高中数学--正弦定理和余弦定理.doc

正弦定理和余弦定理
(一)复习指导
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
(二)基础知识
1. 三角形中的有关公式
(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：；
；；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
(4)面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.如中，若，判断的形状（答：直角三角形）。
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
2、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

(三)解题方法指导
例1．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则其最大角为____．
例2．在△ABC中，有acosA=bcosB，判断△ABC的形状．

例3．在△ABC中，∠A=60°，面积为，周长为20，求三条边的长．

例4．在一条河的对岸有两个目标物A，B，但不能到达．在岸边选取相距里的C，D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，且A，B，C，D在同一个平面内，求A，B之间的距离．

例题解析
例1解：因为三条边中c边最大，则角C最大，根据余弦定理，，所以
例2解：由正弦定理，a=2RsinA，b＝2RsinB，代入有2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A=π－2B．即A=B或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
例3解：因为，所以bc=40，又a＋b＋c=20，a2=b2＋c2－2bccosA，解得三条边为5，7，8．
例4分析：在很多实际测量问题中，都离不开解三角形，根据相关条件画一张比较清晰的直观图，可以帮我们找到解题的思路．
要求AB，可以把AB放到一个三角形中，看看这个三角形中还有哪些条件，然后可以根据正余弦定理求值．
解：中△ACD中，∠ACD=120°，∠ADC=30°
所以∠DAC=30°，所以｜AC｜=｜CD｜=2，
在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB＝75°，
所以∠CBD=60°，由正弦定理
所以
在△ABC中，∠BCA=75°，
根据余弦定理，｜AB｜2=｜AC｜2＋｜BC｜2－2｜AC｜·｜BC｜·cos75°，求得
｜AB｜2=20，