河北省廊坊八中2016年高考数学考前最后一卷(理科)(解析版).doc

河北省廊坊八中2016年高考数学考前最后一卷（理科）（解析版）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．设i是虚数单位，则复数=（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
2．已知sinαcosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（　　）
A．∃x≤0，x3≤0 B．∀x＞0，x3≤0 C．∃x＞0，x3≤0 D．∀x＜0，x3≤0
4．吉安市高二数学竞赛中有一道难题，在30分钟内，学生甲内解决它的概率为，学生乙能解决它的概率为，两人在30分钟内独立解决该题，该题得到解决的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（　　）
A． B．2 C．3 D．9
6．当时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数是（　　）
A．奇函数且图象关于点对称
B．偶函数且图象关于点（π，0）对称
C．奇函数且图象关于直线对称
D．偶函数且图象关于点对称
7．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若，则双曲线的离心率是（　　）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（　　）
A．[3，6] B．[4，6] C． D．[2，4]
9．执行如图的程序框图，那么输出S的值是（　　）

A．2 B． C．1 D．﹣1
10．（x2+x+y）5的展开式中，x7y的系数为（　　）
A．10 B．20 C．30 D．60
11．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（　　）
A．3 B．2 C． D．1
12．已知函数f（x）=﹣k（+lnx），若x=2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，e] B．[0，e] C．（﹣∞，e） D．[0，e）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为　　　　　　．
14．已知实数x、y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最大值为　　　　　　．
15．（5分）（2012房山区一模）设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），若，则数列{an}的前n项和的取值范围是　　　　　　．
16．曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为　　　　　　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（2016廊坊校级模拟）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=csinC．
（1）求cosC；
（2）若a=6，△ABC的面积为8，求c．
18．（12分）（2007威海一模）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．
（I）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B﹣A1C1﹣D的大小．

19．（12分）（2014合肥一模）某电视台举办青年歌手大奖赛，有10名评委打分，已知甲、乙两名选手演唱后的打分情况如茎叶图所示：

（Ⅰ）从统计的角度，你认为甲与乙比较，演唱水平怎样？
（Ⅱ）现场有3名点评嘉宾A、B、C，每位选手可以从中选2位进行指导，若选手选每位点评嘉宾的可能性相等，求甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人的概率．
20．（12分）（2012南京二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

21．（12分）（2016廊坊校级模拟）已知函数f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx．
（1）；令F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；
（2）设r（x）=f（x）+g（）对任意a∈（1，2），总存在x∈[，1]使不等式r（x）＞k（1﹣a2）成立，求实数k的取值范围．

[选修4-1:几何选讲]
22．（10分）（2016白山三模）已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．
（1）求证：∠BAC=∠CAG；
（2）求证：AC2=AEAF．

[选修4-4坐标系与参数方程
23．（2016河南一模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ=﹣，曲线C：（α为参数）．
（Ⅰ）将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；
（Ⅱ）若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．

[选修;不等式选讲]
24．（2016廊坊校级模拟）已知函数f（x）=|x﹣a|．
（Ⅰ） 当a=﹣2时，解不等式f（x）≥16﹣|2x﹣1|；
（Ⅱ） 若关于x的不等式f（x）≤1的解集为[0，2]，求证：f（x）+f（x+2）≥2a．

2016年河北省廊坊八中高考数学考前最后一卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．设i是虚数单位，则复数=（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【分析】直接利用复数的除法与乘方运算法则化简求解即可．
【解答】解：复数==i（1+i）=﹣1+i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．

2．已知sinαcosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】把（cosα﹣sinα）2利用完全平方公式展开后，再利用同角三角函数间的基本关系化简，把sinαcosα的值代入求出（cosα﹣sinα）2的值，由α的范围，得到cosα﹣sinα小于0，开方即可求出cosα﹣sinα的值．
【解答】解：∵sinαcosα=，
∴（cosα﹣sinα）2=cos2α﹣2sinαcosα+sin2α=1﹣2sinαcosα=，
∵＜α＜，∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，
则cosα﹣sinα=﹣．
故选D
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．

3．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（　　）
A．∃x≤0，x3≤0 B．∀x＞0，x3≤0 C．∃x＞0，x3≤0 D．∀x＜0，x3≤0
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是∃x＞0，x3≤0．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．

4．吉安市高二数学竞赛中有一道难题，在30分钟内，学生甲内解决它的概率为，学生乙能解决它的概率为，两人在30分钟内独立解决该题，该题得到解决的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】难题能被解决包括三种情况，一是两个人都解决难题，二是甲解决了难题而乙没有解决难题，三是乙解决难题而甲没有解决难题，它的对立事件是两个人都没有解决难题．利用对立事件的概率公式得到结果．
【解答】解：难题能被解决包括三种情况，一是两个人都解决难题，
二是甲解决了难题而乙没有解决难题，三是乙解决难题而甲没有解决难题，
它的对立事件是两个人都没有解决难题．
根据互斥对立事件时发生的概率得到P=1﹣=
故选：C
【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是从正面来解决问题比较麻烦可以从事件的对立面来解决，本题是一个基础题

5．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（　　）
A． B．2 C．3 D．9
【分析】由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1和3的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果．
【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面是直角边长为1和3的直角三角形，
三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3，
∴V=××3×1×3=．
故选A．
【点评】本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是根据三视图看出几何体的形状和长度，注意三个视图之间的数据关系，本题是一个基础题．

6．当时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数是（　　）
A．奇函数且图象关于点对称
B．偶函数且图象关于点（π，0）对称
C．奇函数且图象关于直线对称
D．偶函数且图象关于点对称
【分析】由f（）=sin（+φ）=﹣1可求得φ=2kπ﹣（k∈Z），从而可求得y=f（﹣x）的解析式，利用正弦函数的奇偶性与对称性判断即可．
【解答】解：∵f（）=sin（+φ）=﹣1，
∴+φ=2kπ﹣，
∴φ=2kπ﹣（k∈Z），
∴y=f（﹣x）=Asin（﹣x+2kπ﹣）=﹣Asinx，
令y=g（x）=﹣Asinx，则g（﹣x）=﹣Asin（﹣x）=Asinx=﹣g（x），
∴y=g（x）是奇函数，可排除B，D；
其对称轴为x=kπ+，k∈Z，对称中心为（kπ，0）k∈Z，可排除A；
令k=0，x=为一条对称轴，
故选C．
【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求φ是难点，考查正弦函数的奇偶性与对称性，属于中档题．

7．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若，则双曲线的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出直线l和两个渐近线的交点，进而根据，求得a和b的关系，根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．
【解答】解：直线l：y=x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），
l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（﹣，﹣），
∵A（a，0），，
∴（﹣a，）=（﹣﹣，﹣﹣），
∴﹣a=（﹣﹣）
∴b=2a，
∴c2﹣a2=4a2，
∴e2==5，∴e=，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．

8．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（　　）
A．[3，6] B．[4，6] C． D．[2，4]
【分析】通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2+4，0≤b≤2，求出范围即可．
【解答】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，
则A（3，0），B（0，3），
∴AB所在直线的方程为： =1，则y=3﹣x，
设N（a，3﹣a），M（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，
∵MN=，
∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，
∴a﹣b=1，∴a=b+1，
∴0≤b≤2，
∴=（a，3﹣a）（b，3﹣b）
=2ab﹣3（a+b）+9，
=2（b2﹣2b+3）=2（b﹣1）2+4，0≤b≤2，
∴当b=0或b=2时有最大值6；
当b=1时有最小值4．
∴的取值范围为[4，6]
故选B．

【点评】熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积的坐标运算是解题的关键．

9．执行如图的程序框图，那么输出S的值是（　　）

A．2 B． C．1 D．﹣1
【分析】框图首先给变量S，k赋值S=2，k=1，然后判断k＜2016是否成立，成立则执行S=，否则跳出循环，输出S，然后依次判断执行，由执行结果看出，S的值呈周期出现，根据最后当k=2015时算法结束可求得S的值．
【解答】解：框图首先给变量S，k赋值S=2，k=1．
判断1＜2016，执行S==﹣1，k=1+1=2；
判断2＜2016，执行S==，k=2+1=3；
判断3＜2016，执行S==2，k=3+1=4；
判断4＜2016，执行S==﹣1，k=4+1=5；
…
程序依次执行，由上看出，程序每循环3次S的值重复出现1次．
而由框图看出，当k=2015时还满足判断框中的条件，执行循环，当k=2016时，跳出循环．
又2015=671×3+2．
所以当计算出k=2015时，算出的S的值为．
此时2016不满足2016＜2016，跳出循环，输出S的值为．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期，是基础题．

10．（x2+x+y）5的展开式中，x7y的系数为（　　）
A．10 B．20 C．30 D．60
【分析】只有当其中一个因式取y，一个因式取x，其余的3个因式都取x2 时，才能可得到含x7y的项，由此得出结论．
【解答】解：∵（x2+x+y）5表示5个因式（x2+x+y）的乘积，当只有一个因式取y，一个因式取x，
其余的3个因式都取x2，即可得到含x7y的项．
故x7y的系数为=20，
故选：B．
【点评】本题主要考查排列组合、二项式定理的应用，乘方的意义，属于基础题．

11．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（　　）
A．3 B．2 C． D．1
【分析】设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S△SCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．
【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2 则：SA=SB，AC=BC
因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===
在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===
又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V=ABS△SCD，
因为：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==
则：sin∠SDC==
由三角形面积公式得△SCD的面积S=SDCDsin∠SDC==3
所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=ABS△SCD==
故选C

【点评】本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型．

12．已知函数f（x）=﹣k（+lnx），若x=2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，e] B．[0，e] C．（﹣∞，e） D．[0，e）
【分析】由f（x）的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．
【解答】解：∵函数f（x）=﹣k（+lnx），
∴函数f（x）的定义域是（0，+∞）
∴f′（x）=﹣k（﹣+）=
∵x=2是函数f（x）的唯一一个极值点
∴x=2是导函数f′（x）=0的唯一根．
∴ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，
令g（x）=ex﹣kx
g′（x）=ex﹣k
①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的
g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解
②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk
0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减
lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增
∴g（x）的最小值为g（lnk）=k﹣klnk
∴k﹣klnk＞0
∴k＜e，
由y=ex和y=ex图象，它们切于（1，e），
综上所述，k≤e．
故选C
【点评】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为　　．
【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，则a=，
则有解得m=，n=
∴mn=
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．

14．已知实数x、y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最大值为　3　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（3，1），
化目标函数z=2x﹣3y为y=，
由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×3﹣3×1=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

15．（5分）（2012房山区一模）设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），若，则数列{an}的前n项和的取值范围是　　．
【分析】依题意分别求出f（2），f（3），f（4）进而发现数列{an}是以为首项，以为公比的等比数列，进而可求得Sn的取值范围．
【解答】解：由题意可得，f（2）=f2（1），f（3）=f（1）f（2）=f3（1），
f（4）=f（1）f（3）=f4（1），a1=f（1）=
∴f（n）=
∴=∈[，1）．
故答案：[，1）
【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据已知条件确定出等比数列的首项及公比

16．曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为　4﹣ln3　．
【分析】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得．
【解答】解：根据利用定积分的几何意义，得：
由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：
S=（3﹣）dx+=（3x﹣lnx）|﹣2=3﹣1﹣1n3+2=4﹣ln3．
故答案为：4﹣ln3

【点评】本题主要考查定积分求曲边梯形的面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基础题．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（2016廊坊校级模拟）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=csinC．
（1）求cosC；
（2）若a=6，△ABC的面积为8，求c．
【分析】（1）由已知利用正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=，由此能求出sinC，从而能求出cosC．
（2）由三角形面积公式得到，从而求出b，由此利用余弦定理能求出c．
【解答】解：（1）∵在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=csinC，
∴由正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=，
∴，
∵sinC＞0，∴sinC=，
∵C是锐角，∴cosC=．
（2）∵，a=6，
∴，解得b=8，
由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=36+64﹣2×=36，
∴c=6．
【点评】本题考查三角形内角余弦值和边长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系式的合理运用．

18．（12分）（2007威海一模）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．
（I）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B﹣A1C1﹣D的大小．

【分析】（I）利用三角形中位线的性质，证明B1C∥ED，利用线面平行的判定，可得B1C∥平面A1BD；
（II）证明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1，利用线面垂直的判定，即可得出结论；
（III）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．
【解答】（I）证明：连结AB1交A1B于E，连ED．
∵ABC﹣A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，
∴侧面ABB1A是一正方形．
∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．
∴在△AB1C中，ED是中位线．
∴B1C∥ED．∴B1C∥平面A1BD．…（4分）
（II）证明：∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B，
又∵侧面ABB1A是一正方形，∴A1B⊥AB1．
∴A1B⊥平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．
又∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1．
∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（8分）
（III）解：由上问知B1C1⊥平面ABB1A1．∴BC⊥平面ABB1A1．∴BC⊥AB．
以BA、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
不妨设AB=BC=BB1=1，则显然B、D、A1、C1各点的坐标分别是
B（0，0，0），D（），A1（1，0，1），C1（0，1，1）．

由图形可知二面角B﹣A1C1﹣D的平面角为锐角，
∴二面角B﹣A1C1﹣D的大小为．…（12分）

【点评】本题考查线面平行、线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．

19．（12分）（2014合肥一模）某电视台举办青年歌手大奖赛，有10名评委打分，已知甲、乙两名选手演唱后的打分情况如茎叶图所示：

（Ⅰ）从统计的角度，你认为甲与乙比较，演唱水平怎样？
（Ⅱ）现场有3名点评嘉宾A、B、C，每位选手可以从中选2位进行指导，若选手选每位点评嘉宾的可能性相等，求甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人的概率．
【分析】（Ⅰ）由茎叶图可得：，，，即可得出结论；
（Ⅱ）求出所有基本事件，其中，甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人包含6个基本事件，即可求出甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图可得：，，，
所以甲演唱水平更高一点，但甲的方差较大，即评委对甲的水平认可存在较大的差异 …（5分）
（Ⅱ）依题意，共有9个基本事件：

其中，甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人包含6个基本事件．
所以，所求概率为． …（12分）
【点评】本题考查概率的计算，考查茎叶图，确定基本事件的个数是关键．

20．（12分）（2012南京二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

【分析】（1）利用以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，可得b的值，利用离心率为，即可求得椭圆C的方程；
（2）设M，N的坐标分别为（x0，y0），（﹣x0，y0），求出直线PM、QN的方程，求得x0，y0的值，代入椭圆方程，整理可得结论．
【解答】（1）解：由题意，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，∴b==．
因为离心率e==，所以=，所以a=2．
所以椭圆C的方程为．
（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为（x0，y0），（﹣x0，y0），则直线PM的方程为y=x+1，①
直线QN的方程为y=x+2． ②…（8分）
设T（x，y），联立①②解得x0=，y0=． …（11分）
因为，所以（）2+（）2=1．
整理得=（2y﹣3）2，所以﹣12y+8=4y2﹣12y+9，即．
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…（14分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

21．（12分）（2016廊坊校级模拟）已知函数f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx．
（1）；令F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；
（2）设r（x）=f（x）+g（）对任意a∈（1，2），总存在x∈[，1]使不等式r（x）＞k（1﹣a2）成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）求出F（x）的导数，解关于导函数的方程，从而求出函数的单调区间即可；
（2）a∈（1，2）时，求出F（x）的导数，判断函数在（，+∞）时，F（x）是增函数，于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式ln+1﹣a+k（a2﹣1）＞0恒成立，再利用导函数研究不等式左边的最小值看是否符合要求，即可求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ax﹣lnx，x＞0
F′（x）=2x﹣a﹣=，
令h（x）=2x2﹣ax﹣1，△=a2+8＞0，
解h（x）=0得：x1=＜0（舍），x2=＞0，
∴F（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；
（2）r（x）=f（x）+g（）=x2﹣ax+ln，
∴r′（x）=，
∵a∈（1，2），∴＜，
∴x∈（，+∞）时，F（x）是增函数，
∴x∈[，1]，F（x）max=F（1）=1﹣a+ln，a∈（1，2），
∵对任意的a∈（1，2），总存在x∈[，1]，使不等式F（x）＞k（1﹣a2）成立，
∴对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a+ln＞k（1﹣a2）成立．
于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式ln+1﹣a+k（a2﹣1）＞0恒成立．
记g（a）=ln+1﹣a+k（a2﹣1），（1＜a＜2）
则g′（a）=（2ka﹣1+2k），
当k=0时，g′（a）=＜0，∴g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）＜g（1）=0，
由于a2﹣1＞0，∴k≤0时不可能使g（a）＞0恒成立，
故必有k＞0，∴g′（a）=（2ka﹣1+2k）．若﹣1＞1，可知g（a）在区间（1，min{2，﹣1}）上递减，
在此区间上，有g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0恒成立矛盾，故﹣1≤1，
这时，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）＞g（1）=0，满足题设要求，
∴，即k≥，
∴实数k的取值范围为[，+∞）．
【点评】本题考查利用导数研究函数单调性，考查函数恒成立问题，考查函数与方程思想、分类讨论思想，综合性强，难度大．

[选修4-1:几何选讲]
22．（10分）（2016白山三模）已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．
（1）求证：∠BAC=∠CAG；
（2）求证：AC2=AEAF．

【分析】（1）连接BC，根据AB为⊙O的直径得到∠ECB与∠ACG互余，根据弦切角得到∠ECB=∠BAC，得到∠BAC与∠ACG互余，再根据∠CAG与∠ACG互余，得到∠BAC=∠CAG；
（2）连接CF，利用弦切角结合（1）的结论，可得∠GCF=∠ECB，再用外角进行等量代换，得到∠AFC=∠ACE，结合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE，从而得到AC是AE、AF的比例中项，从而得到AC2=AEAF．
【解答】证明：（1）连接BC，
∵AB为⊙O的直径…（2分）
∴∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°…（1分）
∵GC与⊙O相切于C，
∴∠ECB=∠BAC
∴∠BAC+∠ACG=90°…（4分）
又∵AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90°
∴∠BAC=∠CAG…（6分）
（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF
∵GE与⊙O相切于C，
∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB
∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°
∴∠AFC=∠ACE…（8分）
∵∠FAC=∠CAE
∴△FAC∽△CAE…（10分）
∴
∴AC2=AEAF…（12分）

【点评】本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．解题时要注意充分利用互余的角和弦切角进行等量代换，方可得到相似三角形．

[选修4-4坐标系与参数方程
23．（2016河南一模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ=﹣，曲线C：（α为参数）．
（Ⅰ）将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；
（Ⅱ）若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．
【分析】（Ⅰ）利用y=ρsinθ，x=ρcosθ，将直线l极坐标方程化成直角坐标方程，先把参数方程化为直角坐标方程，再转化为曲线C的极坐标方程，
（Ⅱ）根据直线和圆的位置关系把圆的关系即可求出m的值．
【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程化为3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，
则由ρcosθ=x，ρsinθ=y，得直线的直角坐标方程为3x+4y+6=0．
由，消去参数α，得（x﹣3）2+（y﹣5）2=25，
即x2+y2﹣6x﹣10y+9=0（*），
由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
代入（*）可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣10ρsinθ+9=0．
（Ⅱ）设直线l'：3x+4y+t=0与曲线C相切．
由（Ⅰ）知曲线C的圆心为（3，5），半径为5，则，
解得t=﹣4或t=﹣54，
所以l'的方程为3x+4y﹣4=0或3x+4y﹣54=0，即或．
又将直线l的方程化为，
所以或．
【点评】本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题

[选修;不等式选讲]
24．（2016廊坊校级模拟）已知函数f（x）=|x﹣a|．
（Ⅰ） 当a=﹣2时，解不等式f（x）≥16﹣|2x﹣1|；
（Ⅱ） 若关于x的不等式f（x）≤1的解集为[0，2]，求证：f（x）+f（x+2）≥2a．
【分析】（Ⅰ） 当a=﹣2时，不等式为|x+2|+|2x﹣1|≥16，分类讨论，去掉绝对值，即可解不等式f（x）≥16﹣|2x﹣1|；
（Ⅱ） 先求出a，f（x）=|x﹣1|，于是只需证明f（x）+f（x+2）≥2，即证|x﹣1|+|x+1|≥2，利用绝对值不等式，即可证明结论．
【解答】（Ⅰ） 解：当a=﹣2时，不等式为|x+2|+|2x﹣1|≥16，
当x≤﹣2时，原不等式可化为﹣x﹣2﹣2x+1≥16，解之得x≤﹣；
当﹣2＜x≤时，原不等式可化为x+2﹣2x+1≥16，解之得x≤﹣13，不满足，舍去；
当x＞时，原不等式可化为x+2+2x﹣1≥16，解之得x≥5；
不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥5}．（5分）
（Ⅱ）证明：f（x）≤1即|x﹣a|≤1，解得a﹣1≤x≤a+1，而f（x）≤1解集是[0，2]，
所以，解得a=1，
从而f（x）=|x﹣1|
于是只需证明f（x）+f（x+2）≥2，
即证|x﹣1|+|x+1|≥2，
因为|x﹣1|+|x+1|=|1﹣x|+|x+1|≥|1﹣x+x+1|=2，
所以|x﹣1|+|x+1|≥2，证毕．（10分）
【点评】本题考查绝对值不等式，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

26 / 26