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圆锥曲线与方程综合典型测试题
一、选择题（本题每小题5分，共50分）
1．已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知A(－1,0)，B(1,0)，点C()满足：，则 （ ）
A．6 B．4 C．2 D．不能确定
3．抛物线与直线交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为F，则等于（ ）A．7 B． C．6 D．5
4．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为，若，则双曲线的离心率为 （ ）
A．　 B．　　　 C．　　 D．
5．若椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．直线l是双曲线的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 （ ）
A．2 B． C． D．
7．直线与椭圆相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得△的面积等于3，这样的点P共有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．曲线的长度是 （ ）
A． B． C． D．
9．方程所表示的曲线是 （ ）
A． 双曲线 B． 抛物线 C． 椭圆 D．不能确定
10．给出下列结论,其中正确的是 （ ）
A．渐近线方程为的双曲线的标准方程一定是
B．抛物线的准线方程是 C．等轴双曲线的离心率是
D．椭圆的焦点坐标是
二、填空题（本题每小题5分，共25分）
11．如果正△中∈∈,向量,那么以为焦点且过点的双曲线的离心率是 .
12．已知椭圆有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则= .
13．有一系列椭圆，满足条件：①中心在原点；②以直线2为准线；③离心率，则所有这些椭圆的长轴长之和为 .
14．沿向量 =(m, n)平移椭圆,使它的左准线为平移后的右准线,且新椭圆中心在直线2x－6=0上, 则 、 .
15．已知曲线与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A和B，如果过这两个交点的直线的倾斜角是，则实数a的值是

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，过椭圆中心O，如图，且·=0，2，（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠的平分线垂直，则是否存在实数λ,使=λ？

17．（本小题满分12分）已知一条曲线上的每个点到A（0,2）的距离减去它到x轴的距离差都是2.（1）求曲线的方程;（2）讨论直线A(x－4)(y－2)=0(A，B∈R)与曲线的交点个数.

18．已知圆锥曲线C经过定点P（3，），它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为－1，斜率为2的直线交圆锥曲线C于A、B两点，且 ，求圆锥曲线C和直线的方程。

19．（本小题满分12分）如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在上，点N在上，且满足轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程； （2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.

20．（本小题满分13分）已知定点，动点（异于原点）在轴上运动，连接，过点作交轴于点，并延长到点，且，.
（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与动点的轨迹交于、两点，若且，求直线的斜率的取值范围．

21．（本小题满分14分）如图,在△中，∠，2，. 一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持的值不变，直线m⊥于O，.
A
B
C
O
m
（1）建立适当的坐标系,求曲线E的方程;
（2）设D为直线m上一点,,过点D引
直线l交曲线E于M、N两点,且保持直线l与
成角,求四边形的面积.
参 考 答 案
一、选择题（每小题5分，共50分）：
(1) (2). B (3) (4) (5). D (6) (7) (8) (9) (10)
二、填空题（每小题5分，共25分）
(11). (12) (13). 4 (14). －5、－4 (15)2
三、解答题（共74分，按步骤得分）
16. 解（1）以O为原点，所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系
则A（2，0），设所求椭圆的方程为： =1(0<b<2),
由椭圆的对称性知,由·=0得⊥，
∵2，∴，
∴△是等腰直角三角形，∴C的坐标为（1，1），
∵C点在椭圆上
∴=1,∴b2=,所求的椭圆方程为=1 ……………5分
（2）由于∠的平分线垂直（即垂直于x轴），不妨设直线的斜率为k，则直线的斜率为，直线的方程为：(1)+1,直线的方程为(1)+1,
由 得：(1+3k2)x2-6k(1)3k2-61=0（*） ……………8分
∵点C（1，1）在椭圆上，∴1是方程（*）的一个根，则其另一根为,设P（）,Q(), 同理,
………10分
而由对称性知B(-11),又A（2，0） ∴
∴，∴与共线，且≠0,即存在实数λ，使=λ. ……12分
17. 解：（1）设点M()是曲线上任意一点,则2，
整理2，
所求曲线的方程. C1：当y³0时， x2=8y；
C2：当y<0时，0. ……………5分
（2）直线A(4)(2)=0过定点(4,2)且A、B不同时为零，
（数形结合）当0时，A¹0，直线4与曲线有1个的交点； ……………7分
当B¹0时，令，则(4)+2，与x2=8y联列：x2-83216=0
当D=0时，1，即时，直线与C1和C2各一个交点；
当k>1时，<-1时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；
当<k<1时，-1<<-时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；
当k£时，³-时，直线与C1和C2各一个交点. ……………10分
直线与曲线有1个的交点,当0时，A¹0；
直线与曲线有2个的交点, 和³-；
直线与曲线有3个的交点, -1<<-和<-1. ……………12分
18．解：设圆锥曲线C的离心率为e, P到的距离为d，则…………(1分) ∴圆锥曲线C是抛物线………………………（2分）
∵ ∴2
∴抛物线方程为y2=4x………………………………(3分)
设的方程为2(x1y1)(x22)
由2
y2=4x 消去y，整理得：4x2+4(b－1)2=0………………………………(4分)
则 x12=－(b－1)
x1x2= …………………………(5分)
∴………………………（6分）
又∵
∴1－29, ∴－4 …………………………(7分)
故直线的方程为2x－4……………………………………(8分)
综上所述：圆锥曲线C的方程为y2=4x，直线的方程为2x－4
19．（本小题满分12分）
解：（1）
∴为的垂直平分线，∴.…………………………2分
又
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为焦距22. ……………5分
∴曲线E的方程为………………6分
（2）当直线斜率存在时，
设直线方程为
得
设……………………8分

，
……………………10分

又当直线斜率不存在，方程为
……………………………………12分
20．解 (1)设动点的的坐标为，则，
，由得，，
因此，动点的轨迹的方程为. …………5分
(2)设直线的方程为，与抛物线交于点，则由，得，又，故.

又，
∴，，
∴即
解得直线的斜率的取值范围是. ……………………12分
21.解：（1）以、m所在直线分别为x轴、y轴，O为原点建立直角坐标系.

A
B
O
D
M
y
N
C
∴动点的轨迹是椭圆，设其半长轴、半短轴长分别为a、b，半焦距为c，则
x
∴曲线E方程为
（2）由题设知，，
由直线l与成角，可设直线方程为，代入椭圆方程整理得
设， 则
所以，四边形的面积
=