高中数学抛物线最值问题.doc

抛物线求最值问题（第一类）

1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。
此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。
例题已知抛物线方程为,直线l的方程为,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为多少？
分析：如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．

解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，
从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．
过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小，
∵F（1，0），则|PF|+d2==，

则d1+d2的最小值为．
抛物线求最值问题（第二类）

2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值的最值问题。
此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。
例题已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A. B． C．（1，2）D．（1，-2）
分析：先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．

解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PM+PQ，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，

抛物线求最值问题（第三类）

3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。
此类题常用方法：①设点转化成二次函数问题；②求导数，让抛物线上点的切线斜率等于直线斜率。

例题抛物线上任一点到直线x-y+1=0的距离的最小值是多少
分析：由题意可设P 为抛物线上任意一点，则P到直线x-y+1=0的距离d===，由二次函数的性质可求距离d的最小值
解：方法一 由题意可设P 为抛物线上任意一点，
则P到直线x-y+1=0的距离d===
由二次函数的性质可知，当y=1即P（）时，d=
故答案为：
方法二 求导，
可知当y=1即P（）时，d最小，
故答案为：