苏州市2017-2018学年第二学期八年级期中数学模拟试卷五(含答案).doc

2017～2018学年第二学期初二数学期中模拟测试五
2018.4
考试范围：苏科版《数学》八年级下册第九、十、十一章内容；考试时间：120分钟；考试题型：选择题、填空题、解答题；考试分值：130分。
一、选择题：（把每题的答案填在答案卷的表格中，每题3分，共30分）
1．（3分）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y=x﹣1 B．y= C．y=﹣2x﹣1 D．=2
2．（3分）平行四边形的对角线长为x，y，一边长为12，则x，y的值可能是（　　）
A．8和14 B．10和14 C．18和20 D．10和34
3．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形； B．四条边相等的四边形是正方形
C．对角线相互垂直的四边形是平行四边形； D．对角线相等且相互平分的四边形是矩形
4．（3分）如图，关于x的函数y=kx﹣k和y=﹣（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
6．（3分）设有反比例函数，（x1，y1）、（x2，y2）为其图象上的两点，若x1＜0＜x2时y1＞y2，则k的取值范围是（　　）A．k＞0 B．k＜0 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1
（第5题）（第7题）
7．（3分）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（　　）
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
8．（3分）如图，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，给出下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF．其中结论正确的共有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第8题） （第9题）
9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E在对角线AC上，且CE=6.5，动点P在矩形ABCD的边上运动一周，则以P、E、C为顶点的等腰三角形有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．（3分）关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣6且m≠2 B．m＞6且m≠2 C．m＜6且m≠﹣2 D．m＜6且m≠2
二、填空题：（把答案填答案卷上，每题3分，共24分）
11．（3分）如图，方格纸中每个最小正方形的边长为l，则两平行直线AB、CD之间的距离是　 　．
12．（3分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足　 　条件时，四边形EFGH是菱形．

（第11题） （第12题） （第13题）
13．（3分）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOB=60°，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE，则∠COE=　 　．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（m，2）的双曲线y=，且AB与x轴垂直交于点B，且S△AOB=4，则m+k的值是　 　．
15．（3分）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是8和6（AC＞BC），反比例函数y=（x＜0）的图象经过点C，则k的值为　 　．
（第15题）（第16题）
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为　 　．
17．（3分）如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为　 　．
（第17题）（第18题）
18．（3分）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是　 　 （把你认为正确结论的序号都填上）．
三、解答题：（共76分）
19．（ 6分）计算：（1）+﹣（π﹣1）0+（）﹣2（2）÷（﹣1），

20．（ 6分）解方程：+=1

21．（ 6分）先化简，再求值：（﹣）÷．（是的正整数）

22．（4分）作一直线，将下图分成面积相等的两部分（保留作图痕迹）．

23．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．

24．（8分）如图．一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象 相交于A、B两点．
（1）利用图中条件．求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△A0B的面积S．

25．（8分）如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．
（1）求证：EG=CF；
（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系．

26．（10分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

27．（10分）已知正方形OABC的面积为4，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点P（m，n）是函数的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）写出S关于m的函数关系式．

28．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

参考答案与试题解析
一、选择题：（把每题的答案填在答案卷的表格中，每题3分，共30分）
1．（3分）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y=x﹣1 B．y= C．y=﹣2x﹣1 D．=2
【分析】根据反比例函数y=（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式，可得答案．
【解答】解：A、y=x﹣1是一次函数，故A不符合题意；
B、y=不是反比例函数，故B不符合题意；C、y=3x﹣1是反比例函数，故C符合题意；
D、=2不是反比例函数，故D符合题意；故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 y=（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．　
2．（3分）平行四边形的对角线长为x，y，一边长为12，则x，y的值可能是（　　）
A．8和14 B．10和14 C．18和20 D．10和34
【分析】如图：因为平行四边形的对角线互相平分，所OB=，OC=，在△OBC中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将各答案代入验证即可求得．
即x+y＞24，y﹣x＜24．
【解答】解：A、=4+7=11＜12，所以不可能；
B、=5+7=12=12，所以不可能；D、34﹣10=24，所以不可能；故选：C．

【点评】本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理．
3．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是正方形
C．对角线相互垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且相互平分的四边形是矩形
【分析】根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答
【解答】解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；
B、四条边相等的四边形是菱形，故错误；
C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故错误；
D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；故选：D．
【点评】本题考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记四边形的判定定理．
4．（3分）如图，关于x的函数y=kx﹣k和y=﹣（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数判断出k的取值，进而判断出一次函数所在象限即可．
【解答】解：A、由反比例函数图象可得k＜0，∴一次函数y=kx﹣k应经过一二四象限，故A选项错误；
B、由反比例函数图象可得k＞0，∴一次函数y=kx﹣k应经过一三四象限，故B选项正确；
C、由反比例函数图象可得k＜0，∴一次函数y=kx﹣k应经过一二四象限，故C选项错误；
D、由反比例函数图象可得k＞0，∴一次函数y=kx﹣k应经过一三四象限，故D选项错误；
故选：B．
【点评】综合考查了反比例函数和一次函数的图象特征；用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，一次函数经过一三象限，常数项大于0，还经过第二象限；常数项小于0，还经过第四象限；比例系数小于0，一次函数经过二四象限，常数项大于0，还经过第一象限，常数项小于0，还经过第三象限；反比例函数的比例系数大于0，图象的两个分支在一三象限；比例系数小于0，图象的2个分支在二四象限．
5．（3分）如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
（题图）（答图）
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．
【解答】解：连接AR．因为E、F分别是AP、RP的中点，则EF为△APR的中位线，
所以EF=AR，为定值．所以线段EF的长不改变．故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．
6．（3分）设有反比例函数，（x1，y1）、（x2，y2）为其图象上的两点，若x1＜0＜x2时y1＞y2，则k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1
【分析】若x1＜0＜x2时，则对应的两个点（x1，y1）、（x2，y2）分别位于两个不同的象限，当y1＞y2时，反比例系数一定小于0，从而求得k的范围．
【解答】解：根据题意得：k+1＜0；解得：k＜﹣1．故选：D．
【点评】本题容易出现的错误是，简单利用y随x的增大而减小，而错误的认为反比例系数是正数，忘记反比例函数的性质，叙述时的前提是：在每个象限内．
7．（3分）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（　　）

A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
【分析】折痕为AC与BD，∠BAD=120°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=30°，易得∠BAC=60°，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAD=120°，∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．故选：D．
（7题答图）（8题图）
【点评】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角．
8．（3分）如图，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，给出下列结论：
①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF．
其中结论正确的共有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，再通过比较可以得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF（故①正确）．
∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD，∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AC=，
∴AB=，∴BE=﹣x=，∴BE+DF=x﹣x≠x．（故④错误）．
正确的有3个．故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E在对角线AC上，且CE=6.5，动点P在矩形ABCD的边上运动一周，则以P、E、C为顶点的等腰三角形有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（题图）（答图）
【分析】当P在BC边上时，有三种情形：①P1与B重合时，EP1=EC，②CE=CP2，③P3E=P3C，同法当P在AD边上时，也有三种情形，如图P4，P5，P6，
【解答】解：如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，
∴AC===13，∵CE=6.5，∴AE=EC，
∴当P在BC边上时，有三种情形：①P1与B重合时，EP1=EC，②CE=CP2，③P3E=P3C，
同法当P在AD边上时，也有三种情形，如图P4，P5，P6，
在AB、CD上不存在点P使得△PEC是等腰三角形．故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．（3分）关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣6且m≠2 B．m＞6且m≠2 C．m＜6且m≠﹣2 D．m＜6且m≠2
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】计算题．
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：+=3，方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m=3x﹣6，
解得，x=，∵≠2，∴m≠2，由题意得，＞0，解得，m＜6，
实数m的取值范围是：m＜6且m≠2．故选：D．
【点评】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
二、填空题：（把答案填答案卷上，每题3分，共24分）
11．（3分）如图，方格纸中每个最小正方形的边长为l，则两平行直线AB、CD之间的距离是　　．
（题图）（答图）
【分析】首先过A作AM⊥BC，AN⊥CD，根据网格图可得AD=BC，再有AD∥BC，可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据勾股定理计算出DC的长，再根据平行四边形的面积公式即可算出答案．
【解答】解：如图所示：过A作AM⊥BC，AN⊥CD，根据网格图可得AD=BC，
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CD==5，∵S平行四边形ABCD=CB×AM=CD×AN，
∴×7×4=×5AN，解得：AN=，故答案为：．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，勾股定理的应用，以及平行四边形的面积共识，解决问题的关键是掌握平行四边形的面积公式：S=底×高．
12．（3分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足　AB=CD　条件时，四边形EFGH是菱形．
【分析】首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，EF=AB，HG∥AB，HG=AB，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可．
【解答】解：需添加条件AB=CD．
∵E，F是AD，DB中点，
∴EF∥AB，EF=AB，
∵H，G是AC，BC中点，
∴HG∥AB，HG=AB，
∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E，H是AD，AC中点，∴EH=CD，∵AB=CD，∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形．故答案为：AB=CD．
【点评】此题主要考查三角形中位线定理与菱性的判定方法，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．
13．（3分）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOB=60°，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE，则∠COE=　75°　．
【分析】根据矩形的性质得出∠DCB=90°，AC=BD，AC=2CO，BD=2OD，求出OC=OD，得出△COD是等边三角形，求出∠ACB=30°，求出OC=CE，即可求出答案．
【解答】解：∵∠AOB=60°，∴∠DOC=∠AOB=60°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB=90°，AC=BD，AC=2CO，BD=2OD，∴OC=OD，
∴△COD是等边三角形，∴DC=OC，∠ACD=60°，
∴∠ACB=90°﹣60°=30°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，∴DC=CE，∴CE=OC，
∵∠OCE=30°，∴∠COE=（180°﹣30°）=75°；故答案为：75°．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，角平分线定义的应用，解此题的关键是求出OC=CE和求出∠ACB的度数，综合性比较强，有一定的难度．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（m，2）的双曲线y=，且AB与x轴垂直交于点B，且S△AOB=4，则m+k的值是　±12　．
【分析】根据三角形面积公式得到•2•|m|=4，解得m=4或m=﹣4，当m=4时，A（4，2），根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=8，同理当m=﹣4时，A（﹣4，2），则k=﹣8，然后分别计算m+k的值．
【解答】解：∵AB与x轴垂直交于点B，且S△AOB=4，
∴•2•|m|=4，解得m=4或m=﹣4，
当m=4时，A（4，2），则k=4×2=8，所以m+k=4+8=12；
当m=﹣4时，A（﹣4，2），则k=﹣4×2=﹣8，所以m+k=﹣4﹣8=﹣12；
即m+k的值是±12．故答案为±12．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15．（3分）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是8和6（AC＞BC），反比例函数y=（x＜0）的图象经过点C，则k的值为﹣12　．
【分析】先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别是8和6，
∴C（﹣4，3），
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴3=，解得k=﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为　　．
【分析】连接OP，过点A作AG⊥BD于G，利用勾股定理列式求出BD，再利用三角形的面积求出AG，然后根据△AOD的面积求出PE+PF=AG．
【解答】解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，∴BD===5，
S△ABD=AB•AD=BD•AG，即×3×4=×5×AG，
解得AG=，在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD=OA•PE+OD•PF=OD•AG，∴PE+PF=AG=．故PE+PF=．

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握各性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
17．（3分）如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为　　．
（题图）（答图）
【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
【解答】解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=4，
∴P′D′=，即DQ+PQ的最小值为．故答案为：．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
18．（3分）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是　①②④　（把你认为正确结论的序号都填上，答案格式：“①②③④”）．

【分析】本题考查的是反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是个恒等值即易解题．
【解答】解：①△ODB与△OCA的面积相等都为；
②四边形PAOB的面积不会发生变化为k﹣1；
③不能确定PA与PB是否始终相等；
④由于反比例函数是轴对称图形，当A为PC的中点时，B为PD的中点，故本选项正确．
故其中一定正确的结论有①、②、④．故答案为：①、②、④．
【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
三、解答题：（共76分）
19．（6分）计算：（1）+﹣（π﹣1）0+（）﹣2；（2）÷（﹣1），
20．（6分）解方程：+=1
21．（6分）（﹣）÷．（是的正整数）
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，算术平方根定义，以及立方根定义计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（3）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：19．（1）原式=﹣4+4﹣1+4=3；（2）原式=÷=•
=﹣（x﹣1）=1﹣x，
20．去分母得：2﹣x﹣1=x﹣3，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解；
21．原式=[﹣]•=（﹣）•=﹣===．时，原式=8。
【点评】此题考查了解分式方程，实数的运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（4分）作一直线，将下图分成面积相等的两部分（保留作图痕迹）．
（题图）（答图）
【分析】由于矩形是中心对称图形，故过对称中心的直线能把矩形分成面积相等的两部分，本题中找出两矩形的对称中心，连接两中心的直线即是所作线．
【解答】解：
将此图形分成两个矩形，作出两个矩形的对角线的交点E，F，
则分别为两矩形的对称中心，过点E，F的直线EF就是所求的线．
【点评】本题利用了矩形是中心对称图形求解．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．

【分析】由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，
又∵点D为BC的中点，∴∠BAE=∠CAE（三线合一），
在△ABE和△ACE中，∵，∴△ABE≌△ACE（SAS）．
（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形
理由如下：∵AE=2AD，∴AD=DE，又∵点D为BC中点，∴BD=CD，
∴四边形ABEC为平行四边形，∵AB=AC，∴四边形ABEC为菱形．
【点评】本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．
24．（8分）如图．一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象 相交于A、B两点．
（1）利用图中条件．求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△A0B的面积S．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把A（﹣3，1）代入y=，即可求得m的值，然后把B（1，n）代入反比例函数的解析式，求得B的坐标，把A、B的坐标代入y=kx+b，根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据图象和交点坐标即可求得；
（3）求出直线AB与x轴的交点，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：（1）把A（﹣3，1）代入y=得：m=﹣3×1=﹣3，∴y=﹣，
把B（1，n）代入y=﹣得：n=﹣3，∴B（1，﹣3），
把A（﹣3，1），B（1，﹣3）代入y=kx+b得：，
解得：k=﹣1，b=﹣2，∴y=﹣x﹣2，
∴反比例函数和一次函数的解析式分别是y=﹣，y=﹣x﹣2．
（2）由图象知：使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞1；
（3）设直线AB与x轴的交点为C，令y=0，则0=﹣x﹣2，∴x=﹣2，
∴C（﹣2，0），∴OC=2，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×1+×2×3=4．
【点评】本题主要考查对一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
25．（8分）如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．
（1）求证：EG=CF；
（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系．
（题图）（答图）
【分析】（1）G、E分别为AB、BC的中点，由正方形的性质可知AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，则∠AGE=180°﹣45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余关系，得∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF，可证△AGE≌△ECF，得出结论；
（2）旋转后，∠C′AE=∠CFE=∠GEA，根据内错角相等，两直线平行，可判断旋转后CF与EG平行．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，
∴AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，∴∠AGE=180°﹣45°=135°，
又∵CF为正方形外角平分线，∴∠ECF=90°+45°=135°，∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，∴∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF，∴△AGE≌△ECF，∴EG=CF；
（2）解：画图如图所示，旋转后CF与EG平行．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质．关键是根据正方形的性质寻找判定三角形全等的条件．
26．（10分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求，得出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；
（3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．
【解答】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，∴AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）．
设C、D所在双曲线的解析式为y2=，把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；
（2）当x1=5时，y1=2×5+20=30，当x2=30时，y2=，∴y1＜y2
∴第30分钟注意力更集中．
（3）令y1=36，∴36=2x+20，∴x1=8。令y2=36，∴36=，
∴x2=≈27.8，∵27.8﹣8=19.8＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
27．（10分）已知正方形OABC的面积为4，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点P（m，n）是函数的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）写出S关于m的函数关系式．
（题图）（答图）
【分析】（1）利用正方形的性质得OA=AB=2，则B点坐标为（2，2）；把B（4，4）代入y=中，即可求出k；
（2）分类：P（m，n）在y=上，得到mn=4，当x＞2，S=AE•PE=（m﹣2）•n=mn﹣2n=4﹣2n=，解得n=；当0＜x≤2，S=P′F′•F′C=m（n﹣2）=mn﹣2m=4﹣2m=，解得m=，即可确定P点坐标；
（3）由（2）得易得到S关于m的函数关系式：当x＞2，S=（m﹣2）•n，当0＜x≤2，S=m（n﹣2）．
【解答】解：（1）∵正方形OABC的面积为4，即OA=AB=2，
∴B点坐标为（2，2）；把B（2，2）代入y=中，得k=2×2=4；
所以B点的坐标为（2，2），k的值为4；
（2）如图，∵P（m，n）在y=上，∴mn=4，当x＞2，
∴S=AE•PE=（m﹣2）•n=mn﹣2n=4﹣2n=，解得n=，则m=6，∴P点坐标为（6，）；
当0＜x≤2，∴S=P′F′•F′C=m（n﹣2）=mn﹣2m=4﹣2m=，解得m=，则n=6，
∴P′点坐标为（，6）；所以点P的坐标为（6，）或（，6）；
（3）由（2）得当x＞2，S=2（m﹣2）•n=2mn﹣4n=8﹣；
当0＜x≤2，S=2m（n﹣2）=2mn﹣4m=8﹣4m．
【点评】考查反比例函数的综合题的解法：先利用待定系数法确定反比例的解析式，那么图象上所有点的横纵坐标的乘积为定值．也考查了矩形的性质以及分类讨论思想的运用．
28．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
（题图）（答图）
【分析】（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，由已知条件求证；
（2）求得四边形AEFD为平行四边形，若使▱AEFD为菱形则需要满足的条件及求得；
（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得．
②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，则得∠ADE=∠DEF=90°，求得AD=AE•cos60°列式得．③∠EFD=90°时，此种情