四年级奥数第一讲-图形的计数问题.doc

第一讲 图形的计数问题
一、知识点：
几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．
二、典例剖析：
例（1） 数出右图中总共有多少个角
分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：
　 　4＋3＋2＋1＝10（个）
　　解： 4＋3＋2＋1＝10（个）
答：图中总共有10个角。
方法2：用公式计算：边数×（边数—1）÷2
5 ×（5-1）÷2=10
练一练：
数一数右图中总共有多少个角？
　 例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？
分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看BC、MN、GH这3条横向线段：
（4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条）
　　②要数有多少个三角形，先看在△ABC中， 被GH和MN分成了三层，每一层的三角形一样多，所以只要算出一层三角形个数就可以了。
　(5×4÷2) ×3=30(个)
答： 在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。
练一练：
图中共有多少个三角形？

例（3）数一数图中长方形的个数

分析： 长边线段有：6×5÷2=15
　　宽边线段有： 4×3÷2=6
共有长方形：15×6 = 90（个）
　 答：共有长方形90个。

练一练：
数一数图中长方形的个数

　　例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）
.
　分析： 数正方形比较简单的方法是包围计数法。
　 解： 正方形总数为：
　　 6×5+5×4+4×3+3×2+2×1
　　=30+20+12+6+2=70（个）

练一练：
下图共有几个正方形?

例（5）数一数图中三角形的个数
分析： 这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.
　　Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：
　　①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：
　　W①上=1+2+3+4=10（个）.
　　②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：
　　W①下=1+2+3=6（个）.
　　Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：
　　①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：
　　W②上=1+2+3=6（个）.
　　②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.
　　Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：
　　①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：
　　W③上=1+2=3（个）.
　　②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.
　　Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：
　　W④上=1（个）.
解： 所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.
答：三角形的总数是个27个。
练习二：
1、.下列图形各有几条线段

( )条 ( )条 ( )条

2、一条直线上共有50个点,可以数出( )条线段.

3、数一数下图有（ ）个长方形.

4、下图共有( )个平行四边形.

5、下图共有几个正方形?

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