中考一轮复习专题37-相似三角形(一)(含复习资料).doc

15.相似三角形（一）

知识考点：
本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。
精典例题：
【例1】如图，点O是△的两条角平分线的交点，过O作的垂线交于D。求证：△∽△。
分析：此题不易得到边的比例关系，但O点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。
由角平分线及三角形内角和定理知：∠1＋∠2＋∠＝900，再由⊥可得∠5＝∠1＋∠2，而∠5＝∠3＋∠4，从而∠1＋∠2＝∠3＋∠4，由∠1＝∠3可得∠2＝∠4，于是结论得证。

变式1：已知如图，在△中，＝，⊥于O，交于D，交于E，平分∠。求证：。
变式2：已知如图（同变式1图），在△中，O为两内角平分线的交点，过点O作直线交于D，交于E，且＝。
求证：（1）△∽△；（2）。
【例2】如图，在△中，∠＝900，⊥于D，E为中点，交的延长线于F。求证：∶＝∶。
分析：由于△和△一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。
证明：∵⊥，⊥
∴△∽△，∠＝∠B
∴………①
又∵⊥，E为中点
∴＝，∠＝∠
∴∠B＝∠
又∵∠F＝∠F
∴△∽△
∴………②
由①②得
变式：本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？

【例3】如图，梯形中，∥，⊥于E，且＝，对角线、相交于G，、相交于F。求证：。
分析：由于、、三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得是的垂直平分线，于是连结得＝，再证△∽△即可。
探索与创新：
【问题一】如图，∠＝∠＝900，＝，＝2。问当的长为多少时，这两个直角三角形相似？
略解：∵＝，＝2
∴＝
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当△∽△时，有
∴
（2）当△∽△时，有
∴
故当的长为3或时，这两个直角三角形相似。
【问题二】已知如图，正方形的边长为1，P是边的中点，点Q在线段上，设＝，是否存在这样的实数，使得Q、C、P为顶点的三角形与△相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
略解：假设存在满足条件的实数，则在正方形中，∠D＝∠C＝900，由△∽△或△∽△得：
或
由此解得：＝1或＝，从而或
故当或时，△与△。

跟踪训练：
一、填空题：
1、如图，在△中，P是边上一点，连结，使△∽△的条件是 。
2、在直角坐标系中，已知A（－3，0）、B（0，－4）、C（0，1），过C点作直线交 轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△相似，这样的直线有 条。
3、如图，在△中，∠C＝900，＝8，＝6，在斜边上取一点M，使＝，过M作⊥交于N，则＝ 。

4、一个钢筋三角架长分别为20、50 、60 ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 和50 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有 种。
5、如图，在锐角△中，⊥，⊥，＝14，＝4，∶＝5∶1，则＝ 。

二、选择题：
1、下面两个三角形一定相似的是（ ）
A、两个等腰三角形 B、两个直角三角形
C、两个钝角三角形 D、两个等边三角形
2、如图，点E是平行四边形的边延长线上一点，分别交、的延长线于点F、G，则图中相似三角形共有（ ）
A、3对 B、4对
C、5对 D、6对

三、解答题：
1、如图，在△中，∠B＝900，＝＝＝。求证：△∽△。

2、如图，在四边形中，⊥，⊥，⊥于E，交于F。
求证：△∽△。

3、如图，在梯形中，∥，∠D＝900，＝3，＝7，＝15，请你在上找一点P，使得以P、A、B和以P、D、C为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的P点有几个？并求出的长；若不能，请说明理由。

4、在边长为1的正方形网格中有A、B、C、D、E五个点，问△与△是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由。

跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、∠＝∠B或∠＝∠或；2、4条；3、3，5；
4、2种；5、6
二、选择题：
三、解答题：
1、设＝＝＝＝，∵∠B＝900，∴＝
∵，
∴且∠＝∠
∴△∽△
2、证△∽△，△∽△，△∽△
3、能，有三个，＝4.5或
4、△∽△，还有△∽△。