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第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答

在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标 (r,q) 来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。

第1节 平面极坐标下的基本公式
采用极坐标系则平面内任一点的物理量为r,q 函数。
x
y
o
P
r
q
体力：fr=Kr , fq=Kq
面力：
应力：sr, sq ,trq=tq r
应变：er, eq ,grq=gq r
位移：u r , uq
直角坐标与极坐标之间关系:
x=rcosq, y=rsinq

1.1 平衡微分方程

1.2 几何方程
， ，

1.3 变形协调方程

1.4 物理方程
平面应力问题：
， ，
平面应变问题将上式中，即得。
1.5 边界条件
1. 位移边界条件：， 在 su 上
2. 力的边界条件：

在 ss 上
环向边界 （r=r0）
径向边界 （q=q0）
1.6 按位移法求解
基本未知函数为位移u r , uq ，应变、应力均由位移导出。
平面应力问题时的应力由位移表示

上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。
,

力的边界条件也同样可以用位移表示。
1. 7按应力法求解
在直角坐标系中按应力求解的基本方程为（平面应力问题）

其中
在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题）

其中
力的边界条件如前所列。
1.8 应力函数解法
当体力为零 fr=fq=0时, 应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的未知函数 f( r, q) 表示,而应力函数 f( r, q) 所满足方程为
Ñ 4f( r, q) =0 或
而极坐标系下的应力分量sr, sq,trq 由 f( r, q)的微分求得,即：
， ，

第2节 轴对称问题
2.1 轴对称问题的特点
1. 截面的几何形状为圆环、圆盘。
2. 受力和约束对称于中心轴,因此，可知体积力分量 fq=0 ； 在边界上 r=r0 ： , （沿环向的受力和约束为零） 。
3. 导致物体应力、应变和位移分布也是轴对称的：
在V内 uq=0，grq=0，trq=0,
ur=ur(r)，sr=sr(r), sq=sq (r), er=er (r), eq=eq (r).
各待求函数为r的函数（单变量的）。

2.2 轴对称平面问题的基本公式
1. 平面微分方程（仅一个）：
2. 几何方程（二个）： ，
3. 变形协调方程（一个）：

——变形协调方程
由几何方程：
或
4. 物理方程(两个)
平面应力问题 ，
或 ，
平面应变问题时弹性系数替换。
5. 按位移法求解
将 sr、sq 用ur 表示，并代入平衡微分方程，
对于平面应力问题

位移法的基本方程为：

相应边界条件：轴对称问题边界r=r0（常数）
位移边界条件： 在 su 上
力的边界条件： 在 ss 上
平面应力问题的力边界条件用位移表示：
在 ss 上
当ur 由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均可求出。
6. 按应力法解
应力法基本方程

其中
边界条件为力的边界条件： 在 ss 上
7. 按应力函数求解
当无体力时应力法基本方程为：
选取应力函数f = f (r)——单变量的函数
应力分量与f (r)的关系：
， ， ，
自然满足平衡微分方程，则应力函数f (r)应满足的基本方程为相容方程，即

或 ——四阶变系数的微分方程（尤拉方程）
而

则
逐次积分（四次）可将轴对称问题的f (r)基本形式得到：
f( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D
其中A 、B、C、D为任意常数，D可去掉。
将 f(r) 代入应力分量与应力函数的关系式，可得平面应力、平面应变问题应力表达式：

对于圆环或圆筒，力边界条件仅两个，不能确定三个系数。
但圆环或圆筒为复连域，除了力的边界条件满足外还要考虑位移单值条件。
x
y
下面将ur 表达式导出（平面应力问题为例）
将物理方程代入几何方程：

将应力分量表达代入几何方程的第二式，得

——（a）
应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得

——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0 Þ B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
， ，
，
A、C 由两个力的边界条件确定。
q
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
则根据圆盘（或圆柱）中心应力和
位移有限值,得
A=0
图示圆盘受力情况，得应力为 sr=sq=2C= -q
2.3 轴对称问题举例
例题1 等厚圆盘在匀速 w 转动中计算（按位移法解）
x
y
a
w
P
r
q
已知：等厚圆盘绕盘心匀速转动（单位厚）角速度为 w（常数）、圆盘密度为 r，
圆盘匀速转动时受体力（离心力）作用：
　　　　fr=Kr=rw2r　，　fq=Kq=0　　　
在r = a边界上　（或）
符合轴对称问题（平面应力问题）。
位移法的基本方程：　
积分两次：　　
确定C1和C2：　当　r =０时，ur为有限值，　须C2=0
然后，利用　r = a 时，　，得
，
代回位移表达式并求应力

，

　如果圆环匀速（w）转动，则ur 表达公式中的C2¹0 ，
x
y
b
w
r
a
　　　 C1　和　C2　由力的边界条件定：
　　　　　(sr）r=a=0, (sr）r=b=0

例题２　圆环（或圆筒）受内外压力作用。
a
b
qa
qb
　　　　　已知：　体力　fr=fq=0　（或　K r=Kq=0），
　　　　力的边界条件：
　　　在r = a边界（内径）：
sr= -qa，trq=0
　　 在r = b 边界（外径）：
sr= -qb，trq=0
本问题仍为轴对称问题，且体力为零，
可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。
　１．按应力函数法求解　　
　 按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：
　　　　，　，　
平面应力问题的位移：
　，　　
利用力的边界条件：
　　及　　，得　
　　　 ，
２．按位移法求解：
　　由基本方程　　得　　
代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有

　　　同样利用力的边界条件导出同样结果。
　讨论：
(1）当 qa ¹ 0，qb = 0仅受内压，以及qb = 0、b® ¥ 时；
y
x
b
c
a
(2) 当qa = 0，qb ¹ 0 仅受外压；
(3) 组合圆筒。
内筒：内径a，外径b，弹性系数E、n，
　　外筒：内径b，外径c，弹性系数E’、n’。
　　内筒应力和位移：
　　　　　　，，
　　平面应变问题　，
　　　外筒应力和位移：　
， ，
　　　　　　，　　
　　　组合圆筒应力和位移表达式中共有四个待定系数A、C、A’、C’，利用四个条件定。
如果内筒受内压 qa 外筒外径无面力，则确定系数的四个条件为：
(sr)r=a= -qa , (sr’)r=c=0 ,
(sr)r=b= (sr’)r=b ，(ur)r=b= (ur’）r=b

又如：内筒无内压qa = 0，外筒无外压qc = 0，但内筒外径大一点，内筒外径为b+D ，外筒内径仍为b，过盈配合问题，
边界条件如何写：
(sr）r=a= 0 , (sr’）r=c=0 , (sr）r=b= (sr’）r=b ，
(ur’）r=b= (ur）r=b +D （或ô(ur’）r=bô+ô (ur）r=b ô=D）
第3节 轴对称应力问题——曲梁的纯弯曲
M
M
a
b
q
r
y
x
曲梁为单连域，当无体力作用，且受纯弯曲作用时，从受力分析知曲梁 q =c的截面上内力为M，各截面上的应力分布也相同与 q 无关的，因此属于轴对称应力问题。但位移不是轴对称的，即uq ¹ 0 ，所以不能按轴对称问题的位移法求解，但可按轴对称应力（应力函数）解法求应力并由应力导出位移。
按轴对称应力函数解：应力函数f = f( r)
f( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2 (已导出)

a £ r £ b,
0 £ q £ b,
利用力的边界条件确定 A、B、C：
在主要边界上
r = a： (sr）r=a= 0，(trq）r=a= 0 ,
（1）
r = b： (sr）r=b= 0，(trq）r=b= 0 ，
（2）

在次要边界上不清楚垂直边界的面力具体分布，利用圣维南原理：
在 q = 0: 由于主要边界满足，则此式自然满足；
在 q = 0:
Þ (3)
主要边界满足时，由（1）、（2）、(3)求出A、B、C，应力求出后，依次可求出应变和位移表达式，详细推导在徐芝纶（上册）P.91-92。
在徐芝纶(4-13)中I、K、H为刚体位移，I = u0、K = v0, H = w。
可利用约束确定，如令 r0 =(a+b)/2 ，q = 0 处
得 H=K =0,

第4节 圆孔的孔边应力集中问题
q2
q1
q1
q2
x
y
q=(q1+q2 )/2
x
y
q=(q1+q2 )/2
=
+
图（a）
图（c）
图（b）
q’=(q1-q2 )/2
x
y
q’=(q1-q2 )/2
从本节和后面两节讨论一些工程中经常用到的一些解，仍采用应力函数解法。本节讨论一个无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔（圆孔半径a很小），薄板两个对边分别受均匀拉力q1和q2作用，由于板内有微小圆孔，孔边应力将远大于距孔稍远处的应力——称应力集中问题。

图( a )受力情况，依照线弹性力学叠加原理：
图( a )的解＝图( b )的解＋图( c )的解。
, ,
下面分别讨论图( b )和图( c )的解：
图( b )情况,远离孔的位置应力为 ，
其中 q=(q1+q2)/2，图( b )解相当圆环内径无内压qa= 0,外径受外压qb = q作用情况,已有解，
只须将a/b ® 0 代入,得

图( c )情况，远离孔的位置应力为 sx= - sy =q’ , txy= 0 , 其中 q’=(q1 -q2)/2，通过应力转换式可得 sr =q’cos2q , sq = -q’cos2q , trq = -q’sin2q 。可见, 图( c )的应力不是轴对称的（结构为轴对称）， 关键是要设应力函数 f( r, q)，
采用半逆解法：
（1）根据应力函数与应力分量的关系式判断f( r, q)应有cos2q 项（因子）。
在较远处 ® q’cos2q
在较远处 ® - q’cos2q
在较远处 ® - q’sin2q
（2）假设应力函数 f( r, q) 可以分离变量, 设为
f( r, q )=f(r)g(q)=f(r)cos2q
将所设 f( r, q) 的形式, 代入 Ñ 4 f = 0 ，得

解出 ， 代回应力函数 f( r, q),得

可求得应力分量表达式为

应力分量中的四个系数由四个力边界条件确定，即
(sr）r=a= 0 , (trq）r=a= 0 ,
(sr）r=b= q’cos2q , (trq）r=b= -q’sin2q ；
由此四各方程解得

，
，
其中

当 a/b ® 0（无限大板中有小孔）代入上述各系数表达式，得
N=1, A=0, B= -q’/2, C=q’a2 , D= -q’a4/2

再代入上面图( c )应力表达式，可得应力最后表达式：

最后图( a )应力由图(b )应力解和图( c )应力解相加而得。

当q1 = q，q2 = 0代入上式，可得齐尔西解，徐芝纶（上册）：P.101(4-17)式。

q
q
x
y
3q
-q
q
x
y

q
x
y
3q
q
-q
q = 0o
q
q
q = 90o

第5节 曲梁的一般弯曲
曲梁无体力作用，曲梁顶部受集中力P作用。
P
a
b
q
r
y
x
仍采用半逆解法：
考虑曲梁截面上内力表达式，推出
应力函数的函数变化。在 q 截面内力：
Þ
Þ

根据应力函数与应力分量的关系式判断 f( r, q)应有sinq 项（因子）。
假设应力函数 f( r, q) 可以分离变量, 设为
f( r, q )=f(r)g(q)=f(r)sinq 代入 Ñ 4 f = 0, 得

解得 f(r)=Ar3 + Br +Crlnr + D/r
则 f( r, q )=（Ar3 + Br +Crlnr + D/r）sinq
其中 Brsinq =By 可略去。
将 f( r, q ) 代入应力分量表达式

A、C、D由力的边界条件来定。
力的边界条件：在主要边界上，
在r = a： sr = 0 , trq = 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0
在r = b: sr = 0 , trq = 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0
在次要边界上，
在 q =0 ，环向方向的面力为零， 满足。
径向方向的面力的分布未给出，但给出的合力
利用圣维南原理

或
由上述方程解出
， ,
其中
代回应力分量表达式

注意：这个应力解在曲梁两端是不能用的。应变和位移可由物理和几何方程导出。

第6节 楔形体在楔顶或楔面受力
本节讨论楔形体分别受三种不同荷载作用时，其应力解答如何，并将其中某些解答推广到半无限体情况。
楔形体分别受三种不同荷载作用时，应力函数 f( r, q)的选取考虑：
（１） 采用分离变量法 f( r, q)=g(r)f(q) ；
（２） 考虑应力函数在楔形体边界上的变化规律，将f( r, q)中的g( r)的形式假设出来，然后利用Ñ 4 f = 0 求f( q)的形式；
o
x
y
P
b
a/2
a/2
A
（3）利用边界条件确定f( q)的表达式的待定系数。
情况1 楔形体不考虑体力，楔形体顶部
受集中力P作用。
已知：顶角为 a 的楔形体受集中力P作用，
P的作用方向与楔形体顶角平分线（x轴）夹角为b，
设应力函数 f( r, q)=g(r)f(q)
且利用无体力时，应力函数 f( r, q) 在边界上的值及偏微分
与边界上面力的关系式来确定 g(r) 的形式。

首先可设边界上始点A的fA = 0,
则边界上在OA段任意点B的 f 值为 fB = 0，
任意点经过O点,在OB段的 f值为f=Prsin(b+a/2)；f与r一次式有关。可设
f( r, q ) = g(r)f(q) = r f(q )
f( r, q )的假设也可以由 f( r, q )与应力分量的关系及应力分量与集中力P 之间量纲关系来设。
由 f( r, q ) = r f(q ) 代入Ñ 4 f = 0 ， 得：
要求
解得 f(q) = Acosq+Bsinq +q (Ccosq+Dsinq)
而应力函数
f( r, q)= A r cosq + B r sinq + q r (Ccosq+Dsinq)
由 f( r, q)可得应力分量表达式
，
系数C、D的确定：
首先应考虑边界条件来定，即 q = ± a /2 时，sq= 0 , trq= 0 , 自然满足。可见仅靠力的边界条件不能确定所有待定系数，这是由于本问题的载荷是作用于一点的集中力，在顶点有奇点，待定系数需靠部分楔形体的平衡而确定，即
o
x
y
P
b
a/2
a/2
A
SFy = 0:
Þ
SFx = 0:
Þ
代回应力分量表达式
，
讨论：
1. 当 b = 0 ， ；

当 b = p /2， ；
2．当 a = p 时楔形体变为半无限体，受集中力作用：
o
x
y
b
P
a
b
，

当 b = p/2，，
o
x
y
P
a
b
利用应力转换公式，可得到直角坐标中的应力分量：

，
，

将上式代入物理方程和几何方程并积分求得位移：

o
x
y
P
s
r
h
M
B
（H、I、K任意数）
由对称性，得 (uq )q=0= Hr+K = 0
则 H = K = 0，
而 I 表示刚体位移。

半无限体边界上任意点沉陷（q= ± p /2）：
M点：
B点：

B点相对M点沉陷：

情况2 楔形体不考虑体力，楔形体顶部受集中力偶M作用。
o
x
y
M
a/2
a/2
A
与情况1类似步骤，可设
f( r, q ) = g(r)f(q) = f(q )
代入 Ñ 4 f = 0 ， 得：
f( r, q)= Acos2q + Bsin2q + Cq +D
(D 可略去)
由 f( r, q) 可得应力分量表达式

系数A、B、C仍是利用力的边界条件和部分楔形体的平衡而确定。
， ，

与顶点受集中力情况一样，本解在顶点附近是不能用的。
情况3 楔形体（无体力）在一面受均布压力q。
设 f( r, q ) = g(r)f(q) = r2 f(q )
代入 Ñ 4 f = 0 ， 得：f(q) = Acosq+Bsinq +Cq +D
f( r, q ) = r2(Acosq+Bsinq +Cq +D)
由力边界条件：（sq）q=0= -q , （trq）q=0= 0，（sq）q=a= 0 , （trq）q=a= 0，可确定四个待定系数。

解得 , ,
,
本章小结：
1. 对极坐标问题的基本公式和基本解法进行了讨论。
2. 对轴对称问题解法给予了较详细的讨论并举例。
3. 非轴对称问题解法：采用叠加法、半逆解法与分离变量的作法设应力函数 f( r, q ) = g(r)f(q) ，并通过几个例子，较详细介绍了半逆解的求解过程。