基本初等函数经典总结.doc

第十二讲 基本初等函数
一：教学目标
1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；
2、理解基本初等函数的性质；
3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数
二：教学重难点
教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用；
教学难点：基本初等函数基本性质的应用

三：知识呈现
1.指数与指数函数
1).指数运算法则：（1）； （2）； （3）；
（4）； （5） （6）
2). 指数函数：形如
指数函数
0<a<1
a>1
图 象

表达式

定义域

值 域

过定点

单调性
单调递减
单调递增
2.对数函数
1）对数的运算：
1、 互化：
2、 恒等：
3、 换底：
推论1 推论2
推论3
4、
5、
2）对数函数：
对数函数
0<a<1
a>1
图 象

表达式

定义域

值 域

过定点
(1，0)
单调性
单调递减
单调递增

3.幂函数
一般地，形如 （）的函数叫做幂函数，其中a 是常数
1)性质：
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1);
(2) 如果α＞０，则幂函数图象通过（0，0），并且在区间[0,+∞)上是增函数；
(3) 如果α＜０，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴。

四：典型例题
考点一：指数函数
例1　已知，则x的取值范围是___________．
　　分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．
　　解：∵，
　　∴函数在上是增函数，
　　∴，解得．∴x的取值范围是．
　评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．
　例2　函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．
　　分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．
　　解：令，则，函数可化为，其对称轴为．
　　∴当时，∵，
　　∴，即．
　　∴当时，．
　　解得或（舍去）；
　　当时，∵，
　　∴，即，
　　∴ 时，，
　　解得或（舍去），∴a的值是3或．
　　评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．
例3　求函数的定义域和值域．
　　解：由题意可得，即，
　　∴，故． ∴函数的定义域是．
　　令，则，
　　又∵，∴． ∴，即．
　　∴，即．
　　∴函数的值域是．
　　评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．
例4 求函数y＝的单调区间.
分析 这是复合函数求单调区间的问题
可设y＝,u＝x2-3x+2，其中y＝为减函数
∴u＝x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)
u＝x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)
解：设y＝,u＝x2-3x+2,y关于u递减，
当x∈(-∞，)时，u为减函数，
∴y关于x为增函数；当x∈［，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函数.

考点二：对数函数
例5  求下列函数的定义域
（1）y=log2（x2-4x-5）;
（2）y=logx+1（16-4x）
（3）y= ．
解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0，
故定义域为  ｛x｜x＜-1，或x＞5｝．
（2）令 得
故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝．
（3）令 ，得
故所求定义域为
｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝．
说明  求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．
例6  比较大小：
（1）log0．71．3和log0．71．8．
（2）（lgn）1．7和（lgn）2（n＞1）．
（3）log23和log53．
（4）log35和log64．
解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以
log0．71．3＞log0．71．8．
（2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论．
若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn） x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2；
若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．
（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53．
（4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．
因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64．
评析  要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论．
例7  已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y取最大值时，x的值．
分析  要求函数y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域．
解：∵f（x）=2+log3x，
∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2
  =（2+log3x）2+2+2log3x
  =log23x+6log3x+6
  =（log3x+3）2-3．
∵函数f（x）的定义域为［1，9］，
∴要使函数y=［f（x）］2+f（x2）有定义，就须 ，
∴1≤x≤3．  ∴0≤log3x≤1
∴6≤y=（log3x+3）2-3≤13
∴当x=3时，函数y=［f（x）］2+f（x2）取最大值13．
说明  本例正确求解的关键是：函数y=［f（x）］2+f（x2）定义域的正确确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22．
其实我们还能求出函数y=［f（x）］2+f（x2）的值域为［6，13］．
例8  求函数y=log0．5（-x2+2x+8）的单调区间．
分析  由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8（-2＜x＜4）的单调性相反．
解．∵-x2+2x+8＞0，
∴  -2＜x＜4，
∴  原函数的定义域为（-2，4）．
又∵  函数u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1］上为增函数，在［1，4）上为减函数，
∴函数y=log0．5（-x2+2x+8）在（-2，1］上为减函数，在［1，4）上为增函数．
评析  判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．

考点三：幂函数
例9．比较大小：
（1） （2）（3）（4）
解：（1）∵在上是增函数，，∴
（2）∵在上是增函数，，∴
（3）∵在上是减函数，，∴；
∵是增函数，，∴；
综上，
（4）∵，，，
∴
例10．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．
解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，
∴，∴；
∵，∴，又函数图象关于原点对称，
∴是奇数，∴或．
例11、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．
　　解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．
　　当t＝－1时，ymin＝3．
　　∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．
　　点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
五：课后练习
1、若a＞1在同一坐标系中，函数y=a和y=log的图像可能是（ ）
A B C D
2．求值+-（）-=
3. 下列函数在上为减函数的是（ ）
Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．
答案：Ｂ
4.已知x=,y=,求-的值
5．若a＜a，则a的取值范围是（　　）
　A．a≥1　　　　　B．a＞0 C．1＞a＞0　　　　　 D．1≥a≥0
　解析：运用指数函数的性质，选C．
　答案：C
6.下列式子中正确的是（ ）
A log=log-log B =log-log
C =log D log-log= log

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