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数学练习三

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知
A．1+2i B ．1-2i C．2+i D．2- i
2．原点与极点重合，轴正半轴与极轴重合，则直角坐标为的点的极坐标是
A． B． C． D．
3．在中，“”是“”的
A．充要条件 B．必要非充分条件
C．充分非必要条件 D．既非充分又非必要条件
4．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为
A．0 B． C． D．
5．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为
A．　　 B．　　 C．　　 D．

6．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为3时，输出的结果恰好是，则 ？处的关系式是
A． B．
C． D．

7．如果直线y=kx+1与圆交于M、N两点，且M、N关于直线 对称，则不等式组表示的平面区域的面积是
A．1 B．2 C． D．
8．在边长为1的正方体中，分别为的中点，点从出发，沿折线匀速运动，点从出发，沿折线匀速运动，且点与点运动的速度相等，记四点为顶点的三棱锥的体积为，点运动的路程为，在时，
与的图像应为

A B

C D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．代数式的展开式中的系数为 ．
10．样本容量为200的频率分布直方图如右图所示，根据样本频率分布直方图估计, 样本数据落在内的频数为 ，数据落在内的概率约为 .

11．已知分别是△的三个内角,,所对的边，若=2,=, ，则 = ．
12．如图，CE为圆O的直径，PE为圆O的切线，E为切点，PBA为圆O的割线，交CE于D点，CD=2，AD=3，BD=4，则圆O的半径为 ；PB= .
13．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与轴相交于点，若△（为坐标原点）的面积为，则抛物线方程为 ；
14． 如果对于函数定义域内任意的两个自变量的值，当时,都有，且存在两个不相等的自变量值,使得,就称为定义域上的不严格的增函数。
则 ① ②
③ ④
四个函数中为不严格增函数的是 ，
若已知函数的定义域、值域分别为、，,, 且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的有 个．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
设．
（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值．

16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ），在线段上找一点，使得二面角的余弦值为，求的长．
B
A
D
C
F
E
（第16题）

17．（本小题满分13分）
某射击游戏规定：每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标,方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第次射击时击中目标得分，否则该次射击得分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为，且其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求甲恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）设该选手甲停止射击时的得分总和为，求随机变量的分布列及数学期望．

18．（本小题满分13分）
函数．
(Ⅰ)试求的单调区间；
(Ⅱ)求证：不等式对于恒成立.

19．（本小题共 14 分）
已知椭圆的离心率为，原点到过两点的直线的距离是，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值．
20．（本小题共 13 分）
设为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，是集合元素的个数，而是集合元素的个数（），规定，例如：对于排列3，1，2，
（Ⅰ）对于排列4，2，5，1，3，求
（Ⅱ）对于项数为2n-1 的一个排列，若要求2n-1为该排列的中间项， 试求的最大值， 并写出相应得一个排列
（Ⅲ）证明

答案
一．CBAB CDDC
二．9． 0 ；10．64， 0.4 ；11．；12． 4，20；13． 或；14．①③，10．
15．（本小题共13分）
设．
（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值．
解：（Ⅰ） ………3分

． ………6分
故的最大值为；
最小正周期． ………8分
（Ⅱ）由得，故．
又由得，故，解得．………12分
从而． ………13分
B
A
D
C
F
E
（第16题）
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ），在线段上找一点，使得二面角的余弦值为，求的长．
（1）设,连接，易知是的中点，
∵是中点．∴在△中，∥，………2分
∵平面，平面，
∴ ∥平面． …………4分
（2）平面平面 ,,
平面平面平面,又平面,
又，,平面,……6分
G
B
A
D
C
F
E
P
在中，为的中点，
,
平面，
又平面，
平面平面．………8分
(3)如图建立坐标系，设AE=1，则B（2，0，0），D（0，1，2），C（2,0,2），F（1,0,1），设P（0，a ，0），，，
设⊥面BDF，且，则
由⊥得
由⊥得
令得，从而 ………10分
设⊥面BDP，且，则
由⊥得
由⊥得
令得，从而
，解得或（舍）
即P在E处 ………14分
17．（本小题满分12分）
某射击游戏规定：每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标,方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第次射击时击中目标得分，否则该次射击得分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为，且其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求甲恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）设该选手甲停止射击时的得分总和为，求随机变量的分布列及数学期望．
解：（Ⅰ）设选手甲第次击中目标的事件为，
则
依题可知：与相互独立
所求为：……6分
（Ⅱ）可能取的值为0，3，5，6．　……6分
分布列为：

0
3
5
6

0．2
0．16
0．128
0．512

………10分

．……12分

18．（本小题满分14分）
函数．
(Ⅰ)试求的单调区间；
(Ⅱ)求证：不等式对于恒成立.
解：（1）
当时，只有单调增区间为
当时，在上为减函数，在上为增函数；………6分
（2）由于，有，变形不等式为
因此只需证在恒成立 ………8分
作函数（），则
在（1）中取，有，由（1）知在（1,2）上为增函数，
从而有，说明在（1,2）上单调增
于是，即
所以。………14分
19．（本小题共 14 分）
已知椭圆的离心率为，原点到过两点的直线的距离是，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值．
解：（Ⅰ）方法1：由已知得直线的方程为：，
即 ，
根据点到直线的距离公式得：
即： ①
又 ②
③
由①②③联立得：
∴椭圆的方程为：．………5分
方法2：∵是直角三角形，为斜边，
故，
即，
以下同解法1．
（Ⅱ）设，的中点为，
由得：
④
则，

=
=． ………10分
∴

∴
而又在以为圆心的圆上，故
，
∴，
即
解得：，经检验满足④，
∴的值为． ………14分
20．（本小题共 13 分）
设为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，是集合元素的个数，而是集合元素的个数（），规定，例如：对于排列3，1，2，
（1）对于排列4，2，5，1，3，求
（2）对于项数为2n-1 的一个排列，若要求2n-1为该排列的中间项， 试求的最大值， 并写出相应得一个排列
（3）证明
解：（1）由题意可知， 是指排列中第K项后小于（该项）的个数。 是指排列中第K项前大于（该项）的个数。所以 对于排列4，2，5，1，3， ，=6。
………3分
（2） 此排列为

所以 的最大值为。 ………8分
（3）证明 考虑集合的元素个数。一方面，固定先对求和，然后再对求和，得；另一方面，固定先对求和，然后再对求和，又得到，所以得。 ………13分