高二数学椭圆及其标准方程优质课教案.doc

课题：椭圆及其标准方程

一、教学目标
学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。
二、教学重点、难点
（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。
（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。
三、教学过程
（一）创设情境，引入概念
1、动画演示，生活中的椭圆。 -

天体运动轨道是椭圆，有些镜子做成椭圆形状。
2动画演示
思考:什么是椭圆？怎样画椭圆？
（二）实验探究，形成概念
1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。
实验探究：
保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？
思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？
2、 概括椭圆定义
M

引导学生概括椭圆定义

椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。
教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
思考：焦点为的椭圆上任一点M，有什么性质？
令椭圆上任一点M，则有
思考：
1、定义中的常数为什么要大于焦距？
2、若常数等于焦距，轨迹是线段
3、若常数小于焦距，轨迹不存在
注: 定义是判断椭圆的方法
定义是椭圆的一个性质

（三）研讨探究，推导方程
1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是
【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：
方案一：把F1、F2建在x轴上，以F1F2的中点为原点；
方案二：把F1、F2建在x轴上，以F1为原点；
方案三：把F1、F2建在x轴上，以F2为原点；
（学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？） 经过比较确定方案一.
2．推导标准方程．
选取建系方案,让学生动手，尝试推导.
按方案一：以过、的直线为轴，线段的垂直平分或线为轴，建立平面直角坐标系．设，点为椭圆上任意一点，
则 ，
∴ 得，
（想一想：下面怎样化简？）
（１）教师为突破难点，进行引导设问：
我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得 ．
（2）的引入．
由椭圆的定义可知，,　∴．
让点运动到轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得，的几何意义，进而自然引进，此时设，于是得， 两边同时除以，得到方程：（称为椭圆的标准方程）．
（3）建立焦点在轴上的椭圆的标准方程．
要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？
方法：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母，交换了位置），直接得到方程．

图1 图3

4．归纳概括，掌握特征．
（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；
（2）椭圆标准方程中三个参数 , , 的关系：；
（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.

（四）归纳概括，方程特征
1、 观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳
（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；
（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；
（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：
（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；
（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b的值。
标准方程
+=1
x
y

M
O
+=1
图形
x
y

M
O

a,b,c关系

焦点坐标

焦点位置
在x轴上
在y轴上

（五）尝试应用，范例教学．
例1 下列哪些是椭圆的方程，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并指明、，说出焦点坐标．

注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然．

（六）变式训练，探索创新

写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.
变式一：将上题焦点改为、，结果如何？
变式二：将上题改为两个焦点的距离为8 ，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10 ，结果如何？

（七）小结归纳，提高认识
师生共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法。
（八）作业训练，巩固提高
1.P46 习题2.1A组第 1 题，第2题第①小题.
（九）板书设计 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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§2.1.1 椭圆及其标准方程

一．椭圆的定义 三．例题
二．椭圆的标准方程 四. 作业
焦点在轴上：
焦点在轴上；

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