河北省保定市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版).doc

2015-2016学年河北省保定市高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知椭圆=1的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．

2．雾霾天气对我们身体影响巨大，据统计我市2015年12月份某8天的空气质量指数（AQI）茎叶统计图如图，则该组数据的中位数为（　　）

A．360 B．361 C．362 D．363

3．计算机执行如图的程序，输出的结果是（　　）

A．3，4 B．7，3 C．21，3 D．28，4

4．下列命题中正确的个数是（　　）
①命题“∀x∈（1，+∞），2x＞2”的否定是“∀x∉（1，+∞），2x≤2”
②“a=2”是“|a|=2”的必要不充分条件；
③若命题p为真，命题¬q为真，则命题p∧q为真；
④命题“在△ABC中，若，则”的逆否命题为真命题．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（　　）

A．﹣1 B．4 C． D．

6．已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦的长度为6，则实数a的值为（　　）
A．8 B．11 C．14 D．17

7．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，6），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7

8．若将函数f（x）=x6表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6为实数，则a3等于 （　　）
A．20 B．15 C．﹣15 D．﹣20

9．互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有多少种摆放方法（　　）
A． B．
C． D．

10．将的展开式中x﹣4的系数记为an，则等于（　　）
A． B． C．2015 D．2016

11．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　）
A． B． C． D．

12．已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）满足：（1）焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0）；（2）离心率为，且求得双曲线C的方程为f（x，y）=0．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f（x，y）=0，则下列四个条件中，符合添加的条件共有（　　）
①双曲线C上任意一点P都满足||PF1|﹣|PF2||=6；
②双曲线C的虚轴长为4；
③双曲线C的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合；
④双曲线C的渐进线方程为4x±3y=0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在题后的横线上）
13．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a+b=　　　　　　．

14．已知下表所示数据的回归直线方程为=﹣1.3x+a，则实数a=　　　　　　．
X
2
3
4
5
6
Y
11
13
14
16
16

15．若在区域内任取一点P，则点P落在圆x2+y2=2内的概率为　　　　　　．

16．已知动点P（x，y）在椭圆C： +=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1．且MP⊥MF，则线段|PM|的最小值为　　　　　　．

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设p：函数f（x）=lg（x2﹣4x+a2）的定义域为R；q：a2﹣5a﹣6≥0．如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求实数a的取值范围．

18．已知⊙O：x2+y2=4和⊙C：x2+y2﹣12x+27=0．
（1）判断⊙O和⊙C的位置关系；
（2）过⊙C的圆心C作⊙O的切线l，求切线l的方程．

19．高二数学ICTS竞赛初赛考试后，某校对95分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（1）求这组数据的平均数M；
（2）从所有95分以上的考生成绩中，又放回的抽取4次，记这4次成绩位于（95，105]之间的个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）（分布列结果不用化简）

20．某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中，随机发放了120分问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如2×2下列联表：

做不到科学用眼
能做到科学用眼
合计
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
（1）现按女生是否能做到科学用眼进行分层，从45份女生问卷中抽取了6份问卷，从这6份问卷中再随机抽取3份，并记其中能做到科学用眼的问卷的份数X，试求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由．
附：独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．
独立性检验临界值表：
P（K2≥k0）
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k0
1.323
2.072
2.706
3.840
5.024

21．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．

22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线x=﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点．
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

2015-2016学年河北省保定市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知椭圆=1的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆性质求解．
【解答】解：∵椭圆=1的长轴长为6，
∴2a=6，解得a=3，c==，
∴该椭圆的离心率为e=．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．

2．雾霾天气对我们身体影响巨大，据统计我市2015年12月份某8天的空气质量指数（AQI）茎叶统计图如图，则该组数据的中位数为（　　）

A．360 B．361 C．362 D．363
【考点】众数、中位数、平均数．
【专题】数形结合；综合法；概率与统计．
【分析】先写出这组数据，从而求出数据的中位数即可．
【解答】解：由茎叶图得，该组数据为：
259，300，306，360，362，364，375，430，
故（360+362）÷2=361，
故选：B．
【点评】本题考查了茎叶图的读法，考查数据的中位数问题，是一道基础题．

3．计算机执行如图的程序，输出的结果是（　　）

A．3，4 B．7，3 C．21，3 D．28，4
【考点】顺序结构．
【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．
【分析】模拟计算机执行的程序，按顺序执行，即可得出输出的a与b的值．
【解答】解：模拟计算机执行的程序，如图所示；
a=3，b=4；
a=3+4=7，
b=7﹣4=3，
a=3×7=21；
输出a=21，b=3．
故选：C．
【点评】本题考查了算法的顺序结构的应用问题，是基础题目．

4．下列命题中正确的个数是（　　）
①命题“∀x∈（1，+∞），2x＞2”的否定是“∀x∉（1，+∞），2x≤2”
②“a=2”是“|a|=2”的必要不充分条件；
③若命题p为真，命题¬q为真，则命题p∧q为真；
④命题“在△ABC中，若，则”的逆否命题为真命题．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．
【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断．
②根据充分条件的定义进行判断．
③根据复合命题的真假关系进行判断．
④根据逆否命题的真假关系进行判断．
【解答】解：①命题“∀x∈（1，+∞），2x＞2”的否定是“∃x∈（1，+∞），2x≤2”，故①错误，
②由|a|=2，得a=2或a=﹣2，即“a=2”是“|a|=2”的充分不必要条件；故②错误，
③若命题p为真，命题￢q为真，则q为假命题．，则命题p∧q为假命题；故③错误，
④命题“在△ABC中，若，则0＜或＜A＜π，则原命题为假命题．，则命题的逆否命题为假命题．故④错误，
故正确的为0个，
故选：A
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的判断，复合命题真假平行，以及四种命题的真假判断，涉及的知识点较多，难度不大．

5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（　　）

A．﹣1 B．4 C． D．
【考点】程序框图．
【专题】计算题；对应思想；定义法；算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当t=1时，满足进行循环的条件，S==﹣1，t=2；
当t=2时，满足进行循环的条件，S==，t=3；
当t=3时，满足进行循环的条件，S==，t=4；
当t=4时，满足进行循环的条件，S==4，t=5；
当t=5时，满足进行循环的条件，S==﹣1，t=6；
当t=6时，满足进行循环的条件，S==，t=7；
当t=7时不满足进行循环的条件，
此时S值为，
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

6．已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦的长度为6，则实数a的值为（　　）
A．8 B．11 C．14 D．17
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．
【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2=a，圆心（﹣2，2），半径．
故弦心距d==．
再由弦长公式可得a=2+9，∴a=11；
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．

7．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，6），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】随机变量ξ服从正态分布N（4，6），得到曲线关于x=4对称，根据P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c+2与点c﹣2关于点4对称的，从而做出常数c的值得到结果．
【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（4，6），∴曲线关于x=4对称，
∵P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2），
∴c+2+c﹣2=8，
∴c=4，
故选：A．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．

8．若将函数f（x）=x6表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6为实数，则a3等于 （　　）
A．20 B．15 C．﹣15 D．﹣20
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】把函数f（x）=x6 =[﹣1+（1+x）]6 按照二项式定理展开，结合已知条件，求得a3的值．
【解答】解：∵函数f（x）=x6 =[﹣1+（1+x）]6=1﹣•（1+x）+•（1+x）2﹣•（1+x）3+…+•（1+x）6，
又f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6为实数，
则a3=﹣=﹣20，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

9．互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有多少种摆放方法（　　）
A． B．
C． D．
【考点】计数原理的应用．
【专题】计算题；转化思想；定义法；排列组合．
【分析】由红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则白色菊花不相邻，黄色菊也不相邻，即红菊花两边各一盆白色，黄色菊花，根据分步计数原理可得．
【解答】解：由红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则白色菊花不相邻，黄色菊也不相邻，即红菊花两边各一盆白色，黄色菊花，故有．
故选：D．
【点评】本题主要考查排列组合、两个基本原理的实际应用，注意不相邻问题用插空法，属于中档题．

10．将的展开式中x﹣4的系数记为an，则等于（　　）
A． B． C．2015 D．2016
【考点】二项式定理的应用；数列的求和．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得an，再利用裂项法进行求和，可得要求式子的值．
【解答】解：将的展开式中x﹣4的系数记为an，∴an==，
∴则=+++••+=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2•=，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式展开式的通项公式，用裂项法进行求和，属于中档题．

11．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，
进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，
故选C．
【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．

12．已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）满足：（1）焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0）；（2）离心率为，且求得双曲线C的方程为f（x，y）=0．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f（x，y）=0，则下列四个条件中，符合添加的条件共有（　　）
①双曲线C上任意一点P都满足||PF1|﹣|PF2||=6；
②双曲线C的虚轴长为4；
③双曲线C的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合；
④双曲线C的渐进线方程为4x±3y=0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线性质求解．
【解答】解：对于①，∵||PF1|﹣|PF2||=2a=6
∴a=3
又∵焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0）
∴c=5
∴离心率e=，故①符合条件；
对于②，双曲线C的虚轴长为4，
∴b=2，a==，
∴离心率e=，故②不符合条件；
对于③，双曲线C的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合，
∴a=，e==，故③不符合条件；
对于④，∵近线方程为4x±3y=0
∴=，
又∵c=5，c2=a2+b2，∴a=3
∴离心率e=，故④符合条件．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线方程的性质的合理运用．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在题后的横线上）
13．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a+b=　56　．
【考点】系统抽样方法．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】求出样本间隔即可得到结论．
【解答】解：∵样本容量为5，
∴样本间隔为60÷5=12，
∵编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，
∴a=16，b=40，
∴a+b=56，
故答案为：56
【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔即可，比较基础．

14．已知下表所示数据的回归直线方程为=﹣1.3x+a，则实数a=　19.2　．
X
2
3
4
5
6
Y
11
13
14
16
16
【考点】线性回归方程．
【专题】函数思想；综合法；概率与统计．
【分析】求出代入回归方程即可求出a．
【解答】解： ==4， ==14．
∴14=﹣1.3×4+a，解得a=19.2
故答案为19.2．
【点评】本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．

15．若在区域内任取一点P，则点P落在圆x2+y2=2内的概率为　　．
【考点】几何概型；简单线性规划．
【专题】数形结合；概率与统计；不等式．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应区域的面积，根据几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：不等式组对应的平面区域为三角形OAB，其中A（8，0），B（0，2），对应的面积为S=，
x2+y2=2表示的区域为半径为的圆在三角形OAB内部的部分，对应的面积为，
∴根据几何概型的概率公式，得到所求对应概率P==．
故答案为：．

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式，利用二元一次不等式组表示平面区域求出对应的面积是解决本题的关键．

16．已知动点P（x，y）在椭圆C： +=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1．且MP⊥MF，则线段|PM|的最小值为　　．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，当PF最小时，切线长PM最小，作出图形，即可得到答案．
【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，
∴当PF最小时，切线长PM最小．

由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．
此时
故答案为：
【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查作图与分析问题解决问题的能力，属于中档题．

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设p：函数f（x）=lg（x2﹣4x+a2）的定义域为R；q：a2﹣5a﹣6≥0．如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．
【分析】分别判断出p，q为真时的a的范围，由“p∨q”为真，“p∧q”为假，可知p，q一真一假，通过讨论求出a的范围即可．
【解答】解：若p为真，则x2﹣4x+a2＞0恒成立，∴△=16﹣4a2＜0，解得 a＞2或a＜﹣2；…
若q为真，则a2﹣5a﹣6≥0，解得a≤﹣1，或a≥6． …
由“p∨q”为真，“p∧q”为假，可知p，q一真一假．…
①p真q假时，a＞2或a＜﹣2，且﹣1＜a＜6，∴2＜a＜6，…
②p假q真时，﹣2≤a≤2，a≤﹣1，或a≥6∴﹣2≤a≤﹣1…
综上，2＜a＜6，或﹣2≤a≤﹣1．∴a∈（2，6）∪[﹣2，﹣1]…
【点评】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数的性质，是一道基础题．

18．已知⊙O：x2+y2=4和⊙C：x2+y2﹣12x+27=0．
（1）判断⊙O和⊙C的位置关系；
（2）过⊙C的圆心C作⊙O的切线l，求切线l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，即可判断⊙O和⊙C的位置关系；
（2）过显然，切线斜率存在，设为k，利用点到直线的距离公式求出k，即可求切线l的方程．
【解答】解：（1）由题意知，O（0，0），r1=2； …
∵⊙C：x2+y2﹣12y+27=0，∴x2+（x﹣6）2=9，圆心C（0，6），r2=3…3分
∵|OC|=6＞r1+r2…
∴⊙O与⊙C相离． …
（2）显然，切线斜率存在，设为k．…
∴切线l：y=kx+6，即kx﹣y+6=0．
∴ …
解得k=±2，∴切线方程为…
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

19．高二数学ICTS竞赛初赛考试后，某校对95分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（1）求这组数据的平均数M；
（2）从所有95分以上的考生成绩中，又放回的抽取4次，记这4次成绩位于（95，105]之间的个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）（分布列结果不用化简）

【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】（1）由频率分布直方图，能求出这组数据的平均数．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，X～B（4，），由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（1）由频率分布直方图，得这组数据的平均数：
M=100×0.1+110×0.25+120×0.45+130×0.15+140×0.05=118，…
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4．…
某个考生成绩位于（95，105]的概率=0.01×10=…
因此X～B（4，），…
∴P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
P（X=4）==．
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P

EX=4×=．…
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．

20．某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中，随机发放了120分问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如2×2下列联表：

做不到科学用眼
能做到科学用眼
合计
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
（1）现按女生是否能做到科学用眼进行分层，从45份女生问卷中抽取了6份问卷，从这6份问卷中再随机抽取3份，并记其中能做到科学用眼的问卷的份数X，试求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由．
附：独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．
独立性检验临界值表：
P（K2≥k0）
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k0
1.323
2.072
2.706
3.840
5.024
【考点】独立性检验的应用．
【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】（1）分层从45份女生问卷中抽取了6份问卷，其中“科学用眼”抽6×=2人，“不科学用眼”抽=4人，若从这6份问卷中随机抽取3份，随机变量X=0，1，2．利用“超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；
（2）根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得K2的观测值k，即可得出．
【解答】解：（1）“科学用眼”抽6×=2人，“不科学用眼”抽=4人．…
则随机变量X=0，1，2，…
∴=； =； =…
分布列为
X
0
1
2
P

…
E（X）=0×=1． …
（2）K2=≈3，.030 …
由表可知2.706＜3.030＜3.840；
∴P=0.10． …
【点评】本题考查了组合数的计算公式、古典概率计算公式、“超几何分布”分布列及其数学期望公式、“独立性检验的基本思想的应用”计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题．
【分析】（1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，从而x1+x2=，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得．
（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0求得A（1，﹣2），B（4，4）．再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．
【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2（x﹣），与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，
∴x1+x2=
由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9
∴p=4，∴抛物线方程是y2=8x．
（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0得：x2﹣5x+4=0，
∴x1=1，x2=4，
y1=﹣2，y2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．
设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2）
又[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．

22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线x=﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点．
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设椭圆标准方程为（a＞b＞0），由已知得b=2，e==，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）①先求出|PQ|=6，设直线AB的方程为，与联立，得x2+mx+m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式，结合已知能求出四边形APBQ面积的最大值．
②设PA斜率为k，则PB斜率为﹣k．分别设出PA的直线方程和PB的直线方程，分别与椭圆联立，能求出直线AB的斜率是为定值．
【解答】解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆标准方程为（a＞b＞0），
∵椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．
焦点为，
∴b=2…e==，a2+b2=c2，
∴解得a2=16，b2=12
∴椭圆C的标准方程．…
（2）①直线 x=﹣2与椭圆交点P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|=6，…
设A （x1，y1 ），B（ x2，y2），直线AB的方程为，
与联立，得 x2+mx+m2﹣12=0，
由△=m2﹣4（m2﹣12）＞0，得﹣4＜m＜4，
由韦达定理得x1+x2=﹣m，，…
由A，B两点位于直线x=﹣2两侧，得（x1+2）（x2+2）＜0，
即x1x2+2（x1+x2）+4＜0∴m2﹣2m﹣8＜0
解得﹣2＜m＜4，…
∴S=•|PQ|•|x1﹣x2|
=•|PQ|•
=3，
∴当m=0时，S最大值为．…
②当∠APQ=∠BPQ时直线PA，PB斜率之和为0．
设PA斜率为k，则PB斜率为﹣k．
当P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）时，
PA的直线方程为y﹣3=k（x+2）…
与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0
∴；
同理
∴…
y1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]
直线AB斜率为…
当P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3）时，同理可得直线AB斜率为．…
【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式的合理运用．

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