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初中列方程解应用题的技巧

     同学们学习了用字母表示数和解简易方程，还开始试着运用简易方程来解决一些实际问题。列方程解应用题是一个难点，这一部分内容融入了等式的性质，以及四则运算各部分的关系，有助于同学们对所学的算术知识进行巩固和加深理解。如何应用方程来解应用题呢？  

首先是审题，确定未知数。 
　　审题，理解题意。就是全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。特别要把牵涉到的一些概念术语弄清，如同向、相向、增加到、增加了等，并确立未知数。即用x表示所求的数量或有关的未知量。在小学阶段同学们遇到的应用题并不十分复杂，一般只需要直接把要求的数量设为未知数，如：“学校图书馆里科技书的本数比文艺书的2倍多47本，科技书有495本，文艺书有多少本？”在这道题目中只有“文艺书的数量”不知道，所以只要设“文艺书的数量”为未知数x就可以了。

寻找等量关系，列出方程是关键。 
　　“含有未知数的等式称为方程”，因而 “等式”是列方程必不可少的条件。所以寻找等量关系是解题的关键。如上题中“科技书得本数比文艺书的2倍多47本”这是理解本题题目意思的关键。仔细审题发现“文艺书本数的2倍加上47本就是科技书的本数”故本题的等量关系为：文艺书本数的2倍＋47＝科技书的本数。上题中的方程可以列为：“2x＋47＝495” 

解方程，求出未知数得值。 
　　解方程时应当注意把等号对齐。如： 
2x＋47＝495 
2x＋47－47＝495－47     ←应将“2x”看做一个整体。 
          2x＝448 
2x÷2＝448÷2 
      x＝224 

检验也是列方程解应用题中必不可少的。 
      检验并写出答案．检验时，一是要将所求得的未知数的值代入原方程，检验方程的解是否正确；二是检查所求得的未知数的值是否符合题意，不符合题意的要舍去，保留符合题意的解． 
1）将求得的方程的解代入原方程中检验。如果左右两边相等，说明方程解正确了。如上题的检验过程为： 
检验：把x＝224代入原方程。 
左边＝2×224＋47               右边＝495 
           ＝495 
因为左边＝右边，所以x＝224是方程2x＋47＝495的解。 
2）文艺书本数的2倍＋47＝科技书的本数 
将224代入以上等式，等式成立。故所求得的未知数的值符合题意。 
    总之，以上几点技巧都是列方程解应用题的关键环节的技巧，只要大家利用这些技巧加强练习，就一定能闯过列方程解应用题这道关。在千变万化的应用问题中，我们若能抓住以上几点，以不变应万变，则问题就可迎刃而解。 

错题解析：  
把算术解法当作方程解法的错误  
　　例1　两袋大米，甲袋重65千克，乙袋重45千克，要使两袋大米的重量相等，应从甲袋里取出多少千克放入乙袋？（用方程解） 
　　错解　设应从甲袋里取出大米x千克放入乙袋，根据题意列方程：x＝（65－45）÷2， x=20÷2，x＝10。 
　　分析　以上计算并无错误，但不符合利用方程求解的意义和要求。这种解法虽然也含有未知数，但实际上是一种算术方法。纠正的方法是把未知数设为x，暂时把未知条件当成已知条件，使未知条件与已知条件处于同等的地位，然后找出等量关系列方程。这样做比起用算术方法解容易得多。 
　　正确解法：设从甲袋取出x千克大米放入乙袋，根据题意列方程： 
　　65-x=45＋x，65-2x＝45，2x＝65-45，x＝10 
　　答：应从甲袋取出大米10千克。 
　　评点　本题主要考查同学们对简易方程基本知识的掌握程度，以及运用“等量”关系列方程和解方程的基本技能。有的同学由于受算术方法解应用题的思维定势的影响，所以会出现上面的错误解法。 

等量关系的错误 
　　例2　学校分苹果，五年级老师分50千克，比四年级老师分的2倍少2千克。四年级老师分多少千克？ 
　　错解　设四年级老师分x千克，列方程得： 
　　2x+2＝50，2x=48，x＝24。 
　　分析　本题在列方程时把等量关系弄错了，误认为四年级老师的2倍加上2千克就等于五年级老师分的。 
　　正确解法：设四年级老师分x千克。 
　　2x-2＝50，2x＝52，x=26。 
　　答：四年级老师分26千克。 

单位不统一的错误 
     例3梯形的面积是24平方厘米，高为4厘米，下底比上底多0.6分米，求梯形的上底。（用方程解，注：梯形面积=（上底+下底）×高÷2） 
错解1 设梯形的上底是x分米  （x＋x＋0.6）×4÷2=24，2x＋0.6＝12，2x=11.4，x＝5.7。 
　　答：梯形的上底是5.7分米。 
错解2设梯形的上底是x厘米， 
　　（x＋x＋0.6）×4÷2＝24，2x＋0.6=12， 
　　2x＝11.4， x＝5.7。 
　　答：梯形的上底是5.7厘米。 
     分析此题错在没有统一题中各个量的单位。题中告诉的面积单位为平方厘米，高是厘米，下底却是分米，如果不加以统一，所列出的就不是等式，也就不能恒等变形。所以我们在列方程时首先要将题中的单位统一起来。 
　　正确解法：0.6分米=6厘米 
　　设梯形的上底是x厘米 
　　（x＋x＋6）×4÷2＝24，2 x＋6=12， 
　　2 x＝6，x＝3。 
　　答：梯形的上底是3厘米。 

设句不写单位名称的错误 
      例4粮仓要运进250吨粮食，已经运了8天，每天运进18吨，余下的要4天运完。平均每天要运进多少吨？ 
错解设平均每天要运进x，根据题意列方程： 
　　18×8+4 x＝250，144+4 x＝250， 
　　4 x＝250－144，4 x＝106，x＝26.5。 
　　答：平均每天运进26.5吨。 
分析此题错在所设未知数不带单位名称，致使其在等式中代数量意义不明确，从而导致错解。正确的应设平均每天要运进x吨，否则不能认定该等式成立。 

求得的值带上单位名称的错误 
     例5某站运来3车黄瓜和6车芹菜，共重2 580千克，每车黄瓜重260千克。每车芹菜重多少千克？ 
错解 设每车芹菜重x千克，列方程得： 
　　260×3+6x=2580，780+6x=2 580。 
　　6 x =2580－780，6 x＝1800，x =300（千克）。 
　　答：每车芹菜重300千克。 
    分析 此题错在最后求得的x值带上了单位名称，这是不符合解方程的要求的。造成这一错误有两个原因：一方面受算术方法解题的影响；另一方面是对解方程的概念不甚明了。方程是一种等式，方程两边无论是数还是量都是相等的，因此两边的单位名称可同时约去。求方程解的过程就成了数的恒等变形的过程，最后的结果是没有单位名称的，只需要在答句中把单位名称写清楚就行。

         列方程解应用题是考试中常见的题，这一块同学们必须得掌握牢固了，解题思路也需要同学们整理一下，解题方法也要总结，有些题型适合这种方法，有些适合那样的方法。同学们在学习的过程中，要学会总结。

分式方程应用题

　　列分时方程解应用题的一般步骤是：找等量关系-设-列-解-答-检验
只要找出等量关系式就简单多了，然后设未知数，一般都是直接设未知量，当然也有间接的，然后把关于未知数X的等量关系式写出来，解方程解出X再检验答　　

例题:　　
南宁到昆明西站的路程为828KM，一列普通列车比一列直达快车都从南宁开往昆明。直达快车的速度是普通快车速度的1.5倍,普通快车出发2H后，直达快车出发,结果比普通列车先到4H,求两次的速度.
解：设普通车速度是x千米每小时，则直达车是1.5x
所以普通车时间是828/x小时，直达车是828/1.5x
普通车先出发2小时，晚到4小时，所以相差6小时
所以828/x-828/1.5x=6(828*1.5-828)/1.5x=6414/1.5=6xx=46,1.5x=69
所以普通车速度是46千米每小时，直达车是69千米每小时。
1、复杂问题，用方程求解是最简便的方法。

2、用方程解决问题，第一个关键是设未知数x，一般情况下，我们要把应用题最后的问题设为未知数x，或者把题目中隐含的单位“1”设为未知数x。

3、根据题意，划出示意图，便于理解。

4、根据给定的条件，结合示意图，把题目中的相关数据变成含有X的表达式（代数式）。

5、找出题目中的等量关系，写成方程的形式。

解方程步骤：

1、设未知数；

2、列出各种未知数的代数式；

3、找出等量关系，写成方程。

一定要理解什么是方程：

1、方程是用来表示等量关系的；

例：电影院80%的座位上有人，再有30人就可全部坐满，问电影院一共有多少座位？）

设电影院有x个座位：80%x+30=x

80%x”表示的就是“有人的座位”，“30”表示的是空位，两者的和就是座位总数。方程两边表达的都是座位总数。

2、这种等量关系通过字母（x)、含有字母的代数式(80%x)和数字(30)来表达。

1、复杂问题，用方程求解是最简便的方法。
2、用方程解决问题，第一个关键是设未知数x，一般情况下，我们要把应用题最后的问题设为未知数x，或者把题目中隐含的单位“1”设为未知数x。
3、根据题意，划出示意图，便于理解。
4、根据给定的条件，结合示意图，把题目中的相关数据变成含有X的表达式（代数式）。
5、找出题目中的等量关系，写成方程的形式。
解方程步骤：
1、设未知数；
2、列出各种未知数的代数式；
3、找出等量关系，写成方程。
一定要理解什么是方程：
1、方程是用来表示等量关系的；
例：电影院80%的座位上有人，再有30人就可全部坐满，问电影院一共有多少座位？） 
设电影院有x个座位：80%x+30=x
80%x”表示的就是“有人的座位”，“30”表示的是空位，两者的和就是座位总数。方程两边表达的都是座位总数。
2、这种等量关系通过字母（x)、含有字母的代数式(80%x)和数字(30)来表达。  

浅谈用列表法解分式方程应用题的技巧

在中学代数教学中，
列方程解应用题是一个重点，
而列分式方程解应用题更
是一个难点。
问题中涉及到的数量较多，
在列分式方程解应用题时，
应该遵循分
散难点各个击破的原则进行教学。
所以在学习代数式与整式加减法时，
就要训练
学生把文字语言叙述的数量关系列成代数式的能力，使学生习惯于用字母表示
数。
为使学生更好掌握和应用列分式方程解应用题的技能、
技巧，
提高学生创新
能力和实践能力。
根据多年教学经验，
笔者将结合历年中考题谈谈用列表法解分
式方程应用题的技巧。

1
、

列表前

列方程解应用题的关键是找相等关系。
设哪个未知量为未知数，
要根据相等
关系的需要。首先，要找出题中的已知量，未知量及数量关系。其次，抓住题中
反应相等关系的关键字词。如“比”
、
“是”
、
“少”
、
“共”„„再次，总结一些常
见题型的等量关系
:
路程
=
速度×时间，工作量
=
工作效率×工作时间，总价＝单
价×数量，
逆水速度
=
静水速度
-
水流速度，
顺水速度
=
静水速度
+
水流速度，
利润
=
售价
-
进价等公式。

 2
、设计表型

问题中通常涉及到两者之间的各种数量的比较，如“骑自行车与乘汽车”
，
“原计划与实际”
“甲与乙”等。列表时表格横向表示各数量，纵向表示两者的
比较，要能容纳题中所有数量关系。

3
、

填表

边读题边将已知量填入表中，
再填数量关系，
最后填未知量及含未知量的代
数式，填过后一定会余下一个等量关系供列方程使用。

4
、

分类举例

（
1
）

行程问题

例题
1
（
2008
年天津市中考题）天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天
津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距离“水滴”
10
千米的学校
出发，前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了
20
分钟后，其余同学乘汽车
出发，
结果他们同时到达，
已知汽车的速度是骑车同学的
2
倍，
求骑车同学的速
度。列表分析如下：

速度（千米／时）

时间（时）

路程（千米）

骑自行车

③
x

⑤
x
10

①
10 
乘汽车

④
x
2

⑥
x
2
10

②
10 
(
表中序号表示填表顺序，以下同
)
由骑自行车和乘汽车所走的路程相同都为
10
千米填得①②，
设骑自行车同学的速度为
x
千米／时填得③，
由汽车速度是骑车
同学速度的
2
倍填得④，根据基本公式：路程
=
速度×时间填得⑤⑥，最后根据
骑自行车的同学先出发
20
分钟，乘汽车的同学出发，结果同时到达可列方程：
60
20
2
10
10
=
-
x
x
（注意要统一单位）

（
2
）

工程问题

例题
2
（
2010
年淮安市中考题）玉树地震后，有一段公路急需抢修，此项工程原
计划由甲工程队独立完成，需要
20
天。在甲工程队施工
4
天后，为了加快工程
进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前
10
天完成，为
抗震救灾赢得了宝贵时间，
求乙工程队独立完成这项工程需多少天？列表分析如
下：

工作效率

工作时间

工作量

甲单独作

①
20
1

②
4

③
20
4

甲乙合作

④
x
1
20
1
+

⑤
20-10-4 
⑥
(
)
4
10
20
1
20
1
-
-
´
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
x

由甲独立完成需要
20
天填得①，甲独自施工
4
天填得②，根据基本公式：工作
量
=
工作效率×工作时间填得③，设乙工程队独立完成这项工程需
x
天，甲乙合
作效率填得④，结果比原计划提前
10
天完成填得⑤，再次根据基本公式：工作
量
=
工
作
效
率
×
工
作
时
间
填
得
⑥
，
最
后
根
据
工
作
总
量
为
1
可
列
方
程
：
(
)
1
4
10
20
1
20
1
20
1
=
-
-
´
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
x

(3)
销售问题

例题
3(2008
内江市中考题
) 
今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在
不断上升．据调查，今年
5
月份一级猪肉的价格是
1
月份猪肉价格的
1.25
倍。
小英同学的妈妈同样用
20
元钱在
5
月份购得一级猪肉比在
1
月份购得的一级猪
肉少
0.4
斤，那么今年
1
月份的一级猪肉每斤是多少元？列表分析如下：

单价（元／斤）

数量（斤）

总价（元）

1
月份

③
x

⑤
x
20

①
20 
5
月

份

④
x
25
.
1

⑥
x
25
.
1
20

②
20 
由同样用
20
元钱，填得①②，设
1
月份一级猪肉每斤
x
元，填得③，由
5
月份
一级猪肉的价格是
1
月份猪肉价格的
1.25
倍填得④，由基本公式：总价＝单价
×数量填得⑤⑥，最后根据同样用
20
元钱在
5
月份购得一级猪肉比在
1
月份购
得的一级猪肉少
0.4
斤可列方程：
20
20
0.4
1.25
x
x
-
=

（
4
）水流问题

例题
4
（
2007
甘肃庆阳课改）
轮船先顺水航行
46
千米再逆水航行
34
千米所用的
时间，恰好与它在静水中航行
80
千米所用的时间相等，水的流速是每小时
3
千
米，则轮船在静水中的速度是多少千米／时？列表分析如下：

速度（千米／时）

时间（时）

路程（千米）

顺水航行

⑤
3
+
x

⑦
3
46
+
x

①
46 
逆水航行

⑥
3
-
x

⑧
3
-
34
x

②
34 
静水航行

④
x

⑨
x
80

③
80 
由顺水航行
46
千米，逆水航行
34
千米，在静水中航行
80
千米填得①②③，设
轮船在静水中的速度是
x
千米／时，填得④，根据基本公式：顺水速度
=
静水速
度
+
水流速度，逆水速度
=
静水速度
-
水流速度，填得⑤⑥，再根据基本公式：路
程
=
速度×时间填得⑦⑧⑨，
最后由所用的时间相等可列方程：
x
x
x
80
3
34
3
46
=
-
+
+

(5)
收费问题

例
5
（
2004
青岛市中考题）
某市今年
1
月
1
日起调整居民用水价格，
每立方米水
费上涨
25%
。小明家去年
12
月份的水费是
18
元，而今年
5
月份的水费是
36
元。
已知小明家今年
5
月份的用水量比去年
12
月份多
6
立方米，求该市今年居民用
水的价格。

列表分析如下：

单价（元／立方米）

数量（立方米）

总价（元）

去年
12
月份

③
x

⑤
x
18

①
18 
今年
5
月

份

④
）
（
25
.
0
1
+
x

⑥
）
（
25
.
0
1
36
+
x

②
36 
由小明家去年
12
月份的水费是
18
元，而今年
5
月份的水费是
36
元填得①②，
设该市去年
12
月份居民用水的价格为
x
元／立方米填得③，由今年
1
月
1
日起
调整居民用水价格，每立方米水费上涨
25%
填得④，根据基本公式：总价＝单价
×数量填得⑤⑥，根据小明家今年
5
月份的用水量比去年
12
月份多
6
立方米可
列方程：
6
18
25
.
0
1
36
=
+
x
x
—
）
（

(6)
利润问题

例题
6
（
2007
山东聊城课改）某超级市场销售一种计算器，每个售价
48
元。后
来，计算器的进价降低了
4%
，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润
提高了
5%
。这种计算器原来每个进价是多少元？（利润
=
售价
-
进价，利润率
=
利润÷进价×
100
﹪）列表分析如下：

进价（元／个）

售价（元／个）

利润（元）

原来

③
x

①
48 
⑤
x
-
48

后来

④
）
（
04
.
0
-
1
x

②
48 
⑥
）
（
04
.
0
-
1
-
48
x

由每个售价
48
元填得①②，设这种计算器原来每个进价是
x
元，填得③，由后
来，计算器的进价降低了
4%
填得④，由基本公式
: 
利润
=
售价
-
进价填得⑤⑥，
由售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了
5%
，可列方程：
）
（
04
.
0
-
1
-
48
)
05
.
0
1
)(
-
48
(
x
x
=
+

由上面几个例题可见，
用列表法解分式方程应用题可以分散难点，
表格中不
仅能容纳所有数量关系，
且容易填写，
易于学生掌握和运用。
列表法降低了问题
的难度，
激发了学生的解题兴趣，
做到了良性循环，
从根本上解决了学生们对解
分式方程应用题的忧虑。

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