高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题.docx

圆锥曲线基础知识与典型例题
第一部分：椭圆
1、知识关系网

2、 基础知识点
(1).椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a (2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
(2).椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)
标准方程

图形

顶点
,
,
对称轴
轴，轴，长轴长为，短轴长为
焦点
、
、
焦距
焦距为
离心率
(0<e<1) 越大椭圆越扁

第二部分：双曲线
1、 知识网络

2、 基本知识点
(1)双曲线的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a (0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
(2)双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示)
标准方程

图形

顶点

对称轴
轴，轴，实轴长为，虚轴长为
焦点

焦距
焦距为
离心率
(e>1) 越大双曲线开口越大

第三部分：抛物线
1、 知识网络

2、 基本知识点
(1)抛物线的定义: 平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在上).定点F叫做抛物线的焦点, 定直线叫做抛物线的准线.
(2)抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)
标准方程

图形

对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点

顶点
原点
准线

离心率
1
第四部分：圆锥曲线综合问题
1.直线与圆锥曲线的位置关系
⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定
直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.
方法：直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得到一个一元二次方程，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.
注：直线方程与双曲线方程、抛物线方程联立消元后注意二次项系数为零的情况讨论.
⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长
①当直线存在斜率时，直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为，
则它的弦长
②当直线斜率不存在时，则.
(3)椭圆、双曲线的通径：（过焦点且垂直于焦点所在对称轴的弦）
椭圆焦点三角形面积公式： （点是椭圆上的点）
双曲线焦点三角形面积公式：（点是双曲线上的点）
(4)抛物线相关结论：
抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路.（自己可以尝试证明这些结论）
若AB是抛物线的焦点弦，且，，则有如下结论：
①， ②，（为所在直线倾斜角） ③ ④ ⑤
⑥相切：a.以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切；
b.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切；
c.以或为直径端点的圆与轴相切.
2.圆锥曲线问题求解策略:
1.一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

第五部分：圆锥曲线考点、题型、方法
题型一：定义的应用
（1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合
典型例题
例1、动圆M与圆内切,与圆外切，求圆心M的轨迹方程.

例2、方程表示的曲线是

例3、是定点，，动点M满足，则M点的轨迹是( )
(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
例4、抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是( )
(A) (B) (C) (D)0
例5、已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长为（ ）
（A）10 （B）20 （C） （D）
例6、椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点， ，则△的面积为（ ） （A）9 （B）12 （C）10 （D）8
例7、双曲线右支点上一点P到右焦点的距离为2，则P点到左焦点的距离为（ ） （A）6 （B）8 （C）10 （D）12
例8、抛物线上的一点到焦点的距离为9，则点的坐标是
题型二：圆锥曲线标准方程
特别关注：焦点位置的正确判断（首先化成标准方程，然后再判断，先定位后定量计算）
方法要求：熟练掌握待定系数法求圆锥曲线的标准方程. 
1、 椭圆：由、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上；
2、 双曲线：由、项的系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
3、 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号正、负决定开口方向。
典型例题
例9、若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是
例10、当例 翰为何值时,方程的曲线：
(1)是椭圆;
(2)是双曲线.
例11、求满足下列条件的椭圆的标准方程
（1）焦点坐标为，经过点

（2）焦点在y轴上，

（3），

例12、求满足下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点坐标为，经过点
（2）焦点在x轴上，
（3），

例13、求满足下列条件的抛物线的标准方程
（1）焦点坐标为
（2）准线为
（3）焦点到准线距离是2

例14、若双曲线经过点，，则双曲线的标准方程为 .
例15、双曲线离心率为，与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
例16、过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
例17、抛物线的对称轴为轴，顶点在原点，焦点在直线上，则此抛物线的方程为
题型三：圆锥曲线性质
1、特别关注：几何性质与图像相结合（首先化成标准方程，先定位、再定量计算）： 
2、圆锥曲线中离心率，渐近线的求法：
(1)a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；
(2)a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；
(3)注重数形结合思想不等式解法
(4)双曲线的渐近线方程可以看作是由双曲线方程右边“1”变为“0”直接得到，即
双曲线的渐近线方程为，即
(5)与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为，
与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为，再由另外一个条件可求得的值.
(6)等轴双曲线(实轴长等于虚轴长)离心率渐近线方程
方程可以设为，根据另外已知条件可以确定的值.
3、典型例题
(1)圆锥曲线基本性质
例18、已知椭圆的方程为，
求：该椭圆的焦点坐标、顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率.

例19、已知双曲线的方程为，
求：该双曲线的焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.

例20、已知抛物线的方程为
求：该抛物线的焦点坐标、准线方程.

例21、求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知等轴双曲线上一点
(2) 双曲线离心率为，点在双曲线上

(3) 双曲线渐近线为，点在双曲线上

例22、椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值是（ ）
A. B. C. D.
(2)椭圆、双曲线离心率
例23、椭圆的长轴长是短轴长的两倍，则它的离心率为（ ）
A. B. C. D.
例24、直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为
例25、椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为
例26、双曲线的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为
例27、双曲线的顶点到渐近线的距离为，则它的离心率为（ ）
A. B. C. D.
例28、双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
例29、已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为 .
例30、双曲线的焦点分别为、，点在双曲线上，且，则此双曲线的离心率的取值范围为 .
例31、已知双曲线的离心率，则双曲线其中一条渐近线的斜率取值范围是 .
例32、双曲线的焦点分别为、，点在双曲线上，，且的最小内角为，则此双曲线的离心率为 .
例32、已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
例33、已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.　　　　 B.　　　　 C. 　　　　 D.
例34、椭圆：的两焦点为，椭圆上存在
点使， 则椭圆离心率的取值范围为
题型四：圆锥曲线焦点三角形（圆锥曲线上一点与两焦点构成的三角形）
1、椭圆焦点三角形面积 ；双曲线焦点三角形面积
2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解
典型例题
例35、椭圆上一点P与两个焦点，且，则的面积为 .
例36、双曲线上一点M与两个焦点，且，则的面积为 .
例37、已知双曲线的离心率为2，是左、右焦点，P为双曲线上一点，且，，则该双曲线的标准方程为 .

题型五：点、直线与圆锥曲线的位置关系判断
1、点与椭圆的位置关系
点在椭圆内，点在椭圆上，点在椭圆外
2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：
直线方程与圆锥曲线方程联立消元（消去或消去）得到关于或的方程
特别注意：二次项系数为0的情况
(1)若二次项系数为0，则方程是一元一次方程，解只有一个，直线与曲线交点只有一个
(2)若二次项系数不为0，则可按照以下情况讨论：
二次方程根判别式

直线与圆锥曲线位置关系
相交
相切
相离
直线与圆锥曲线交点
两个
一个
没有
3、直线与圆锥曲线相交于两点，则弦长公式：
（1）当直线存在斜率时，
或
（2）当直线斜率不存在时，弦垂直于轴，则.
（3）抛物线焦点弦长： （其中为直线AB的倾斜角）
4、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！(注：弦所在直线的斜率存在)
(1)椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；
(2)双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
(3)抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率.
典型例题
例38、（1）如果椭圆弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程
是 ；
（2）已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：上，则此椭圆的离心率为 .

例39、双曲线的弦AB被点平分，求直线AB的方程.

例40、斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A、B两点，
（1）求弦AB的长；（2）求的面积.

例41、已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若该双曲线的一条渐近线与直线垂直，
则实数 .

例42、已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点，经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆与A，B两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当，求的面积.

例43、在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为.
（1）写出的方程；
（2）直线与交于、两点，为何值时？此时的值是多少？

例44、已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求的方程；
（2）直线不经过原点，且不平于坐标轴，与有两个交点、，线段中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.

题型六：动点轨迹方程：
1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； 
2、求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；
例45、如已知动点P到定点和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．

（2） 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
例46、如线段AB过x轴正半轴上一点，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为        

(3) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
例47、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，，则动点P的轨迹方程为                   

例48、点M与点的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是

例49、一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心的轨迹为         

(4) 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:
例50、如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为___ _______

(5)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.

例51、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是

题型七：直线与圆锥曲线常规解题方法
1、设直线方程；（提醒：①斜率存在与不存在；②设为与的区别）
2、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
3、联立方程组；
4、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
5、根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB为直径的圆过原点O”（提醒：需讨论斜率是否存在）

②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”；
③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；
④“共线问题”（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；
（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；
⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：两个面积公式的合理选择）；
6、化简与计算；
7、细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.
题型八：圆锥曲线基本解题思想：
1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明
5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；
6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；
7、思路问题：大多数问题只要准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
圆锥曲线补充练习题
1. AB为过椭圆=1中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积最大值是
(A) b2 (B) ab (C) ac (D) bc
2.若直线y＝kx＋2与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ 　）
,　, 　, ,
3.若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离为，则a＋b的值是( ).
或 (D)2或－2

4.抛物线上的点到直线的距离最近的点的坐标是( )
) (B)(1,1) (C) () (D) (2,4)
5.抛物线截直线所得弦长为3，则k的值是( )
(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4
6.如果直线与双曲线没有交点，则的取值范围是 .
7.已知椭圆，直线，
求：（1）椭圆上的点到直线的距离最小值是多少？求出此时点的坐标；
（2）椭圆上的点到直线的距离最大值是多少？求出此时点的坐标.

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