中考总复习：二次函数--知识讲解(基础).doc

中考总复习：二次函数—知识讲解（基础）
【考纲要求】
1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；
2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；
3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．
【知识网络】

【考点梳理】
考点一、二次函数的定义
一般地，如果（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．
要点诠释：
二次函数(a≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．(2)二次项系数a≠0．
考点二、二次函数的图象及性质
1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为．
2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下．
3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大．
②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴．
③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧．
4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到．
将向上移动k个单位得：．
将向左移动h个单位得：．
将先向上移动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数的图象．
要点诠释：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
考点三、二次函数的解析式
1.一般式：(a≠0)．
若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值．
2.交点式（双根式）：．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．
3.顶点式：．
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．
4.对称点式：．
若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为
，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．
要点诠释：
已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
考点四、二次函数(a≠0) 的图象的位置与系数a、b、c的关系
1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下．
2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧．
3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点．
要点诠释：
当x＝1时，函数y＝a+b+c；
当x＝-1时，函数y＝a-b+c；
当a+b+c＞0时，x＝1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方；
当a-b+c＞0时，x＝-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方．
考点五、二次函数的最值
1.当a＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，．
2.当a＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，．
要点诠释：
在求应用问题的最值时，除求二次函数的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围．
【典型例题】
类型一、应用二次函数的定义求值
1．二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，且图象的对称轴在y轴的右侧，则k的值是 2．
【思路点拨】
因为图象的对称轴在y轴的右侧，所以对称轴x=k+1＞0，即k＞-1；又因为二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，所以y最小值= =-4，可以求出k的值．
【答案与解析】
解：∵图象的对称轴在y轴的右侧，
∴对称轴x=k+1＞0，
解得k＞-1，
∵二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，
∴y最小值= =k+3-（k+1）2=-k2-k+2=-4，
整理得k2+k-6=0，
解得k=2或k=-3，
∵k=-3＜-1，不合题意舍去，
∴k=2．
【总结升华】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，
第三种是公式法．
举一反三：
【变式】已知是二次函数，求k的值．
【答案】∵是二次函数，则
由得，
即，得，．显然，当k＝-3时，
原函数为y＝0，不是二次函数．
∴ k＝2即为所求．
类型二、二次函数的图象及性质的应用
2．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( )．
A． B．
C． D．
【思路点拨】
抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（-1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式．
【答案】 D；
【解析】根据抛物线的平移规律可知：向左平移1个单位可变成，
再向上平移3个单位后可变成．
【总结升华】(1)图象向左或向右平移|h|个单位，可得的图象(h＜0时向左，h＞0时向右)．
(2)的图象向上或向下平移|k|个单位，可得的图象(k＞0时向上，k＜0时向下)．
举一反三：
【变式】将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象的函
数表达式是( )
A． B．
C． D．
【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减”得．故选A.
类型三、求二次函数的解析式
3．已知二次函数的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为，求这个二次函数的解析式．
【思路点拨】
将点（1，0），（-5，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，再由 ，从而求得a，b，c的值，即得这个二次函数的解析式．
【答案与解析】
解法一：由题意得 解得
所以二次函数的解析式为．
解法二：由题意得 ．
把代入，得，解得．
所以二次函数的解析式为，
即 ．
解法三：因为二次函数的图象与x轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知，
对称轴是直线．所以，抛物线的顶点是．
可设函数解析式为．即．
【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式．
举一反三：
【变式】已知：抛物线经过点．
（1）求的值；
（2）若，求这条抛物线的顶点坐标；
（3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）
【答案】
解：（1）依题意得：，
．
（2）当时，，

抛物线的顶点坐标是．
y
x
O
B
P
A

（3）解法1：当时，抛物线对称轴，
对称轴在点的左侧．
因为抛物线是轴对称图形，且．

．
．
又，．
抛物线所对应的二次函数关系式．
解法2：当时，，
对称轴在点的左侧．因为抛物线是轴对称图形，
，且
．
又，解得：
这条抛物线对应的二次函数关系式是．
解法3：，，

轴，
即：．
解得：，即
由，．

这条抛物线对应的二次函数关系式.
类型四、二次函数图象的位置与a、b、c的关系
4．（2015•包头）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（　　）

　 A．①③④ B． ①②③ C． ①②④ D． ①②③④
【思路点拨】
①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），从而可知当x＞3时，y＜0；
②由抛物线开口向下可知a＜0，然后根据x=﹣=1，可知：2a+b=0，从而可知3a+b=0+a=a＜0；
③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则y=ax2﹣2ax﹣3a，令x=0得：y=﹣3a．由抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，可知2≤﹣3a≤3．④由4ac﹣b2＞8a得c﹣2＜0与题意不符．
【答案】B；
【答案与解析】
解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当x＞3时，y＜0，故①正确；
②抛物线开口向下，故a＜0，
∵x=﹣=1，
∴2a+b=0．
∴3a+b=0+a=a＜0，故②正确；
③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则y=ax2﹣2ax﹣3a，
令x=0得：y=﹣3a．
∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤﹣3a≤3．
解得：﹣1≤a≤﹣，故③正确；
④∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤c≤3，
由4ac﹣b2＞8a得：4ac﹣8a＞b2，
∵a＜0，
∴c﹣2＜
∴c﹣2＜0
∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．
故选：B．
【总结升华】
本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示是二次函数图象的一部分，图象经过点A(-3，0)，对称轴为．给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论是（ ）．

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【答案】本例是利用二次函数图象的位置与a、b、c的和、差、积的符号问题，其中利用直线， 交抛物线的位置来判断，的符号问题应注意理解和掌握．
由图象开口向下，可知a＜0，图象与x轴有两个交点，所以，，
① 确．对称轴为，所以，又由a＜0，b＝2a，可得5a＜b，④正确．
故选B.
类型五、求二次函数的最值
5．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为)y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元?
【思路点拨】
（1）每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件，当每件商品的售价上涨x元时，每个月可卖出（210-10x）件，每件商品的利润为x+50-40=10+x；
（2）每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即（210-10x）（10+x），当每个月的利润恰为2200元时得到方程（210-10x）（10+x）=2200．求此方程中x的值．
【答案与解析】
(1)y＝(210-l0x)(50+x-40)＝-10x2+110x+2100(0<x≤15且x为整数)．
(2)y＝-10(x-5.5)2+2402.5．
∵ a＝-10＜0，∴ 当x＝5.5时，y有最大值2402.5．
∵ 0<x≤15，且x为整数，
∴ 当x＝5时，50+x＝55，y＝2400(元)；
当x＝6时，50+x＝56，y＝2400(元)．
∴ 当售价定为每件55元或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
(3)当y＝2200时，-10x2+110x+2100＝2200，
解得x1＝1，x2＝10．
∴ 当x＝1时，50+x＝51；当x＝10时，50+x＝60．
∴ 当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元．
【总结升华】
做此类应用题时，要明确题目中所给的信息，并找到其中相等的量可以用不同的表达式表示就可以列出方程．
举一反三：
【变式】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高l元，平均每天少销售3箱。
(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少?
【答案】
解：(1)，
化简得y＝-3x+240(50≤x≤55)．
(2)w＝(x-40)(-3x+240)
(50≤x≤55)．
(3)w＝，
∵ a＜0，∴ 抛物线开口向下．
当时，w有最大值，
又x＜60，w随x的增大而增大．
∴ 当x＝55元时，w的最大值为l125元。
∴ 当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．
类型六、二次函数综合题
6．（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

【思路点拨】
（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得x=3，确定A（3，2），根据AB关于x=1对称，所以B（﹣1，2）．
（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得，求出b，c的值，即可解答；
（3）画出函数图象，把A，B代入y=ax2，求出a的值，即可解答．
【答案与解析】解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，
解得：x=3，
∴A（3，2），
∵点A关于直线x=1的对称点为B，
∴B（﹣1，2）．
（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：

解得：
∴y=x2﹣2x﹣1．
顶点坐标为（1，﹣2）．
（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，

代入A（3，2）则9a=2，
解得：a=，
代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，
解得：a=2，
∴
【总结升华】本题考查了二次函数的性质，解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形解决问题．
举一反三：
【变式1】已知函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是( )

A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1 C．x≥-3 D．x≤-1或x≥3
【答案】由图象知，使y＝l成立的x的值为x＝-1，x＝3，使y＞1的图象是在直线y＝1上方的两部分．
答案：D.
【变式2】已知：抛物线（为常数，且）.
（1）求证：抛物线与轴有两个交点；
（2）设抛物线与轴的两个交点分别为、（在左侧），与轴的交点为.
①当时，求抛物线的解析式；
②将①中的抛物线沿轴正方向平移个单位（>0），同时将直线：沿轴正方向平移个单位.平移后的直线为，移动后、的对应点分别为、.当为何值时，在直线上存在点，使得△为以为直角边的等腰直角三角形?
【答案】
（1）证明：令,则.
△=．
∵ ,
∴ ．
∴ △.
∴ 方程有两个不相等的实数根.
∴ 抛物线与轴有两个交点.
（2）①令,则，
解方程，得.
∵ 在左侧,且,
∴ 抛物线与轴的两个交点为，.
∵ 抛物线与轴的交点为，∴ .
∴ .
在Rt△中，，
．
可得 ．
∵ ，∴ ．
∴ 抛物线的解析式为.
②依题意，可得直线的解析式为，
,,.
∵ △为以为直角边的等腰直角三角形，
∴ 当时，点的坐标为或.
∴ .
解得 或.
当时，点的坐标为或.
∴.
解得或（不合题意，舍去）.
综上所述，或.
13 / 13