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中考动点问题专项训练(含详细解析)
中考动点问题专项训练（含详细解析）

一、解答题
1. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6 cm，AD=8 cm，点 P 从点 A 出发沿 AD 向点 D 匀速运动，速度是 1 cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发沿 CB 方向，在射线 CB 上匀速运动，速度是 2 cm/s，过点 P 作 PE∥AC 交 DC 于点 E，连接 PQ，QE，PQ 交 AC 于点 F．设运动时间为 ts0<t<8，解答下列问题：

（1）当 t 为何值时，四边形 PFCE 是平行四边形；
（2）设 △PQE 的面积为 scm2，求 s 与 t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 t，使得 △PQE 的面积为矩形 ABCD 面积的 932；
（4）是否存在某一时刻 t，使得点 E 在线段 PQ 的垂直平分线上．

2. 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3 cm，BC=4 cm，点 P 从点 B 出发，沿 BC 向点 C 匀速运动，速度为 1 cm/s；过点 P 作 PD∥AB，交 AC 于点 D，同时，点 Q 从点 A 出发，沿 AB 向点 B 匀速运动，速度为 2 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接 PQ．设运动时间为 ts0<t<2.5，解答下列问题：

（1）当 t 为何值时，四边形 ADPQ 为平行四边形?
（2）设四边形 ADPQ 的面积为 ycm2，试确定 y 与 t 的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 S四边形ADPQ:S△PQB=13:2?若存在，请说明理由，若存在，求出 t 的值，并求出此时 PQ 的距离．

3. 已知：Rt△EFP 和矩形 ABCD 如图①摆放（点 P 与点 B 重合），点 F，BP，C 在同一条直线上，AB=EF=6 cm，BC=FP=8 cm，∠EFP=90∘．如图②，△EFP 从图①的位置出发，沿 BC 方向匀速运动，速度为 1 cm/s；EP 与 AB 交于点 G．同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 1 cm/s．过 Q 作 QM⊥BD，垂足为 H，交 AD 于 M，连接 AF，PQ，当点 Q 停止运动时，△EFP 也停止运动．设运动时间为 ts0<t<6，解答下列问题：

（1）当 t 为何值时，PQ∥BD?
（2）设五边形 AFPQM 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 S五边形AFPQM:S矩形ABCD=9:8?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点 M 在 PG 的垂直平分线上?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．

4. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm，点 P 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 cm 的速度向点 B 匀速运动．与此同时，点 M 从点 B 出发，在线段 BA 上以每秒 1 cm 的速度向点 A 匀速运动．过点 P 作 PN⊥BC，交 AC 于点 N，连接 MP，MN．当点 P 到达 BC 中点时，点 P 与 M 同时停止运动．设运动时间为 t 秒（t>0）．

（1）当 t 为何值时，PM⊥AB．
（2）设 △PMN 的面积为 ycm2，求出 y 与 x 之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻 t，使 S△PMN:S△ABC=1:5?若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由．

5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6 cm，AD=8 cm，点 P 从点 A 出发沿 AD 向点 D 匀速运动，速度是 1 cm/s，过点 P 作 PE∥AC 交 DC 于点 E，同时，点 Q 从点 C 出发沿 CB 方向，在射线 CB 上匀速运动，速度是 2 cm/s，连接 PQ，QE，PQ 与 AC 交于点 F，设运动时间为 ts0<t<8．

（1）当 t 为何值时，四边形 PFCE 是平行四边形；
（2）设 △PQE 的面积为 scm2，求 s 与 t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 t，使得 △PQE 的面积为矩形 ABCD 面积的 932；
（4）是否存在某一时刻 t，使得点 E 在线段 PQ 的垂直平分线上．

6. 已知：如图①，在 Rt△ACB 中，∠C=90∘，AC=4 cm，BC=3 cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1 cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2 cm/s；连接 PQ．若设运动的时间为 ts（0<t<2），解答下列问题：

（1）当 t 为何值时，PQ∥BC?
（2）设 △AQP 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使线段 PQ 恰好把 Rt△ACB 的周长和面积同时平分?若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接 PC，并把 △PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPʹC，那么是否存在某一时刻，使四边形 PQPʹC 为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

7. 已知：如图，△ABC 是边长为 3 cm 的等边三角形，动点 P，Q 同时从 A，B 两点出发，分别沿 AB，BC 方向匀速移动，它们的速度都是 1 cm/s，当点 P 到达点 B 时，P，Q 两点停止运动，设点 P 的运动时间 t（s），解答下列各问题：

（1）经过 25 秒时，求 △PBQ 的面积．
（2）当 t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?
（3）是否存在某一时刻 t，使四边形 APQC 的面积是 △ABC 面积的三分之二?如果存在，求出 t 的值；不存在请说明理由．

8. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=3 cm，CD=1 cm，∠B=45∘，点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 3 cm/s；点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 1 cm/s，连接并延长 QP 交 BA 的延长线于点 M，过 M 作 MN⊥BC，垂足是 N，设运动时间为 t s0<t<1．

（1）当 t 为何值时，四边形 AQDM 是平行四边形?
（2）证明：在 P，Q 运动的过程中，总有 CQ=AM；
（3）是否存在某一时刻 t，使四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半?若存在，求出相应的 t 值；若不存在，说明理由．

9. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，DC=6 cm，AD=4 cm，BC=20 cm，∠C=60∘．点 P 从点 A 出发沿折线 AD→DC 方向向点 C 匀速运动，速度为 1 cm/s；点 Q 从点 B 出发，沿 BC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2 cm/s，P，Q 同时出发，且其中任意一点到达终点，另一点也随之停止运动，设点 P，Q 运动的时间是 ts．

（1）当点 P 在 AD 上运动时，如图（1），DE⊥CD，是否存在某一时刻 t，使四边形 PQED 是平行四边形?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；
（2）当点 P 在 DC 上运动时，如图（2），设 △PQC 的面积为 S，试求出 S 与 t 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 t，使 △PQC 的面积是梯形 ABCD 的面积的 29?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）的条件下，设 PQ 的长为 x cm，试确定 S 与 x 之间的关系式．

10. 已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB=6 cm，BC=12 cm，点 P 从点 A 出发，沿边 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 出发沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动．如果 P 、 Q 两点在分别到达 B 、 C 两点后就停止移动，回答下列问题：

（1）运动开始后多少时间，△PBQ 的面积等于 8 cm2 ?
（2）设运动开始后第 t s 时，五边形 APQCD 的面积为 S cm2，写出 S 与 t 之间的函数表达式，并指出自变量 t 的取值范围；
（3）t 为何值时，S 最小?求出 S 的最小值．

11. 已知：如图 ①，在平行四边形 ABCD 中，AB=3 cm，BC=5 cm．AC⊥AB．△ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到 △PNM，速度为 1 cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动，速度为 1 cm/s，当 △PNM 停止平移时，点 Q 也停止运动．如图 ②，设运动时间为 ts0<t<4．
解答下列问题：

（1）当 t 为何值时，PQ∥MN ?
（2）设 △QMC 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 t，使 S△QMC:S四边形ABQP=1:4 ?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻 t，使 PQ⊥MQ ?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．

12. 在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BCD 是直角，AB=AD=10 cm，BC=8 cm，点 P 从点 A 出发，以每秒 3 cm 的速度沿 A→B→C→D 方向运动，点 Q 从点 D 出发以每秒 2 cm 的速度沿线段 DC 方向向点 C 运动，已知动点 P，Q 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，P，Q 运动停止，设运动时间为 t s．

（1）求 CD 长；
（2）当四边形 PBQD 为平行四边形时，求 t 的值；
（3）在点 P，点 Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 △BPQ 的面积为 20 平方厘米?若存在，请求出所有满足条件的 t 的值；若不存在，请说明理由．

答案
第一部分
1. （1） 当 PQ∥CD 时，四边形 PFCE 是平行四边形，
此时，四边形 PQCD 是平行四边形，
则 PD=CQ，即 8-t=2t，解得，t=83，
即当 t=83 时，四边形 PFCE 是平行四边形．
    （2） ∵ PE∥AC，
∴ ∠DPE=∠DAC，∠DEP=∠DCA，
∴ △DPE∽△DAC，
∴ DPDA=DEDC=PEAC，即 8-t8=DE6=PE10，
解得，DE=6-34t，PE=10-54t，
则 CE=6-DE=34t，
∴s=S四边形PQCD-S△PDE-S△ECQ=12×8-t+2t×6-12×8-t×6-34t-12×2t×34t=-98t2+9t,
即 s 与 t 之间的函数关系式为：s=-98t2+9t．
    （3） 存在．
矩形 ABCD 面积为：6×8=48cm2，
由题意得，-98t2+9t=48×932，解得，t=2 或 6．
∴ 当 t=2 或 t=6 时，△PQE 的面积为矩形 ABCD 面积的 932．
    （4） 存在这样的 t 使得点 E 在线段 PQ 的垂直平分线上．
当点 E 在线段 PQ 的垂直平分线上时，EP=EQ，
由勾股定理得，2t2+34t2=8-t2+6-34t2，
解得，t1=-25-5736（舍去），t2=-25+5736，
答：t=-25+5736 时，点 E 在线段 PQ 的垂直平分线上．
2. （1） ∵∠C=90∘，AC=3 cm，BC=4 cm，
∴AB=AC2+BC2=5cm，
∵PD∥AB，
∴ 当 PQ∥AC 时，四边形 ADPQ 是平行四边形，
∴QBAB=BPBC，即 5-2t5=t4，
解得，t=2013，
答：当 t=2013 时，四边形 ADPQ 为平行四边形．
    （2） 过点 P 作 PE⊥AB，垂足为 E，

∵∠PEB=∠C=90∘，∠B=∠B，
∴△BPE∽△BAC，
∴PEAC=BPBA，即 PE3=t5，
解得，PE=35tcm，
∵PD∥AB，
∴∠DPC=∠B，∠C=∠C，
∴△CPD∽△CBA，
∴PDAB=CPCB，即 PD5=4-t4，
解得，PD=20-5t4cm，
∴y=S四边形ADPQ=12×PD+AQ×PE=12×20-5t4+2t×35t=940t2+32t.
    （3） 存在，若 S四边形ADPQ:S△PQB=13:2，则 y=132S△PQB，
∵S△PQB=12×QB×PE=-35t2+32t，
∴940t2+32t=132-35t2+32t，
解得，t1=0（舍去），t2=2，
则 t 为 2 时，S四边形ADPQA:S△PQB=13:2，
当 t=2 时，BP=2 cm，BQ=5-4=1cm，
作 QH⊥BC 于 H，

则 QH=35 cm，BH=45 cm，
∴PH=65 cm，
则 PQ=PH2+QH2=355cm．
3. （1） 若 PQ∥BD，
则 △CPQ∽△CBD．
所以 CPCB=CQCD，
即 8-t8=t6，
解得：t=247．
    （2） 由 ∠MQD+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90∘ 可得，∠MQD=∠CBD，
又 ∠MDQ=∠C=90∘，
所以 △MDQ∽△DCB，
所以 MDCD=DQBC，
即 MD6=6-t8，
所以 MD=346-t．
y=12AB×BF+AB×BC-12PC×CQ-12MD×DQ=12×6×8-t+6×8-128-t×t-12×346-t×6-t=18t2-52t+11720<t<6.
    （3） 假使存在 t，使 S五边形AFPQM:S矩形ABCD=9:8，
则 y=89S矩形ABCD=54，即 18t2-52t+1172=54，
整理得 t2-20t+36=0，
解得 t1=2，t2=18>6（舍去）．
答：存在 t=2，使得 S五边形AFPQM:S矩形ABCD=9:8．
    （4） 存在．
易证 △PBG∽△PFE，
所以 BPBG=FPFE，即 tBG=86，
所以 BG=34t，则 AG=6-34t，
AM=AD-MD=8-346-t=34t+72．
作 MN⊥BC 于 N 点，

则四边形 MNCD 为矩形，
所以 MN=CD=6，CN=MD=346-t，
故：PN=8-t-346-t=72-t4，
若 M 在 PG 的垂直平分线上，
则 GM=PM，
所以 GM2=PM2，
所以 AG2+AM2=PN2+MN2，
即：6-34t2+34t+722=72-t42+62，
整理得：17t2-32t=0，
解得 t1=3217，t2=0（舍去）．
综上，存在使点 M 在 PG 的垂直平分线上的 t，此时 t=3217．
4. （1） 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，

∵ AB=AC，∠ADB=90∘，
∴ BD=CD=6，
∴ AD=AB2-BD2=8，
∵ MP⊥AB，
∴ ∠BMP=∠ADB=90∘，
∵ ∠B=∠B，
∴ △BMP∽△BDA，
∴ BMBD=PBAB，
∴ t6=12-t10，
解得 t=154，
∴ 当 t 为 154 时，PM⊥AB．
    （2） 过点 M 作 ME⊥NP 于点 E，交 AD 于点 F．如图所示，

∵ BC⊥NP，
∴ ∠ADC=∠NPC=90∘，
∵ ∠C=∠C，
∴ △CPN∽△CDA，
∴ PNAD=CPCD，
∴ PN8=t6，
∴ PN=43t，
由 △AMF∽△ABD，可得 MFBD=AMAB，即 MF6=10-t10，
∴ MF=3510-t，
∵ ∠BPN=∠ADP=∠MEP=90∘，
∴ 四边形 DPEF 是矩形，
∴ EF=DP=6-t，
∴ ME=MF+EF=3510-t+6-t=12-85t，
∴ S△MPN=12PN⋅ME=12⋅43t⋅12-85t=-1615t2+8t （ 0<t≤6 ）．
    （3） 存在．
由题意：-1615t2+8t=15×12×12×8，解得 t=32或6．
∴ t=32 秒或6 秒 时，S△PMN:S△ABC=1:5．
5. （1） PD=8-t cm，CQ=2t cm，
根据题意得：PD=CQ 时，四边形 PFCE 是平行四边形，
即 8-t=2t，
解得：t=83；
    （2） S四边形PDCQ=12PD+CQ⋅CD=12×8-t+2t×6=3t+24，
因为 PE∥AC，
所以 △DPE∽△DAC，
所以 PDAD=DEDC，
所以 DE=-34t+6，
则 EC=DC-DE=6--34t+6=34t，
则 S△PDE=12PD⋅DE=128-t⋅-34t+6，
S△CQE=12CQ⋅EC=12×2t⋅34t=34t2，
则 s=S四边形PDCQ-S△PDE-S△CQE=3t+24-128-t⋅-34t+6-34t2，
即 s=-98t2+9t；
    （3） S矩形ABCD=6×8=48，
由题意得：-98t2+9t=932×48，
解得：t=2 或 t=6；
    （4） 在 Rt△PDE 中，PE2=PD2+DE2=8-t2+-34t+62，
在 Rt△ECQ 中，QE2=QC2+EC2=2t2+34t2，
当点 E 在线段 PQ 的垂直平分线上时，PE=QE，即 PE2=QE2，
则 8-t2+-34t+62=2t2+34t2，
解得：t=-25+5736 或 t=-25-5736（舍去）．
则 t=-25+5736．
6. （1） 在 Rt△ABC 中，AB=BC2+AC2=5．
由题意知：AP=5-t，AQ=2t．
若 PQ∥BC，则 △APQ∽△ABC．
∴AQAC=APAB．
∴2t4=5-t5．
∴t=107．
    （2） 过点 P 作 PH⊥AC 于 H．

∵△APH∽△ABC，
∴PHBC=APAB．
∴PH3=5-t5．
∴PH=3-35t，
∴y=12×AQ×PH=12×2t×3-35t=-35t2+3t.
    （3） 不存在某一时刻，使线段 PQ 恰好把 Rt△ACB 的周长和面积同时平分．
若 PQ 把 △ABC 周长平分，则 AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴5-t+2t=t+3+4-2t．
解得：t=1．
若 PQ 把 △ABC 面积平分，则 SΔAPQ=12SΔABC．
∴-35t2+3t=3．
∵t=1 时方程不成立，
∴ 不存在这一时刻 t，使线段 PQ 把 Rt△ACB 的周长和面积同时平分．
    （4） 存在这样的时刻，使得四边形 PQPʹC 为菱形．
过点 P 作 PM⊥AC 于 M，PN⊥BC 于 N．

若四边形 PQPʹC 是菱形，那么 PQ=PC．
∵PM⊥AC 于 M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC 于 N，
∴PN∥AC．
∴△PBN∽△ABC．
∴PNAC=BPAB．
∴PN4=t5．
∴PN=4t5．
∴QM=CM=4t5．
∴45t+45t+2t=4，
解得 t=109．
∴ 当 t=109 时，四边形 PQPʹC 是菱形，
此时 PM=3-35t=73，CM=45t=89．
在 Rt△PMC 中，由勾股定理，得
PC=PM2+CM2=499+6481=5059.
∴ 菱形 PQPʹC 边长为 5059 cm．
7. （1） 过 Q 点作 QD⊥AB，垂足为 D．

由题意可知 AP=BQ=25．
∵△ABC 为等边三角形，且边长为 3，
∴DQ=153，BP=135．
∴S△PBQ=13503（cm2）．
    （2） ①当 ∠PQB=90∘ 时，
由题意可知 AP=BQ，BP=2BQ．
∴BP=2AP．
∵AB=3，
∴AP=BQ=1，即 t=1．
②当 ∠QPB=90∘ 时，
此时 BQ=2BP=AP．
∵AB=3，
∴AP=2，即 t=2．
∴ 当 t1=1，t2=2 时，△PBQ 是直角三角形．
    （3） 不存在．
由题意可知，BP=3-t，BQ=t．
∴ S△PBQ=12×3-t×32t=343-tt．
∵S△ABC=943，四边形 APQC 的面积是 △ABC 面积的三分之二，
∴S△PBQ=13×943=343．
即 343-tt=343．
化简得 t2-3t+3=0．
Δ=9-12=-3<0．
此方程无解．
所以不存在某一时刻 t，使四边形 APQC 的面积是 △ABC 面积的三分之二．
8. （1） 如图 1，连接 AQ，MD，

∵ 四边形 AQDM 是平行四边形，
∴AP=PD，
∴3t=3-3t，
解得 t=12，
∴ 当 t=12 时，四边形 AQDM 是平行四边形．
    （2） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MAD=∠CDA，∠BMQ=∠DQP，
∴△AMP∽△DQP，
∴AMDQ=APPD，
∴AM1-t=3t3-3t，
∴AM=t，
∴AM=CQ，
即在 P，Q 运动的过程中，总有 CQ=AM．
    （3） 如图 2，过点 A 作 AW⊥BC 于 W，

∵MN⊥BC，
∴∠MNB=90∘，
∵∠B=45∘，
∴∠BMN=45∘=∠B，
∴BN=MN，
∵BM=AB+AM=1+t，
∴ 在 Rt△BMN 中，由勾股定理得：BN=MN=221+t，
∵AW⊥BC，∠B=45∘，
∴△ABW 为等腰直角三角形，
∵AB=1，
∴AW=22．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵MN⊥BC，
∴MN⊥AD，
设四边形 ANPM 的面积为 y，
∴y=12×AP×MN=12×3t×221+t=324t2+324t0<t<1.
假设存在某一时刻 t，四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半，
∴324t2+324t=12×3×22，
整理得：t2+t-1=0，
解得：t1=-1+52，t2=-1-52（舍），
∴ 当 t=-1+52 时，四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半．
9. （1） 不存在，理由如下：
因为 DE⊥CD，∠C=60∘，DC=6 cm，
所以 ∠CED=30∘，
所以 CE=2CD=12，
设点 P，Q 运动的时间是 ts，PD=4-t，QE=BC-CE-BQ=20-12-2t=8-2t，使四边形 PQED 是平行四边形，
有 PD=QE，
所以 4-t=8-2t，
解得：t=2，此时点 P 与点 D 重合，不能构成平行四边形．
    （2） 如图②，
由题意可求：PC=10-t，QC=20-2t，
过点 P 作 PM⊥BC，

因为 ∠C=60∘，
所以 PMPC=sin60∘=32，
可求 PM=3210-t，
所以 S=12×20-2t×3210-t=32t2-103t+503．
    （3） 如图3，
过点 D 作 DN⊥BC，

由 DC=6，∠DCB=60∘，可求：DN=33，
所以梯形 ABCD 的面积为：4+20×33÷2=363，
当 t≤4 时，QC=20-2t，
此时，△PQC 的面积为：20-2t×33÷2，
由题意得：20-2t×33÷2=363×29，
解得：t=223（舍去）；
当 4<t≤10 时，
由（2）知，△PQC 的面积为：32t2-103t+503，
由题意：32t2-103t+503=363×29，
解得：t=6 或 t=14（舍去），
所以当 t=6 时，△PQC 的面积是梯形 ABCD 的面积的 29．
    （4） 如图②，
由（2）知：PC=10-t，QC=20-2t，
过点 P 作 PM⊥BC，

因为 ∠C=60∘，
所以 PMPC=sin60∘=32，PM=3210-t，
可求：CM=1210-t，QM=QC-CM=3210-t，
由勾股定理可求：PQ=310-t，
当 PQ=x 时，310-t=x，解得：t=10-33x，
所以 S=12×20-2t×3210-t=36x2．
10. （1） 运动开始后第 x s 时，△PBQ 的面积等于 8 cm2．根据题意，得
12⋅2x⋅6-x=8,
即
x2-6x+8=0.
解得
x1=2,x2=4.
所以 2 s 或 4 s 时，△PBQ 的面积等于 8 cm2．
      （2） 运动开始后第 t s 时，
S=S矩形ABCD-S△PBQ=12×6-12×6-t×2t=t2-6t+720≤t≤6.

      （3） S=t2-6t+72=t-32+63．
所以当 t=3 时，S 最小，S 的最小值是 63 cm2．
11. （1） 在 Rt△ABC 中，
由勾股定理得：AC=BC2-AB2=4．
由平移性质可得 MN∥AB．
因为 PQ∥MN，
所以 PQ∥AB．
所以 CPCA=CQCB，
即 4-t4=t5．
解得 t=209．
      （2）
如图，作 PD⊥BC 于点 D，AE⊥BC 于点 E．
由 S△ABC=12AB×AC=12AE×BC，
可得 AE=125．
则由勾股定理易求 CE=165．
因为 PD⊥BC，AE⊥BC，
所以 AE∥PD．
所以 △CPD∽△CAE．
所以 CPCA=CDCE=PDAE．
即 4-t4=CD165=PD125．
求得：PD=12-3t5，CD=16-4t5．
因为 PM∥BC，
所以 M 到 BC 的距离 h=PD=12-3t5．
所以，△QCM 是面积 y=12×t×12-3t5=-310t2+65t．
      （3） 因为 PM∥BC，
所以 S△PQC=S△MQC．
若 S△QMC:S四边形ABQP=1:4，
则 S△QMC:S△ABC=1:5．
即：-310t2+65t=15×6，
整理得：t2-4t+4=0．
解得 t=2．
答：当 t=2 时，S△QMC:S四边形ABQP=1:4．
      （4） 若 PQ⊥MQ，则 ∠MQP=∠PDQ=90∘．
因为 MP∥BC，
所以 ∠MPQ=∠PQD．
所以 △MQP∽△PDQ．
所以 PMPQ=PQDQ．
所以 PQ2=PM×DQ，
即：PD2+DQ2=PM×DQ．
∵CD=16-4t5，
所以 DQ=CD-CQ=16-9t5．
故 12-3t52+16-9t52=5×16-9t5．
整理得 2t2-3t=0．
解得 t1=0（舍），t2=32．
答：当 t=32 时，PQ⊥MQ．
12. （1） 如图 1，

过 A 点作 AM⊥CD 于点 M，则四边形 AMCB 是矩形，
∴ AM=BC=8 cm，MC=AB=10 cm，
∵ AD=10 cm，
∴ DM=AD2-AM2=102-82=6 cm，
∴ CD=DM+CM=6+10=16 cm．
      （2） 当四边形 PBQD 为平行四边形时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 DC 上，如图 2，

由题意得：BP=10-3tcm，DQ=2t cm，
∴ 10-3t=2t，解得 t=2 s．
      （3） ①当点 P 在线段 AB 上时，即 0≤t≤103 s 时，
如图 3，

S△BPQ=12BP⋅BC=1210-3t×8=20 cm2，
解得 t=53 s．
②当点 P 在线段 BC 时，即 103 s<t≤6 s 时，
如图 4，

BP=3t-10cm，CQ=16-2tcm，
∴ S△BPQ=12BP⋅CQ=123t-10×16-2t=20 cm2，
化简得：3t2-34t+100=0，
∵ Δ=-342-4×3×100=-44<0，
∴ 方程无实数解；
③当点 P 在线段 CD 上时，

若点 P 在 点 Q 的右侧，即 6 s<t<345 s 时，
则有 PQ=34-5tcm，S△BPQ=34-5t×8=20 cm2，
解得 t=295 s<6 s（舍去），
若点 P 和点 Q 重合，则面积为 0，不合题意．
若点 P 在 Q 的左侧，即 345 s<t≤8 s 时，
则有 PQ=5t-34cm，
S△BPQ=125t-34×8=20 cm2，
解得 t=395 s，
综上，满足条件的 t 的值存在，分别为 53 s 或 395 s．

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