线性代数+高数基础知识框架.doc

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线性代数－知识框架

注：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.

注：

√ 关于：
①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；
②线性无关；
③；
④；
⑤任意一个维向量都可以用线性表示.
行列式的定义
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
②若都是方阵（不必同阶）,则
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④关于副对角线：
⑤范德蒙德行列式：
矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或
伴随矩阵 ，为中各个元素的代数余子式.
√ 逆矩阵的求法:
① 注：
②
③
√ 方阵的幂的性质：
√ 设的列向量为,的列向量为，
则 ，为的解可由线性表示. 同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵.
√ 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；
用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.
√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
√ 分块矩阵的转置矩阵：
分块矩阵的逆矩阵：

分块对角阵相乘：
分块对角阵的伴随矩阵：
√ 矩阵方程的解法()：设法化成

√ 与同解（列向量个数相同）,则：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；
② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；
③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）；
矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）.
√ 判断是的基础解系的条件：
① 线性无关；
② 都是的解；
③ .
√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.
① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.
⑤ 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.
⑥ 向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.
向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.
⑧ 维列向量组线性相关；
维列向量组线性无关.
⑨ .
⑩ 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
⑪ 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵
⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘；
对施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘.
矩阵的秩 如果矩阵存在不为零的阶子式，且任意阶子式均为零，则称矩阵的秩为.记作
向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作
矩阵等价 经过有限次初等变换化为. 记作：
向量组等价 和可以相互线性表示. 记作：
⑬ 矩阵与等价，可逆作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.
矩阵与作为向量组等价
矩阵与等价.
⑭ 向量组可由向量组线性表示有解≤.
⑮ 向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.
向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.
⑯ 向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；
⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.
⑱ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.
⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
⑳ 若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；
若，的列向量线性无关,即：线性无关.

√ 矩阵的秩的性质：
①≥ ≤≤
②
③
④≤ ≤≤
⑤
⑥≤
⑦ ≤
⑧

⑨若且在矩阵乘法中有左消去律；
若 且在矩阵乘法中有右消去律.
√ 初等矩阵的性质：

注：
线性方程组的矩阵式 向量式

矩阵转置的性质：

矩阵可逆的性质：

伴随矩阵的性质：

（无条件恒成立）

线性方程组解的性质：
√ 设为矩阵,若,一定有解，
当时,一定不是唯一解,则该向量组线性相关.
是的上限.
标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
.
是单位向量 .
√ 内积的性质： ① 正定性：
② 对称性：
③ 双线性：

的特征矩阵 .
的特征多项式 .
√ 是矩阵的特征多项式
的特征方程 .
√ ，称为矩阵的迹.
√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.
√ 若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.
√ 一定可分解为=、,从而的特征值为：, .
√ 若的全部特征值，是多项式,则:
① 的全部特征值为；
② 若满足,则的任何一个特征值必满足.
√ 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式.
√
√
√ 的特征向量不一定是的特征向量.
√ 与有相同的特征值，但特征向量不一定相同.
与相似 （为可逆矩阵） 记为：
与正交相似 （为正交矩阵）
可以相似对角化 与对角阵相似. 记为： （称是的相似标准形）
√ 可相似对角化 为的重数恰有个线性无关的特征向量. 这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.设为对应于的线性无关的特征向量,则有：
.
注：当为的特征值时，可相似对角化的重数 基础解系的个数.
√ 若可相似对角化,则其非零特征值的个数（重数重复计算）.
√ 若阶矩阵有个互异的特征值,则可相似对角化.
√ 若=，
√ 相似矩阵的性质：①
② 从而同时可逆或不可逆
③
④； （若均可逆）；
⑤ （为整数）；，
⑥
⑦,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
注:是关于的特征向量,是关于的特征向量.
√ 数量矩阵只与自己相似.
√ 对称矩阵的性质： ① 特征值全是实数,特征向量是实向量；
② 不同特征值对应的特征向量必定正交；
注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
③ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；
④ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；
⑤ 一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,该特征值的重数=）.
正交矩阵
√ 为正交矩阵的个行（列）向量构成的一组标准正交基.
√ 正交矩阵的性质：① ；
② ；
③ 正交阵的行列式等于1或-1；
④ 是正交阵,则，也是正交阵；
⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；
⑥ 的行（列）向量都是单位正交向量组.
二次型 ，即为对称矩阵，
与合同 . 记作： （）
正惯性指数 二次型的规范形中正项项数；负惯性指数二次型的规范形中负项项数；
符号差 . (为二次型的秩)
√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.
√ 两个矩阵合同的充分条件是：
√ 两个矩阵合同的必要条件是：
√ 经过化为标准形.
√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由 唯一确定的.
√ 当标准形中的系数为-1或0或1时,为规范形 .
√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.
√ 惯性定理：任一实对称矩阵与唯一对角阵合同.
√ 用正交变换法化二次型为标准形:
① 求出的特征值、特征向量；
② 对个特征向量正交化、单位化；
③ 构造（正交矩阵）,作变换,则新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.
施密特正交规范化 线性无关,

单位化：
技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。例如：取，.
正定二次型 不全为零，.
正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.
√ 为正定二次型（之一成立）：
① ，；
② 的正惯性指数为；
③ 的特征值全大于；
④ 的所有顺序主子式全大于；
⑤ 与合同，即存在可逆矩阵使得；
⑥ 存在正交矩阵，使得 （大于）.
⑦ 存在可逆矩阵，使得；
√ 合同变换不改变二次型的正定性.
√ 为正定矩阵的必要条件： ； .
√ 若为正定矩阵也是正定矩阵.
√ 若为正定矩阵为正定矩阵，但不一定为正定矩阵.
【完】