中考数学圆综合题汇编.doc

中考数学圆综合题汇编
25题汇编
1. 如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，切点为B，为弦，∥。
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若2，求的值。

2. 如图，⊙O是△的外接圆，∠60°，是⊙O的直径，P是延长线上的一点，且
（1）求证：直线是⊙O的切线；
（2）若3，求的长。

3. 如图，已知是⊙O的直径，和是⊙O的两条切线，点E是⊙O上一点，点D是上一点，连接并延长交于点C，连接、，且∥。
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若1，4，求直径的长。

4. 如图，△内接于⊙O，弦⊥交于点E，过点B作⊙O的切线交的延长线于点F，且∠∠。
（1）求证：；
（2）若4，，求的长。

5. 在△中，，以为直径作⊙O，交于点D，过点D作⊥，垂足为E。
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若1，，求的长。

6. 如图，是⊙O的直径，C是⊙O上一点，垂直于过点C的直线，垂足为D，且平分
∠。
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，4，求的长。

7. 如图，为⊙O的直径，C为⊙O上一点，和过C点的切线互相垂直，垂足为点D，交⊙O于点E。
求证：（1）平分∠；
（2）若∠60°，，求的长。

8. 如图，⊙O是△的外接圆，是⊙O的直径，弦，12，5，⊥交的延长线于点E。
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）求的长。

9. 如图，在△中，∠90°，6，半径为2的⊙F与射线相切于点G，且4，将△绕点A顺时针旋转135°后得到△，点B、C的对应点分别是点D、E。
（1）求证：为⊙F的切线；
（2）求出△的斜边被⊙F截得的弦的长度。

10. ⊙O是等边三角形的外接圆，点E在弧上，点D在弧上，且弧等于弧，连接交于点F，连接交于点H，交于点G，连接。
（1）求证：；
（2）若，8，求的长。

11. 如图，⊙O是△的外接圆，弦交于点E，连接，且，。
（1）求∠的度数；
（2）过点O作⊥于点F，延长交于点G，3，2，求的长。

12. 如图，在菱形中，P是对角线上的一点，且，⊙O为△的外接圆。
（1）求证：为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，，求的长。

13. 如图，弧等于弧，D、E分别是半径，的中点，的延长线交⊙O于点F。
（1）求证：；
（2）若2，5，求半径的长。

14. 如图，是⊙O的直径，点C在⊙O外，连接，⊥，弦交于点E，。
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若13，12，求的长。

15. 如图，点A在射线上，半径为5的⊙A与射线相切于点B，交射线于点D
（），将射线沿着射线翻折，得射线。
（1）求证：为⊙A的切线；
（2）点C在射线上，连，交⊙A于点E，若，，求弦的长。

16. 如图，∠30°，半径为的⊙O与直线相切于点E，1，将∠沿着直线翻折，得到∠。
（1）求证：⊙O与相切；
（2）点F与点E关于O点对称，过点F作∥，交射线于点G，求线段的长。

17. 如图，在△中，10，8，6，将△沿翻折，点B与D重合，O是上一点，3，以O为圆心，为半径作⊙O，交于另一点E。
（1）求证：直线是⊙O的切线；
（2）过点D作⊙O的另一条切线，切点为点M，连接并延长，交边于点N，求线段的长。

18. 如图，在⊙O中，弦∥弦，且、位于圆心O的两侧，8，6，、之间的距离为7，连接、。
（1）求⊙O的半径；
（2）过点A作⊙O的切线，交的延长线于点E，求线段的长。

19. 如图，为⊙O的直径，、为⊙O的弦，，，将△沿折叠，得到△，点E在边上，1，连接。
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）作射线，交射线于点F，求的长。

20.△如图，以△的边上一点O为圆心的圆经过两点，点D在⊙O上，,∠2∠,⊙O交于点交于点F。
（1）求证：为⊙O的切线。
（2）若3,求长。

答案：
1.解：（1）连接 ∵是⊙O的直径 ∴ ∵是⊙O的切线，∴∠90°
∵∥，∴∠∠，∠∠， ∵，
∴∠∠ ∴∠∠
∵，∴△≌△， ∴∠∠90°
∴是⊙O的切线。
（2）连接，∵是⊙O的直径，∴∠∠90°，
∵∠∠A，∴△∽△
∴ ∴ ∴2，∴24，2 ∴

2.（1）连接，则∠2∠ ∵ ∴∠∠
又∵ ，∴∠∠30° 又∵∠
∴ ∴⊥ ∴是⊙O的切线。
（2）连，∵为直径，∴∠90°，∴ ∴
又∵∠ ∴∠∠， ∴

3.
（1）证明：连接，在⊙O中，，∴∠∠，∵∥，
∴∠∠∠∠ 又∵，，∴△≌△，∴∠∠
∵是⊙O的切线，切点为A，∴⊥，∴∠∠90°，∴⊥
∵是⊙O的半径，∴是⊙O的切线。
（2）解：过点D作的垂线，垂足为H。 ∵切⊙O于点B，∠90°=∠∠
∴四边形是矩形，∴1， ∴
∵、、分别切⊙O于点A、B、E，∴1，4， ∴1+4=5
在△中，，∴

4. （1）证明：连接，∵⊥，∴∠90°，∴为⊙O的直径，∵与⊙O切于点B，
∴∠90°，∴∠∠90°，∵∠90°，∴∠∠90° ∴∠∠
∵∠∠C，∠∠，∴∠∠ ∴
（2）∵⊥，∴∠∠∠∠F，∵∠∠，∴∠∠F，∴
∴，∵4，∴2，∵∠90°，∴ 3 ∵∠∠
∠∠D，∴△∽△ ∴ ∴
∵2，∴

5. （1）证明：连接、，∵为⊙O的直径，∴∠90°，又∵，∴
又∵，∴∥ ∴∠∠90°，∴⊥ ∴是⊙O的切线。
（2）解：∵∠∠90°，又∵∠∠C，∴△∽△ ∴
∴ ∵ ，∴ ，∴4
∴5 ∴5

6. （1）证明：连接，∵，∴∠1=∠2，∵平分∠，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，
∴∥ ∴∠∠， ∵⊥， ∴∠90°， ∴∠90°，
∴是⊙O的切线
（2）解：连接，∵是⊙O的直径，∴∠90°，又∵∠90°，∠1=∠3，
∴∠1∠3，即，∴ 把，4代入得，得6

7. 证明：（1）如图1，连接，∵为⊙O的切线，∴⊥，∴∠90°，∵⊥，
∴∠90°，∴∠∠180°，∴∥，∴∠1=∠2，∵，∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3 即平分∠
（2）如图2，∵为⊙O的直径，∴∠90°，又∵∠60°，∴∠1=∠3=30°，
在△中，，∴，在△中，，
∴，连接，∵∠2∠3=60°，，
∴△是等边三角形，∴

8. 解（1）连接、，在△和△中，，∴△≌△，∴∠∠
∵∠∠∠，∴∠∠，∴∥，∵⊥，∴∠90°，
∴∠90°，∴⊥，∴是⊙O的切线。
（2）∵是⊙O的直径，∴∠90°，∵∠∠，∠∠90°，
∴△∽△，∴，∵，12，5，∴
∴，∴

9. （1）证明：过F点作⊥于M，则∠90°，，∠90°，∴∠45°，
∵∠135°，∴∠∠180°，∴点B、A、E在一条直线上，连接，
∵⊙F与射线相切于点G，∴⊥，∴∠90°，又∵∠90°，
∴四边形为矩形，∴，∵6，4，∴2，∴2，∴是⊙F的切线。
（2）解：∵2，，∴四边形为正方形，连接并延长交于点N，∵四边形为正方形，∴平分∠，∵△为等腰直角三角形，∴⊥ ∴，
△为等腰直角三角形，连接，由勾股定理得， 又∵6， ∴
∴，在△中，2，由勾股定理得，∴

10. （1）证明：∵弧等于弧，∴∠∠，∵等边△，∴，
∠∠∠60°，∴△≌△，∴。
（2）过B作⊥，垂足为K，∵8，∴8，∵，∴3，
5 ∵⊥ ∴4 ，∴，∵在△中，
，∴在△中，，∵∠∠，
∠∠，∴△∽△，∴，，∴

11. （1）证明：在⊙O中，∠∠D，∵∠∠，，∴△≌△，∴，
又∵，∴，∴△为等边三角形，∴∠60°。
（2）解：∵⊥，∴，∵△为等边三角形，∴∠60°，∴∠30°，
∵2，∴1，又∵3，∴4，∴8，5，∴5，作⊥于点M，
∵∠60°，∴∠30°，∴，
∴， ∴

12.（1）连接、、，设与交于点H，∵，，∴是线段的垂直平分线，∴⊥，∴∠90°，∵四边形是菱形，∴∠∠，又∵，
∴∠∠，∵在△中 ，∠∠90°，
∴∠∠∠∠∠90°，即⊥，∵点A在⊙O上，∴直线与⊙O相切。
（2）连接交于点E，则⊥。设⊙O的半径为r ，设4a ，∴2a ，
∵ ，∴ a ，a ，a ，
在△中，a ，（过程详细些，不能直接使用），在△中，由勾股定理得：，即，
解得：（舍） ∴8

13. 证明：（1）连接，∵D、E分别是半径，的中点，又∵，∴，
∵弧等于弧，∴∠∠，∵，∴△≌△，∴。
（2）延长交⊙O于点G，连接，，∵∠与∠F为弧所对的圆周角，
∴∠∠F，∵∠∠，∴△∽△，∴，∵2，3，
∴ ，∴，∴，∴

14.（1）连接，在⊙O中，，∠∠，∵，∴∠∠，在△中，
∵⊥，∴∠90°，∴∠∠180°—90°=90°，∵∠∠，
∴∠∠∠∠90°，∴⊥，∴是⊙O的切线。
（2）连接，在△中，∵是直径，∴∠90°=∠，
∵，∴，∴，∴

15. .解：（1）连接，过A作⊥′,垂足为点H，
∵⊙A与射线相切于点B，
∴⊥ 由翻折知，平分∠′
∴ ∴′为⊙A的切线
（2）作⊥于点G，⊥于点F，
⊥于点K，
∵∠ M′=90°，∴∠45°
设，则 a，
∵∠，∴7a，，
∴8a，∴，∴，
∴∠
在△中，设3b，则4b，
由勾股定理得，5b，∴5b =5，∴1
∴26

16..解：（1）连接，
∵⊙O与直线相切于点E，
∴⊥
连接，
∵1，，∴∠
∴∠60°
∵∠30°，∴∠60°，
∴∠60°，∴∠∠60°
作⊥于点D，则，
∴与⊙O相切
（2）连结，
∵点F与点E关于O点中心对称，∴点E、O、F在一条直线上，
∵∥，∴∠∠30°，
∴∠360°-120°-90°-30°=120°，
延长，交⊙O于另一点M，则∠60°
连结，则，∴△为等边三角形，∴∠60°，
∵∠∠∠120°，∴∠60°，
∴∠∠∠∠ =180°，
点M、O、N也在一条直线上
∴，∴2
∵，∴
17. 解：（1）过O作⊥，垂足为F，
∵10，8，6，∴△是直角三角形
∴∠90º，
∵∠90，∠∠D
∴△∽△.
∵3，∴5，∴3
∴直线是⊙O的切线
（2）连接,
∵∥，∴△≌△，
∴
由（1）可知4，2，8，
∴2·，
∴△∽△.
∴-
设，则2a，6，
由勾股定理得，∴
18.解：（1）过点O作⊥于点M，交于点N，
则∠90°，，
∵∥，∴∠∠180°
∴∠90°，∴，
设，则7，
由勾股定理得：222，222，
∵8，6，∴4，3，
∴16+ x2=9+(7)2，解得：3
∴5，
（2）在△与△中，
∵，，∠∠90°，
∴△∽△，
∴∠∠，∠∠，
∴∠∠90°，
∴∠90°
∵为⊙O的切线，∴∠90°，
∴∠∠180°，∴∥
延长，交于点F，则四边形为平行四边形，
∴
∵∠∠∠∠90°，∴∠∠
∵∠∠， ∴△∽△，
∴2·，∴，
19..解：（1）连接。∵△是由△折叠得到。
∴∠90.∠.
∴5. ∴
∵∠∠. ∴△∽△。
∴∠∠90
∴∠∠90. ∵. ∴∠∠
∵∠∠.
∴∠∠90. ∴为⊙O的切线
（2）过B作∥，交于G。
∵OB, ∥.
∴△≌△.
∴,
∴△∽△.
∴.∴
20.解：（1）连接 ∵ ∴弧弧 ∵弧弧弧弧 ∴弧弧
∴∠∠ ∵ ∴∠90° ∵∠2∠ ∠2∠ ∴∠∠
∵∠∠90° ∴∠∠90° ∴∠90° ∴是⊙O的切线
（2）过点C作的垂线，交的延长线于点G，∵∠90°，∴∠∠90°
∵∠∠90°，∴∠∠，∵，∴∠∠，∴∠∠
∵∠∠，∴△∽△，∵，∴，设，
在△内，，∴，∴
解得或（舍去），∴，∴2，∵2，4，∠90°，
∴

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