高等数学单元教学设计.doc

高等数学单元教学设计
《高等数学》

课程单元教学设计

（2012～2013学年第1、2学期）

课程名称： 高 等 数 学
所属系部： 机 电 工 程 系
制 定 人： 程登彪
合 作 人： 数学教研室全体教师
制定时间： 2012年12月

莱芜职业技术学院

1.1函数 课程单元教学设计
一、教案头
单元标题：
函数
单元教学学时
4
在整体设计中的位置
第1、2次
授课班级

上课地点

教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能熟练把握函数的概念,确定变量关系
➁能够了解并确定函数的定义域与对应法则
➂能够熟练判断两个函数是不是同一个函数
➃能够掌握复合函数分解与合成
➀函数概念
➁定义域
➂对应法则
➃函数表示
➄复合函数
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1 查阅资料，函数的历史
任务2 理解函数的两个要素
任务3 如何求解函数的定义域
任务4 如何判断两个函数是同一个函数
任务5 阅读教材第3页 总结函数的表示方法
任务6 什么是分段函数？学生分组讨论，给出自己的想法
任务7 函数四个特性回忆与加强
任务8 复合函数分解与合成
案例1（速度距离问题） 一个物体速度是v，行驶路程是s，那么经过时间t，它形式了多么长的距离？
案例2（纳税问题） 搜集中国的个人收入所得税纳税标准，设某人月工资元，请建立他的纳税税额函数。
案例3 任意两个函数是否都能合成一个函数；如何分解一个复合函数。
案例4（人口问题） 1982年底，我国人口10.3亿，按照年均20%的自然增长率，到2013年底，我国人口将是多少？
案例5（奖学金等级问题） 了解我们莱芜职业技术学院的奖学金发放规则，建立奖学金的分段函数
案例6（贷款抵押模型）设二室一厅的商品房价值100000元，某人自筹资金40000元，要购房还需要借款60000元，条件是每年还一些，25年还清，房子就归债权人，该人具备什么能力才能借款？
教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告知）
本单元学习目标：
➀函数概念；➁定义域；➂对应法则；➃函数表示；
➄分段函数；➅函数性质；➆复合函数
陈述
板书
识记
5分钟
2
（引入
任务1）
查阅资料
函数概念发展历史
出示案例1，引入函数概念
学生阅读自主讨论
教师提示
分组研讨
5分钟
3
（任务2）
函数的两个要素：对应法则、定义域
什么是对应法则？
什么是定义域？
学生阅读课本总结
教师
启发
讲解
板书
师生研讨
5分钟
4
（任务3）
求解函数的定义域：
例1 求定义域
例2 求定义域
例3 求定义域
教师引导法
学生分组学习
学生演示
学生讨论
10分钟
5
（任务4）
如何判断两个函数是同一个函数，判断下列函数是不是同一个函数？
（1）
（2）
（3） ，
教师重复提示函数的两个要素，引导学生注意
黑板演示
学生讨论
15分钟
6
（任务5）
阅读教材第3页 总结函数的表示方法
（1） 图表法：列表表示的关系
案例应用：统计我们莱芜职业技术学院某月每天的温度，做出温度和日期的对应图表。
（2） 图像法：画图表示的关系
案例应用：将上述温度和日期的对应图表用图像表示出来，x轴表示日期，y轴表示温度
（3） 解析法：用一个式子来表达函数，例如
学生根据函数含义自行举例
黑板展示
学生讨论
5分钟
7
（任务6）
分段函数
表达式以及定义域
例 ，求f(1)(-0.5) ,
f(3.5)
例 画出分段函数
学生阅读课本，自主学习
黑板展示
学生讨论
20分钟
8
（任务7）
函数的四个特性：
1、有界性
若存在正数M，使得，则称在上有界。例如在实数域上有界。
2、单调性
（1）如果与定义域内任意两个点，有，则在上单调增加
（1）如果与定义域内任意两个点，有，则在上单调减少
例 证明在其定义域内的单调性
3、奇偶性
设是个对称区域，如果任意的，有，则称在上是偶函数；如果任意的，有，则称在上是奇函数
例 判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
（3）
4、周期性
如果存在不为零的数,使得任意的，有，则称在上周期函数。例如正弦函数，是最小正周期。
教师分别讲解
黑板演示
学生听讲
50分钟
9
（任务8）
复合函数的合成与分解
这是重点内容，直接涉及后面的复合函数求导
例 分解：

例 分解

练习：分解下列复合函数
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
注意：复合函数分解到简单函数为止。简单函数就是有基本初等函数经过有限次四则运算合成的函数。
教师讲解
学生演练
黑板演示
黑板展示
学生讨论学习
45分钟
10
操练
深化
应用案例在课堂进行中解答
学生自行研究

55分钟
作业
将案例6上作业 设二室一厅的商品房价值100000元，某人自筹资金40000元，要购房还需要借款60000元，条件是每年还一些，25年还清，房子就归债权人，该人具备什么能力才能借款？
课后
体会

2.1极限 单元教学设计
一、教案头
单元标题：
极限
单元教学学时
8
在整体设计中的位置
第3、4、5、6次
授课班级

上课地点

教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
能够熟练掌握极限的六种过程
极限6种过程
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1 查阅资料，了解极限的含义
任务2 阅读课本，学习极限
任务3 在任务2完成的基础上，自学，，，，
案例1（老人分遗产） 一个老人有17头牛，他打算把这17头牛的分给老大，分给老二，分给老三，请问改怎么分？提示：采取极限思想，一头牛分，剩下。答案：老大9头，老二6头，老三2头牛。
案例2 （无穷直角三角形面积）

案例3 ，，，
教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告知）
本单元学习目标：
函数的六种极限过程，，，，，
陈述
板书
识记
2分钟
2
（引入
任务1）
查阅资料
了解极限含义
学生阅读自主讨论
教师提示
分组研讨
5分钟
3
（任务2）
阅读课本，学习极限
设一个函数，给定点
（1）表示自变量x从右侧（数轴的正方向）趋向，随着x从右侧趋向(x)函数值趋向一个数，这个数就是f(x)的极限，记作。
（2）举例
例1 计算
的图像是

可见，随着时，。因此=2
注：此极限2也就是把1代入所得到的。
例2 计算
这个极限就不能直接把1导入到函数里面，因为无意义。所以应当先分解。

练习
1、
2、
3、
画图法教师启发讲解
板书
师生研讨
30分钟
4
（任务3）
在任务2完成的基础上，自学，，，，
教师引导法
学生练习法
学生演示
学生讨论
60分钟
5
（操练）
求解下列极限：
例1 ，画出函数图像，讨论，，
例2 ，讨论，，
例3
例4 ，，
例5 分析
:
教师提示，引导学生注意
黑板演示
学生讨论
30分钟
6
（案例）
案例在课堂进行中解答

作业

21页 1

课后
体会

2.2无穷小 无穷大 单元教学设计
一、教案头
单元标题：
无穷小 无穷大
单元教学学时
4
在整体设计中的位置
第7、8次
授课班级

上课地点

教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能够理解无穷小的概念
➁能够应用无穷小性质计算某些函数极限
➂能够理解无穷大的概念
➃能够掌握无穷小和无穷大的倒数关系，并相互求解
无穷小
无穷大
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1 无穷小概念
任务2 阅读课本，学习无穷小性质及应用
任务3 学习无穷大概念，理解无穷大与无穷小关系
案例1 求
案例2 求
案例3 求在什么情况下是无穷小，在什么情况下是无穷大。
教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告知）
本单元学习目标：
无穷小，无穷大
陈述
板书
识记
5分钟
2
（引入
任务1）
学生阅读，无穷小概念
极限为零的函数叫做在该极限过程下的无穷小。特别注意，无穷小不是很小很小的数。
例 下列函数在什么情况下是无穷小？
（1）
（2） 21
（3）
（4）
学生阅读自主讨论
教师提示
分组研讨
15分钟
3
（任务2）
无穷小性质
（1）四条无穷小性质中最重要的是什么？
a) 有限个无穷小的代数和是无穷小
b) 无穷小与无穷小的积是无穷小
c) 常数与无穷小的积是无穷小
d) 有限个无穷小的积是无穷小
（2）计算
例
例
例
教师启发讲解
板书
师生研讨
30分钟
4
（任务3）
无穷大
在某极限过程下，函数值的绝对值无限变大的函数叫做在该极限过程下的无穷大。
（1）无穷大就是很大很大的一个数吗？
（2）无穷大与无穷小什么关系
无穷大与无穷小是倒数关系。
下列函数在怎么样的情况下是无穷大？
（1）
（2） 21
（3） ,
（4）
（5）
教师引导法
学生练习法
学生演示
学生讨论
15分钟
5
（操练
案例）
案例1 求
案例2 求
案例3 求在什么情况下是无穷小，在什么情况下是无穷大。
教师提示，引导学生注意

学生讨论
30分钟
作业
22页 2 5 6
课后
体会

2.3两个重要极限 单元教学设计
一、教案头
单元标题：
两个重要极限
单元教学学时
8
在整体设计中的位置
第9、10、11、12次
授课班级

上课地点

教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能够理解并应用
➁能够理解并应用
➂能够运用无穷小替换求极限
掌握
掌握
掌握无穷小替换定理
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1 理解并证明
任务2 在若干极限中的应用
任务3 理解
任务4 在若干极限中的应用
任务5 无穷小替换定理
案例1 求 案例2 求
案例3 求证，与是等价无穷小
案例4 注：这个问题是个竞赛题，需要学生讨论解决
教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告知）
本单元学习目标：
并应用
并应用
运用无穷小替换求极限

陈述
板书
识记
5分钟
2
（引入
任务1）
学生阅读自学，
（1）这个极限要注意三点，那三点？
（2）这个极限如何使用？
（3）这个极限如何证明？

教师画图讲解
教师提示
分组研讨
15分钟
3
（任务2）
应用
学生先讨论：如何应用这个极限？对吗？为什么？
例1
例2
例3
例4
教师启发讲解
板书
师生研讨
30分钟
4
（任务3）
理解

（1）这个极限要注意什么？
（2）你打算如何使用这个极限？
（3）
教师画图讲解
学生听讲
学生讨论
15分钟
5
（任务4）
应用
例1
例2
例3 （注：这个也是公式）
例4
教师提示，引导学生注意
黑板演示
学生讨论
30分钟
6
（任务5）
无穷小替换定理
设
则
（1）无穷小替换要注意什么事项？
（2）你都知知道那些常用等价无穷小？总结出来，并记忆
用无穷小替换定理处理下题
例1
例2
例3
教师讲解
黑板演示
学生听讲
40分钟
7
案例
案例1 求（要求：两种方法）
案例2 求
案例3 求证，与是等价无穷小
案例4 （注：这个问题是个竞赛题，需要学生讨论解决）
教师指导

45分钟
作业

28页 1 2

课后
体会

2.4函数的连续性 单元教学设计
一、教案头
单元标题：
函数的连续性
单元教学学时
4
在整体设计中的位置
第13、14次
授课班级

上课地点

教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能够理解自变量增量、函数的增量概念
➁能够理解函数的连续的图像定义和两个公式定义
➂能够理解函数的间断点并简单判断
掌握自变量增量、函数的增量概念
掌握函数两个的定义
掌握间断点
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1 理解增量
任务2 利用增量定义函数连续
任务3 分辨间断点
案例1 求
案例2 求
案例3 的间断点类型
案例4 设，问常数何值时，函数f(x)在上连续
教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告知）
本单元学习目标：
增量
函数的连续性
间断点
陈述
板书
识记
5分钟
2
（引入
任务1）
增量
（1）自变量的增量
例1 设一个物体以每秒3米的速度行进，，，那么从到时间增加了多少？这个增加的时间就是时间的增量
例2 21从1增加到3.5，x的增量是多少？
（2）函数的增量
随着自变量的增量而改变的函数的增量
例1 当到时间增加时，路程增加了多少？这就是时间t的函数路程的增量。
例2 x从1增加到3.5时，函数y增加了多少？
以后自变量增量记作，；函数增量记作，

教师画图讲解
教师提示
分组研讨
15分钟
3
（任务2）
增量定义函数连续

函数的连续，从图像上来说就是函数图像不间断。
第一个定义：函数在连续，那么
第二个定义：函数在连续，
根据连续性
求，，
教师启发讲解
注意两个定义的过度
板书
师生研讨
30分钟
4
（任务3）
间断点
根据连续的第二个定义，启发学生，函数在一个点如果不连续，会有几种情况：
（1）与均存在，但是不相等
（2）与均存在（即存在），但是不等于函数值
（3）与至少一个不存在
例1 判断的间断点
例2 设，讨论f(x)在1处的连续性，1是什么间断点
例3 ，讨论f(x)在0处的连续性，0是什么间断点
教师画图讲解启发学生
学生听讲
学生讨论
30分钟
5
（案例）
案例应用
案例1 求
案例2 求
案例3 的间断点类型
案例4 设，问常数何值时，函数f(x)在上连续
教师提示，引导学生注意
黑板演示
学生讨论
50分钟
作业
34页 7 8 9 10
课后 体会

3.1导数概念 单元教学设计
一、教案头
单元标题：
导数概念
单元教学学时
4
在整体设计中的位置
第15、16次
授课班级

上课地点

教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能够变速直线运动速度、切线斜率
➁能够抽象出导数概念
➂能够利用导数概念计算导数
➃能够计算高阶导数
➄能够总结基本函数的导数运算公式
导数概念
左右导数
计算导数
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1 理解变速直线运动速度、切线斜率
任务2 抽象导数概念
任务3 简单计算导数、高阶导数
任务4 总结基本函数的导数运算公式
案例1（电流强度模型） 电流强度模型 设在时间这段时间内通过导线横截面的电流是，利用导数概念分析电流强度
案例2 （细杆的线密度模型） 设一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上，在[0]上的质量是x的函数(x),求杆上点处的线密度
教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告知）
本单元学习目标：
瞬时速度，切线斜率
导数概念，高阶导数
陈述
板书
识记
5分钟
2
（引入
任务1）
（1）瞬时速度
设一个物体的路程与时间的函数是(t)，试研究在时刻时的瞬时速度

（2）切线斜率
函数(x)在处的切线斜率

教师画图讲解
教师提示
学生认真听讲
分组研讨
50分钟
3
（任务2）
导数
通过任务2，抽象出任意函数(x)在的导数概念

右导数：
左导数：
例 求在2处的导数
例 求在处的导数
例 求在处的导数
例 设求
例 设,其中在处连续，求
例设函数在处可导，且，求
教师启发讲解
注意两个定义公式
板书
师生研讨
50分钟
4
（任务3）
高阶导数
在一阶导数的基础上再求导就是二阶导数
在二阶导数的基础上再求导就是三阶导数
以此类推
一阶导数记作：
二阶导数记作：
三阶导数记作：
阶导数记作：
例 计算的二阶导数
例 计算的二阶导数
例 计算的二阶导数
教师启发讲解

板书
师生研讨
40分钟
5
（任务4）
总结基本初等函数的导数运算公式
　　(1)　
　(2)　
　　(3)　
　(4)　
　　(5)　
　(6)　
　　(7)　
　(8)　
　　(9)　
　(10)　
　　(11)　
　(12)　，
　　(13)　
　(14)　
　　(15)　
　(16)　

学生讨论总结

30分钟
5
（案例）
案例应用
案例1 电流强度模型 设在时间这段时间内通过导线横截面的电流是，利用导数概念分析电流强度
案例2 细杆的线密度模型 设一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上，在[0]上的质量是x的函数(x),求杆上点处的线密度
学生分组自主学习法

学生讨论
35分钟
作业

默写基本初等函数导数公式

课后
体会

3.2求导法则 单元教学设计
一、教案头
单元标题：
求导法则
单元教学学时
8
在整体设计中的位置
第17-20次
授课班级

上课地点

教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能够掌握导数的四则运算并运用
➁能够掌握复合函数求导数法则并运用
➂能够掌握反函数求导法则并运用
➃能够掌握隐函数求导法则并运用
➄能够掌握对数求导法则并运用
➅能够掌握参数方程求导法则并运用
导数运算法则6条
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1 导数的四则运算
任务2 复合函数求导数法则
任务3 反函数求导法则
任务4 隐函数求导法则
任务5 对数求导法则
任务6 参数方程求导法则
案例1 ，求，
案例2（注水问题） 若水以2立方米/分的速度灌入一个高为10米的、底面半径是5米的圆锥形水槽中，问当水深为6米时，水位的上升速度是多少？
案例3 求方程所确定的一阶导数的值，再求二阶导数
案例4 求由方程确定的隐函数的导数
教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告知）
本单元学习目标：
导数的四则运算
复合函数求导数法则
反函数求导法则
隐函数求导法则
对数求导法则
参数方程求导法则
陈述
板书
识记
10分钟
2
（引入
任务1）
导数的四则运算
（1）学生阅读教材47页内容
（2）学生总结导数如何四则运算
（3）

例 ,求
例 ，求
例 ，求
例 ，求
例 ，
求
教师讲解
教师提示
学生认真听讲
分组研讨
45分钟
3
（任务2）
复合函数求导数
（1）学生阅读49页内容总结如何求复合函数的导数
（2）设，则分解成。所以
（3）例 ，求
例 ，求
例 ，求
例 ，求
例 假设气体以100立方厘米/秒的速度注入气球，假定气体的压力不变，那么当半径是10厘米时，气球半径增加的速率是多少？
教师启发讲解

板书
师生研讨
45分钟
4
（任务3）
反函数求导
（1）学生阅读52-53页，总结反函数求导的办法
（2）
例 根据的导数，求的导数
例 根据的导数求的导数
例 ，求
例 ，求
教师启发讲解

板书
师生研讨
45分钟
5
（任务4）
隐函数求导法
（1）学生阅读55页内容总结隐函数求导法则
（2）方程两侧对x求导，遇到含有y的项，先对y求导，再对x求到，这样得到一个含有的式子，求出即可
例 求由方程确定的隐函数的导数
例 设曲线，求在处的切线斜率和切线方程
例 求由方程确定的隐函数的导数。
例 求由方程确定的隐函数的导数
学生分组自主学习法
教师提示
学生讨论
45分钟
6
（任务5）
对数求导法则
（1）学生阅读56页内容总结对数求导法则
（2）对数求导事实上是把一些通过乘除乘方开方构成的复杂函数转化成隐函数，然后再运用隐函数求导法则求出导数
例 ，求
例 ，求
例 ，求
例 ，求
学生分组自主学习法
教师提示
学生讨论
45分钟
7
（任务6）
参数方程求导
（1）学生阅读57页总结参数方程求导法
（2）设参数方程
则
例 设参数方程，求
例 设，求
学生分组自主学习法
教师提示
学生讨论
45分钟
8
（案例）
案例应用
案例1 ，求，
案例2 若水以2立方米/分的速度灌入一个高为10米的、底面半径是5米的圆锥形水槽中，问当水深为6米时，水位的上升速度是多少？
案例3 求方程所确定的一阶导数的值，再求二阶导数
案例4 求由方程确定的隐函数的导数
学生自行讨论解决

50分钟
作业

59页 1 2 3 4 5 6

课后
体会

3.3微分 单元教学设计
一、教案头
单元标题：
微分
单元教学学时
4
在整体设计中的位置
第21、22次
授课班级

上课地点

教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能够掌握微分的概念
➁能够掌握微分和导数的关系及公式表达
➂微分在近似计算公式中的应用
微分概念
微分公式
微分近似计算公式
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1 微分的概念及公式表达
任务2 微分的近似计算
案例1（机械零件加工） 有一个球体机械加工零件，要使他的体积从972π立方厘米增加到973π立方厘米，试估计其半径的增加了月多少？
案例2（机械零件近似） 有一个机械零件长是，现在要加工边长，但是不知道将具体近似值，请计算出来。
案例3 求的微分。并计算的近似值
教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告知）
本单元学习目标：
掌握微分的概念
掌握微分和导数的关系及公式表达
微分在近似计算公式中的应用
陈述
板书
识记
5分钟
2
（引入
任务1）
微分概念
（1）学生阅读60-61页资料，理解微分的含义
（2）所谓的微分，就是随着自变量的改变量，函数值的该变量。=，也即
例 计算下列函数的微分
（1）
（2）
（3）
（4）
例 ，求
例 ，求
微分和导数比较：

教师讲解
教师提示
学生认真听讲
分组研讨
40分钟
3
（任务2）
微分的近似计算
学生总结近似计算
（1）首先要搞清楚设计的关系式，自变量和因变量
（2）

例 假设一机械正方形薄片，边长是厘米，现在机械薄片边长从增加到，求薄片面积的增加。设是薄片面积，则0.8平方厘米
例（膨胀问题） 设一个铜质正方体，边长是20厘米，因为热胀冷缩，到了夏天，经测量他的边长有20厘米增加了0.1厘米，试问这个铜质正方体的体积膨胀了多少？
教师启发讲解

板书
师生研讨
40分钟
4
（任务3）
案例应用
案例1 有一个球体机械加工零件，要使他的体积从972π立方厘米增加到973π立方厘米，试估计其半径的增加了月多少？
案例2 有一个机械零件长是，现在要加工边长，但是不知道将具体近似值，请计算出来。
案例3 求的微分。并计算的近似值
教师启发讲解

板书
师生研讨
40分钟
作业

66页3 4

课后
体会

4.1微分中值定理 单元教学设计
一、教案头
单元标题：
微分中值定理
单元教学学时
8
在整体设计中的位置
第23-26次
授课班级

上课地点

教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能够理解和掌握罗尔定理
➁能够掌握拉格朗日定理并证明相关问题
➂能够掌握导数判断函数的单调性
➃能够掌握柯西中值定理及洛比达法则
洛尔定理、拉格朗日定理
单调性、柯西定理、洛比达法则
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1 罗尔定理
任务2 拉格朗日定理
任务3 单调性
任务4 柯西定理与洛比达法则
案例1 求的单调区间
案例2 讨论的单调性
案例3 计算
案例4 设f(x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(1)=0,试证：至少存在一个点 ，使得
案例5 设在区间上连续，在内可导，证明：在内至少存在一点，使得

案例6 若均为常数，求
教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告知）
本单元学习目标：
洛尔定理
拉格朗日定理
单调性
柯西定理
洛比达法则
陈述
板书
识记
10分钟
2
（引入
任务1）
洛尔定理
学生阅读73页，理解罗尔定理。教师黑板画图像：

根据图像寻找点，结合导数的几何意义，寻找
经过讨论：原来这个点就是最高点或者最低点。
例： 设，验证符合洛尔定理。
练习：设验证符合洛尔定理。
教师讲解
教师提示
学生认真听讲
分组研讨
30分钟
3
（任务2）
拉格朗日定理
学生阅读70页教材，结合下面的图像：

分析拉格朗日定理的成立理由
例 研究在区间[1,2]上满足拉格朗日定理
证明：如果在区间[]内满足，则在[]内f(x)是个常数。
练习：证明
教师启发讲解

板书
师生研讨
40分钟
4
（任务3）
单调性
学生阅读72页内容，总结单调性与导数有何关系。

总结：（1）如果在内的导数，那么f(x)在这个区间内单调增加
（2）如果在内的导数，那么f(x)在这个区间内单调减少
要研究函数的单调区间步骤
（1）求驻点
（2）以驻点分开定义域为若干块，在每块内探讨一阶导数的正负。正的单调增加，负则单调减少。
例：研究的单调区间
例：研究的单调区间
练习：证明，时，
教师启发讲解

板书
师生研讨
60分钟
5
（任务4）
柯西定理与洛比达法则

柯西定理是前面两个定理的推广，学生了解即可。他的证明是把两个函数看成参数方程
，，，连接的连线的斜率是，在曲线上必有一个点，它的切线斜率是
柯西定理的一个主要应用就是证明罗比达法则：
例 计算
例 计算
例 计算
例 计算
练习 计算
计算 计算
教师启发讲解

板书
师生研讨
60分钟
6
（案例）
案例1 求的单调区间
案例2 讨论的单调性
案例3 计算
案例4 设f(x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(1)=0,试证：至少存在一个点 ，使得
案例5 设在区间上连续，在内可导，证明：在内至少存在一点，使得

案例6 若均为常数，求
学生讨论学习

60分钟
作业

77页1 2 3 4

课后
体会

4.2函数的极值和最值 单元教学设计
一、教案头
单元标题：
函数的极值和最值
单元教学学时
8
在整体设计中的位置
第27-30次
授课班级

上课地点

教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能够极值和最值的概念和区别
➁能够求解函数的极值和最值
单调性
极值
最值
求法
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1 函数的极值定理及其求解
任务2 函数的最值及其求解
案例1 求的极值
案例2 讨论的极值
案例3（最大流量出口） 有一块宽为2a的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面积为矩形，高为x,问高x取和值时水槽的流量最大？
案例4 （铁路站点安置） 铁路线距离为100公里，工厂距为20公里，垂直于，今要在上选定一个点向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每公里货运费之比是3:5，问点选在何处才能使从B到C的运费最少？
案例5 （最大面积问题） 现在用一张铝合金材料加工一个日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能是窗户的面积最大，最大面积是多少？如下图

教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告知）
本单元学习目标：
极值
最值
陈述
板书
识记
5分钟
2
（引入
任务1）
极值
学生阅读77页内容，搞清楚：
（1）极值点的定义
（2）求解极值点的方法
定义：设函数在点的某邻域内都有，则称是极大点，为极大值。设函数在点的某邻域内都有，则称是极小点，为极小值。
如下图

是极大点，是极小点
判断一个点的极大点或者极小点有两种方法
1、根据两侧的的符号来判定
左侧

右侧

极小点

极大点

不是极值点

不是极值点

例 求函数的极值点和极值
练习：求函数的极值点和极值
2、根据二阶导数的符号来确定
设是驻点，如果，则是极小点；如果，则是极大点；，则是无法判断是极大点还是极小点。
例 求函数的极值
例 求函数的极值
教师讲解
教师提示
学生认真听讲
分组研讨
50分钟
3
（任务2）
函数的最值
学生阅读教材79页，总结求最值的办法以及极值和最值的区别。
求解最大值和最小值的办法：
（1）求出在内的一切驻点和一阶导数不存在的点，并计算个点的函数值（此时不必判断是极大值点还是极小值点）
（2）求出端点
（3）比较前面求出的所有函数值，最大的就是最大值，最小的就是最小值。
例 求函数在[-3,4]上的最值
解：，得。所以
。所以最大值点是4，最大值是128；最小值点是1，最小值是-7.
练习：求函数在[-3,3]上的最值
参考图像
教师启发讲解

板书
师生研讨
40分钟
4
（案例）
案例应用
案例1 求的极值

案例2 讨论的极值

案例3 有一块宽为2a的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面积为矩形，高为x,问高x取和值时水槽的流量最大？
案例4 铁路线距离为100公里，工厂距为20公里，垂直于，今要在上选定一个点向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每公里货运费之比是3:5，问点选在何处才能使从B到C的运费最少？
案例5 现在用一张铝合金材料加工一个日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能是窗户的面积最大，最大面积是多少？如下图

学生讨论学习

数学软件演示图像

60分钟
作业
80页1 2 3

4.3函数图像的描绘 单元教学设计
一、教案头
单元标题：
函数图像的描绘
单元教学学时
8
在整体设计中的位置
第31-34次
授课班级

上课地点

教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能够掌握函数的凸凹性及拐点
➁能够求解函数渐进线
➂能够按照步骤画出复杂函数的图像
凸凹性
拐点
渐进线
函数的图像
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1 函数的凸凹性和拐点