ADE的一个法向量是=（0，1，﹣），
设二面角D﹣AE﹣F的平面角为θ，
cosθ==，
∴二面角D﹣AE﹣F的余弦值为．

19．在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，只是告诉大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级”
（Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率
（Ⅱ）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分
①请你从平均分光和方差的角度来分析两个班的选手的情况；
②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）先分别求出甲班前5位选手的总分和乙班前5位选手的总分，由此利用列举法能求出乙班总分超过甲班的概率．
（Ⅱ）①分别求出甲、乙两班平均分和方差，由此能求出甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大．
②ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
【解答】解：（Ⅰ）甲班前5位选手的总分为88+89+90+91+92=450，
乙班前5位选手的总分为82+84+92+91+94=443，
若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为：
（90，98），（90，99），（91，99），共三个，
∴乙班总分超过甲班的概率为p==．
（Ⅱ）①甲班平均分为=（88+89+90+91+92+90）=90，
乙班平均数为=（82+84+92+91+94+97）=90，
甲班方差为S2甲=（22+12+12+22）=，
乙班方差为S2乙=（82+62+22+12+42+72）=，
两班的平均分相同，但甲班选手的方差小于乙班，
故甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大．
②ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
P（ξ=4）==，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P

∴E（ξ）==2．

20．已知M是直线l：x=﹣1上的动点，点F的坐标是（1，0），过M的直线l′与l垂直，并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N
（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程
（Ⅱ）设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′，点P的坐标为（2，0），直线AP与曲线C的另一个交点为B（B与A′不重合），直线P′H⊥A′B，垂足为H，是否存在一个定点Q，使得|QH|为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）由题意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲线C为抛物线，焦点坐标为F（1，0），点N的轨迹C的方程y2=4x；
（Ⅱ）设A（，a），则A′（，﹣a），直线AB的方程y=（x﹣2），代入抛物线方程，求得B的坐标，A′B的方程为y+a=﹣（x﹣），则令y=0，则x=﹣2，直线A′B与x轴交于定点T（﹣2，0），即可求得存在一个定点T（﹣2，0），使得T，A′，B三点共线，△PHT为直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，丨OH丨=丨TP丨=2，即存在点O（0，0），使得丨OH丨为定值2，则O即为点Q（0，0）．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲线C为抛物线，焦点坐标为F（1，0），
准线方程为l：x=﹣1，
∴点N的轨迹C的方程y2=4x；

（Ⅱ）设A（，a），则A′（，﹣a），
直线AP的斜率kAP==，
直线AB的方程y=（x﹣2），
由，整理得：ay2﹣（a2﹣8）y﹣8a=0，
设B（x2，y2），则ay2=﹣8，则y2=﹣，x2=，
则B（，﹣），
又A′（，﹣a），
∴A′B的方程为y+a=﹣（x﹣），
令y=0，则x=﹣2，
直线A′B与x轴交于定点T（﹣2，0），
△PHT为直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，
∴丨OH丨=丨TP丨=2，
即存在点O（0，0），使得丨OH丨为定值2，则O即为点Q（0，0）．

21．已知函数f（x）=+lnx﹣3有两个零点x1，x2（x1＜x2）
（Ⅰ）求证：0＜a＜e2
（Ⅱ）求证：x1+x2＞2a．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出a的范围即可；
（Ⅱ）问题转化为证明f（x2）＞f（2a﹣x1），设函数g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），根据函数的单调性证明即可．
【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=，
①a≤0时，f′（x）≥0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
不可能有2个零点；
②a＞0时，在区间（0，a）上，f′（x）＜0，在区间（a，+∞）上，f′（x）＞0，
∴f（x）在区间（0，a）递减，在区间（a，+∞）递增；
f（x）的最小值是f（a）=lna﹣2，
由题意得：有f（a）＜0，则0＜a＜e2；
（Ⅱ）要证x1+x2＞2a，只要证x2＞2a﹣x1，
易知x2＞a，2a﹣x1＞a，
而f（x）在区间（a，+∞）递增，
∴只要证明f（x2）＞f（2a﹣x1），
即证f（x2）＞f（2a﹣x1），
设函数g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），
则g（a）=0，且区间（0，a）上，
g′（x）=f′（x）+f′（2a﹣x）=＜0，
即g（x）在（0，a）递减，
∴g（x1）＞g（a）=0，
而g（x1）=f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，
∴f（x2）＞f（2a﹣x1）成立，
∴x1+x2＞2a．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ，直线l的参数方程是（t为参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与y轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．
【考点】函数的最值及其几何意义；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρcosθ，利用x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，即可得出；
（Ⅱ）求出点M与圆心的距离d，即可得出最小值．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρcosθ，
又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0．
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y=2x+2，
令x=0得y=2，即M点的坐标为（0，2）．
又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（1，0），半径r=1，
则|MC|=，
|MN|≤|MC|+r=+1．
∴MN的最大值为+1．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣m|（m＞0），g（x）=2f（x）﹣f（x+m），g（x）的最小值为﹣1．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若|a|＜m，|b|＜m，且a≠0．求证：f（ab）＞|a|f（）．
【考点】分段函数的应用．
【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=|x﹣m|（m＞0），可得函数g（x）的解析式，进而构造方程，可得m的值；
（Ⅱ）若|a|＜m，|b|＜m，要证f（ab）＞|a|f（）．即证|ab﹣1|＞|a﹣b|平方可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣m|（m＞0），
∴g（x）=2f（x）﹣f（x+m）=，
故当x=m时，函数取最小值﹣m=﹣1，
解得：m=1；
（Ⅱ）证明：要证f（ab）＞|a|f（）．
即证|ab﹣1|＞|a﹣b|，
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴（ab﹣1）2﹣（a﹣b）2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
即（ab﹣1）2＞（a﹣b）2，
∴|ab﹣1|＞|a﹣b|，
∴f（ab）＞|a|f（）

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