八年级数学图像的平移和旋转知识点、经典例题和习题.doc

图形的平移与旋转
【考纲传真】
图形的平移与旋转是近几年中考命题的重点和热点．考察考点主要通过具体实例认识平移、旋转，并探索平移、旋转的基本性质．
【复习考纲】
1．探索图形平移、旋转的性质，发展空间观念；结合具体实例，理解平移、旋转的基本内涵．
2．掌握平移、旋转的画图步骤和方法，掌握图形在坐标轴上的平移和旋转．
【考点梳理】
一、平移定义和规律
1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
注意：
（1）平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）；
（2）图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离．
2．平移的规律（性质）：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等．
注意：平移后，原图形与平移后的图形全等．
3．简单的平移作图
平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动．
平移作图要注意：①方向；②距离．
二、旋转的定义和规律
1．旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角．
关键：（1）旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）；
（2）图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角．
2．旋转的规律（性质）：
经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等．)
注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等．
3．简单的旋转作图：
旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动．
旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度．
【典题探究】
【例1】、在下列实例中，不属于平移过程的有（ ）
①时针运行的过程；②火箭升空的过程；③地球自转的过程；④飞机从起跑到离开地面的过程。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【例2】、如图所示的每个图形中的两个三角形是经过平移得到的是（ ）
A
B
C
D

【例3】、下列图形经过平移后恰好可以与原图形组合成一个长方形的是（ ）
A、三角形 B、正方形 C、梯形 D、都有可能
【例4】、在图形平移的过程中，下列说法中错误的是（ ）
A、图形上任意点移动的方向相同 B、图形上任意点移动的距离相同
C、图形上可能存在不动的点 D、图形上任意两点连线的长度不变
【例5】、有关图形旋转的说法中错误的是（ ）
A、图形上每一点到旋转中心的距离相等
B、图形上每一点移动的角度相同
C、图形上可能存在不动点
D、图形上任意两点连线的长度与旋转其对应两点连线的长度相等。
【例6】、如右图所示，观察图形，下列结论正确的是（ ）
A、它是轴对称图形，但不是旋转对称图形；
B、它是轴对称图形，又是旋转对称图形；
C、它是旋转对称图形，但不是轴对称图形；
D、它既不是旋转对称图形，又不是轴对称图形。
【例7】、下列图形中，既是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（ ）
A、等腰三角形 B、平行四边形 C、等边三角形 D、三角形
【例8】、等边三角形的旋转中心是什么？旋转多少度能与原来的图形重合（ ）
A、三条中线的交点，60° B、三条高线的交点，120°
C、三条角平分线的交点，60° D、三条中线的交点，180°
图1
A
C
D
B
O

【例9】、如图1，△BOD的位置经过怎样的运动和△AOC重合（ ）
A、翻折 B、平移 C、旋转90° D、旋转180°
【例10】、钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为（ ）
A、90° B、82.5° C、67.5° D、60°
【例11】、如右图3所示，∠AOB=∠COB=60°,OA=OB,OC=OD,把△AOC绕点O顺时针旋转60°，点A将与点 重合，点C将与点 重合，因此△AOC与△BOD可以通过 得到。
【例12】、正方形至少旋转 能与自身重合，正六边形至少旋转 能与自身重合。
【例13】、如图4，等边三角形ABC旋转后能与等边三角形DBC重合，那么在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有 个。
【例14】、如图5，△ABC≌△CDA,BD交AC于点O，则△ABC绕点O旋转 后与△CDA重合，△ABO可以由△CDO绕点 旋转 得到。
A
B
C
D
图4
A
B
C
D
O
图3

A
B
C
D
O
图5

【例题15】将△平移后，A点移到A1点，请作出平移后的图形，并将此图形绕点C1逆时针旋转，再作出所得图形．

【例题16】如图所示，正方形ABCD中E为BC边上的一点，将面ABE旋转后得到△CBF．
（1）指出旋转中心及旋转角度；
（2）判断AE与CF的位置关系；
（3）如果正方形的面积为18 cm2，△BCF的面积为4 cm2，问四边形AECD的面积是多少？

【例题17】如图，△ABC沿MN方向平移3㎝后，成为△DEF。
A
B
C
F
D
E
M
N
（1）点A的对应点是哪个点？
（2）线段AD的长是多少？
（3）∠ABC与∠DEF有何关系？
（4）从图形中你发现了什么，
说说你的理由。
【例题18】如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，点E、F分别在AB、AC上，△AED经过旋转到了△CDF的位置。
⑴ △BED和△AFD之间可以看成是经过怎样的变换得到的？
⑵ AD与EF相交于点G，试判断∠AED与∠AGF的大小关系，并说明理由。
A
B
D
C
F
E
G

【例题19】如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（-2，4）、（-2，0）、（-4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC逆时针旋转90°的△；
（2）平移△ABC，使点A移动到点，画出平移后的△并写出点、的坐标．

【例题20】如图①，已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC边上的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE向下平移，使得A点与C点重合，将△BDF向右平移，使得B点与C点重合（如图②）．
（1）设△ADE， △BDF， △EFC的面积分别为S1，S2，S3，则S1+S2+S3_______．（用，，填空）

（2）如图③，已知∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，设△ABO，△CDO，△EFO的面积分别为S1，S2，S3．问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．（可利用图③进行探究）

【课堂小结】
1．连接对应点的线段的长度就是平移的距离，从原图形的一点到对应点的方向即为平移的方向，对应点间的距离等于平移的距离．
2．旋转前与旋转后的两个图形形状、大小都没有发生变化，只是位置发生了变化，它们是全等图形；图形中的每个点都参与了旋转运动，并且都绕着旋转中心旋转了同样大小的角．
课后作业

一、选择题
1．下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（　　）

A B C D
2．下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是（ ）
A
B
C
D
M

3．如图1，ΔABC和ΔADE都是等腰直角三角形，∠C和∠ADE都是直角，点C在AE上，ΔABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与ΔADE重合得到图1，再将图1作为“基本图形”绕着A点经过逆时针连续旋转得到图2．两次旋转的角度分别为（ ）

A．45°，90° B．90°，45° C．60°，30° D．30°，60°
4．在以下现象中，①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上，瓶装饮料的移动．属于平移的是（ ）
A．①②　 B．①③ C．②③　 D．②④
5．将长度为5 cm 的线段向上平移10 cm 所得线段长度是（　　）
A．10 cm B．5 cm C．0 cm D．无法确定
6．下列运动是属于旋转的是（　　）
A．滾动过程中的篮球的滚动 B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动 D．一个图形沿某直线对折过程
7．下列说法正确的是( )
A．平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小
B．平移和旋转的共同点是改变图形的位置
C．图形可以向某方向平移一定距离,也可以向某方向旋转一定距离
D．由平移得到的图形也一定可由旋转得到
8．△ABC平移到△DEF的位置，（即点A与点D，点B与点E，点C与点F，是对应点）有下列说法：①AB=DE；②AD=BE；③BE=CF；④BC=EF其中说法正确个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1 和6 、2和5 、 3和 4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻90，然后在桌面上按逆时针方向旋转90，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）

A． 6 B．5 C．3 D．2
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=30º，BC=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）

A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，
二、填空题
1．△ABC和△DCE是等边三角形，则在此图中，△ACE绕着 点 旋转 度可得到△ ．

2．△是△平移后得到的三角形，则 △≌△，理由是 ．

3．如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移的距离为 cm．

4．把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分（如图中的阴影部分）的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=，则正方形移动的距离是AA′是_______．

三、解答题
1．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE＋DF＝EF，求∠EAF．

2、.如图，ABC中，BAC=，以BC为边向外作等边BCD，把ABD绕着点D按顺时针方向向旋转得到ECD的位置。若AB=3，AC=2，求BAD的度数和线段AD的长度。（A、C、E在同一直线上）

3．操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点；图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：

（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明；
（2）三角板绕点P旋转，△PBE能否为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．
4.如图，梯形ABCD的周长为30cm，AD∥BC ，现将DC平移到AE处，AD=5cm ，求ABE的周长。

5、阅读下列材料：如图②，把△ABC沿直线平移线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图③，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图④，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．

　　　图①　　　　　　　 图②　　　　　　　　　图③　　　　 图④
请回答下列问题：
（1）在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？
（2）指出图①中线段BE与DF之间的关系．
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