全国181套中考数学试题分类汇编20一次(正比例)函数和反比例函数的综合.doc

20：一次(正比例）函数和反比例函数的综合
一、选择题
1.（浙江杭州3分） 如图，函数和函数的图像相交于点M（2，），N（－1，），
若，则的取值范围是
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】根据反比例函数的自变量取值范围，1与2图象的交点横坐标，可确定1＞2时，的取
值范围：∵由图象知，函数和函数 的图象相交于点M（2，m），N（－1，n），
∴当1＞2时，－1＜＜0或＞2。故选D。
2.（浙江台州4分）如图，双曲线与直线交于点M、N，并
且点M的坐标为(1，3)，点N的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于的方
程的解为
A．－3，1 B．－3，3
C．－1，1 D．－1，3
【答案】A。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】根据图象信息可得关于的方程的解是双曲线与直线交点的横坐标。因此，把M的坐标(1，3)代入，得，即得双曲线表达式为。把点N的纵坐标－1代入，得，即关于的方程的解为－3，1。故选A。
3．（辽宁丹东3分）反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是

【答案】D。
【考点】反比例函数和一次函数的图象。
【分析】根据反比例函数的图象所在的象限确定＞0。然后根据＞0确定一次函数的图象的单调性及与轴的交点的大体位置，从而确定该一次函数的图象经过第一、二、三象限故选D。
3.（山东东营3分）如图，直线和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重 合)．过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP．设△AOC的面积为．△BOD的面积为。△POE的面积为，则
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】根据双曲线的性质，由，即在第一象限，双曲线任一点向向轴作垂线，这一点与垂足、坐标原点构成的三角形面积都等于。另一方面，由于在直线和双曲线交点范围内直线总在双曲线的上方，从而设PE交轴于F，连接OF，因为△EOF的面积与△AOC的面积、△BOD的面积都等于，△POE的面积大于△EOF的面积。因此有。故选D
4.（山东青岛3分）已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系
中的图象如图所示，则当1＜2时，的取值范围是
A．＜－1或0＜＜3 B．－1＜＜0或＞3
C．－1＜＜0 D．＞3
【答案】B。
【考点】一次函数与反比例函数的图象。
【分析】1＜2，即一次函数的图象在反比例函数的图象的下方。从图象可知，当
－1＜＜0或＞3时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方。故选B。
5（广东湛江3分）在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象大致是
A、B、C、 D
【答案】B。
【考点】反比例函数的图象，一次函数的图象。
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的性质进行选择即可：∵正比例函数中，k=1＞0，∴此图象过一、三象限；∵反比例函数中，k=2＞0，∴此函数图象在一、三象限。故选B。
6.（四川乐山3分）如图，直线 交轴、轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则AF·BE=
A. 8 B.6 C. 4 D.
【答案】A。
【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。
【分析】过点E作EC⊥OB于C，过点F作FD⊥OA于D，
∵直线 交轴、轴于A、B两点，
∴A（6，0），B（0，6）。
∴OA=OB。∴∠ABO=∠BAO=45°。
∴BC=CE，AD=DF。
∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴四边形CEPN与MDFP是矩形。
∴CE=PN，DF=PM。
∵P是反比例函数 图象上的一点，∴PN•PM=4，∴CE•DF=4。
在Rt△BCE中，BE= CE÷sin45°=CE，在Rt△ADE中，AF= DF÷sin45°=DF，
∴AF•BE=CE•DF=2CE•DF=8。故选A。
8.（四川眉山3分）如图，直线（b＞0）与双曲线（＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N；有以下结论：①OA=OB，②△AOM≌△BON，③若∠AOB=45°，则S△AOB=，④当AB=时，ON－BN=1；其中结论正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D。
【考点】反比例函数图象上点的坐标特点和对称性，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】①②设A（1，1），B（2，2），代入中，得1•1=2•2=，
联立，得2－＋=0，则1•2=，又1•1=，∴2=1。
同理可得1=2。∴ON=OM，AM=BN。∴△AOM≌△BON。∴OA=OB。∴①②正确。
③作OH⊥AB，垂足为H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S△AOB=S△AOH+S△BOH=S△AOM+S△BON=+=，正确。
④延长MA，NB交于G点，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB=时，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正确。
正确的结论有4个。故选D。
9.（青海省3分）一次函数y=－2x+1和反比例函数y=的大致图象是

A B C D
【答案】D。
【考点】一次函数和反比例函数的图象特征．
【分析】根据题意：一次函数y=-2x+1的图象过一、二、四象限；反比例函数y= 3x过一、三象限。
故选D。
10.（辽宁鞍山3分）在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k(k≠0)与y＝(k≠0)的图象大致是 ．

【答案】C。
【考点】一次函数和反比例函数的图象。
【分析】若k＞0，反比例函数y＝的图象经过一、三象限，一次函数y＝kx－k的图象经过一、四、三象限，答案中没有符合条件的结果；若k＜0，反比例函数y＝的图象经过二、四象限，一次函数y＝kx－k的图象经过二、一、四象限，答案C符合条件。故选C。
11.（云南昭通3分）函数与（）在同一直角坐标系中的图像可能是

【答案】D。
【考点】一次函数和反比例函数的图象特征。
【分析】若，函数的图象经过一、四、三象限，函数的图象经过一、三象限，所以无适合选项；若，函数的图象经过二、一、四象限，函数的图象经过二、四象限，所以选项D适合。故选D。
12.（贵州贵阳3分）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则的取值范围是
A、﹣1＜＜0 B、﹣1＜＜1
C、＜﹣1或0＜＜1 D、﹣1＜＜0或＞1
【答案】C。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】根据题意知：若，则只须1＞2，又知反比例函数和正比例函数相交于A、B两点，
从图象上可以看出当＜﹣1或0＜＜1时1＞2。故选C。
13.（贵州毕节3分）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图
象大致是

【答案】C。
【考点】反比例函数的图象，一次函数的图象。
【分析】根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知＜0，两结论相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象在二、四象限可知＜0，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知＞0，两结论相矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知＜0，两结论一致，故本选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知＞0，由一次函数的图象与轴交点在轴的负半轴可知＜0，两结论相矛盾，故本选项错误。故选C。
14.（湖北宜昌3分）如图，直线=+2与双曲线=在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为

【答案】B。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，在数轴上表示不等式的解集。
【分析】因为直线=+2与双曲线=在第二象限有两个交点，联立两方程求出m的取值范围即可，然后在数轴上表示出m的取值范围：
由+2=得2+2+3﹣m=0，
∵=+2与=有两个交点，∴方程2+2+3﹣m=0有两不相等的实数根。
即△=4﹣4×（3﹣m）＞0，解得m＞2。
又∵双曲线在二、四象限，∴m﹣3＜0。∴m＜3。
∴m的取值范围为：2＜m＜3。
故在数轴上表示为B。故选B。
15.（湖北恩施3分）一次函数y1=k1x+b和反比例函数（k1∙k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是
A、﹣2＜x＜0或x＞1 B、﹣2＜x＜1
C、x＜﹣2或x＞1 D、x＜﹣2或0＜x＜1
【答案】A。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】如图，依题意得一次函数y1=k1x+b和反比例函数（k1∙k2≠0）的图象的交点的横坐标分别为x=﹣2或x=1，若y1＞y2，则y1的图象在y2的上面，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1．故选A。
二、填空题
1. （四川成都4分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数满足：当时，y随x的增大而减小。若该反比例函数的图象与直线都经过点P，且，则实数=　 ▲ ．
【答案】。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】∵反比例函数当＜0时，随的增大而减小，∴＞0。
设P（，），则=2，+=。
又∵OP2=2+2，∴2+2=7，即（+）2﹣2=7。
∴（）2﹣4=7，解得或﹣1，
而＞0，∴。
2.（新疆乌鲁木齐4分）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标是（），则另一个交点的坐标为 ▲ 。
【答案】（1，2）。
【考点】反比例函数图象的对称性。
【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可：
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称。
∵一个交点的坐标是（-1，-2），∴另一个交点的坐标是（1，2）。
3.（湖北黄石3分）若一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点，则实数的取
值范围是 ▲ .
【答案】k＜。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】联立，得，，整理得。
∵一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点
∴关于的一元二次方程无实数根。
∴△＝1+4k＜0，解得k＜。
4.（内蒙古乌兰察布4分）函数l= (≥0 ) , （> 0 ）的图象如图所示，则结论： ① 两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 ) ② 当 > 3 ，时， ③ 当 ＝1时， BC = 8 ④ 当 逐渐增大时，l 随着 的增大而增大，2随着 的增大而减小．其中正确结论的序号是 ▲ .
【答案】①③④。
【考点】正比例函数和反正比例函数的图象特征。
【分析】①由(> 0 )解得，从而。即两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 )。
②当 > 3时，l= (≥0 ) 的图象在（> 0 ）的图象之上，所以。
③ 当 ＝1时，l=1，，所以BC =8。
④ 当 逐渐增大时，l 随着 的增大而增大，2随着 的增大而减小。
因此，正确结论的序号是①③④。
三、解答题
1.（重庆綦江10分）如图，已知A （4，），B （﹣2，﹣4）是一次函数的图象和反比例函数的图象的交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解祈式；
（2）求△A0B的面积．
【答案】解：（1）将A （4，），B （﹣2，﹣4）两点坐标代入中，
得4=（﹣2）×（﹣4）=，解得=2，=8。
将A（4，2），B（﹣2，﹣4）代入中，得，
解得。
∴反比例函数解析式为，一次函数的解祈式为。
（2）设直线AB交轴于C点，
由直线AB的解析式得C（0，﹣2），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，角二元一次方程。
【分析】（1）A 根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（4，），B （﹣2，﹣4）两点代入，即可求、的值，再将A、B两点坐标代入中得方程组即可求解。
（2）设直线AB交轴于C点，由直线AB的解析式求C点坐标，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC求面积
2.（黑龙江大庆7分）如图，制作一种产品的同时，需将原材料加热，设该材料温度为yºC，从加热开始计算的时间为xmin．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为15ºC，加热5min达到60ºC并停止加热；停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．
(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系，并
写出x的取值范围；
(2)根据工艺要求，在材料温度不低于30ºC的这段时间内，需要对
该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？
【答案】解：（1）设加热过程中一次函数表达式为
∵该函数图像经过点（0，15），（5，60），
∴ ，解得。
∴一次函数表达式为。
设加热停止后反比例函数表达式为，
该函数图像经过点（5，60），∴，得。
∴反比例函数表达式为。
（2）由题意得： ，解得； 解得
则。
所以对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟。
【考点】反比例函数和一次函数的应用，待定系数法，点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）确定两个函数后，找到函数图象经过的点的坐标，用待定系数法求得函数的解析式即可。
（2）分别令两个函数的函数值为30，解得两个的值相减即可得到答案。
3.（北京5分）如图，在平面直角坐标系O中，一次函数=﹣2的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（﹣1，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．
【答案】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数=﹣2的图象上，∴n=﹣2×（﹣1）=2。
∴点A的坐标为（﹣1，2）。
∵点A在反比例函数的图象上，∴k=﹣2
∴反比例函数的解析式是。
（2）点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）。
【考点】反比例函数与一次函数的交点，待定系数法。
【分析】（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式。
（2）以A为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点就是P。
4.（天津8分）已知一次函数(b为常数)的图象与反比例函数（为常数．且）
的图象相交于点P(3．1)．
(I) 求这两个函数的解析式；
(II) 当>3时，试判断与的大小．井说明理由。
【答案】解 ：(I)∵P(3．1)在一次函数一次函数上，∴1=3＋b。∴b=－2。
∴一次函数的解析式为。
同理，反比例函数的解析式为。
(II) ．理由如下：当时，，
又当时．一次函数随的增大而增大．反比例函数随的增大而减小，
∴当时。
【考点】点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的性质。
【分析】(I)因为点在曲线上点的坐标满足方程，所以利用点P在一次函数和反比例函数的图象上，把P的坐标分别代入即可求出。
(II)根据一次函数和反比例函数增减性的性质即可作出判断。
5.（重庆１０分）如图，在平面直角坐标系O中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与轴交于C点，点B的坐标为（6，）．线段OA=5，E为轴上一点，且sin∠AOE=．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
【答案】解：（1）过点A作AD⊥轴于D点，如图，
∵sin∠AOE=，OA=5，∴sin∠AOE=。
∴AD=4，∴DO=。
而点A在第二象限，∴点A的坐标为（－3，4）。
将A（－3，4）代入，得=－12，
∴所求的反比例函数的解析式为。
将B（6，）代入，得=－2。
将A（－3，4）和B（6，－2）分别代入，得
，解得。
∴所求的一次函数的解析式为。
（2）在中，令，即，解得。
∴C点坐标为（0，3），即OC=3，
∴。
【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】（1）过点A作AD⊥轴于D点，由sin∠AOE=，OA=5，根据正弦的定义可求出AD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（－3，4），把A（－3，4）代入，即可确定反比例函数的解析式；将B（6，）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入，即可确定一次函数函数的解析式。
（2）先令，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可。
6．（重庆潼南10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．求：
（1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出：当为何值时，一次函数值大于反比例函数值．
【答案】解：（1）由图象可知：点A、B的坐标分别为（2，），（﹣1，﹣1）。
∵反比例函数的图象经过点A（2，），
∴把点A的坐标代入，得。
∴反比例函数的解析式为：。
又∵一次函数的图象经过点A（2，）点B（﹣1，﹣1），
∴把点A、点B的坐标分别代入，得
，解得。
∴一次函数的解析式为。
（2）由图象可知：当＞2或﹣1＜＜0时一次函数值大于反比例函数值。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】（1）由题意，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，可得出A、B两点的坐标，再将A、B两点的坐标代入与，即可得出解析式。
（2）即求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，的取值范围即可。
7.（浙江省8分）若反比例函数与一次函数的图象都经过点A（，2）
(1)求反比例函数的解析式；
(2) 当反比例函数的值大于一次函数的值时，求自变量的取值范围．
【答案】解：(1)∵的图象过点A（，2），∴ =3
∵过点A（3，2）， ∴ =6 ， ∴
(2) 求反比例函数与一次函数的图象的交点坐标，得到方程：
解得：1= 3，2= －1。
∴ 另外一个交点是（－1，－6）。
∴ 当<－1或0<<3时，。
【考点】反比例函数和一次函数的图象，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】(1)先把点A的坐标代入一次函数，求出，再把A（3，2）代入反比例函数，求出，即可得到反比例函数的解析式。
（2）求出反比例函数与一次函数的图象的交点和横坐标，根据图象即可得。
8.（吉林长春6分）如图，平面直角坐标系中，直线与
轴交于点A，与双曲线在第一象限内交于点B，BC⊥轴于
点C，OC=2AO．求双曲线的解析式．
【答案】解：由直线与轴交于点A的坐标为（－1，0），
∴OA=1。
又∵OC=2OA，∴OC=2。∴点B的横坐标为2。代入直线 ，得y= 。
∴B（2， ）。
∵点B在双曲线上，∴k==2×=3，∴双曲线的解析式为= 。
【考点】反比例函数综合题，点的坐标与方程的关系。
【分析】先利用一次函数与图象的交点，再利用OC＝2AO求得C点的坐标，然后代入一次函数求得点B的坐标，进一步求得反比例函数的解析式即可。
9.（广西北海8分）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，BC在轴上，一次函数的图象
经过点A、C，并与y轴交于点E，反比例函数的图象经过点A．
(1)点E的坐标是 ；
(2)求一次函数和反比例函数的解析式；
(3)根据图象写出当＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．
【答案】解：（1）（0，－2）。
（2）由题意得知AB∥OE，∴△ABC∽△EOC。
∴，∴。
∵点C的坐标为（4，0），
∴把点C的坐标代入得，4－2＝0，∴。
∴所求一次函数的解析式为。
又∵点A在上，∴点A的坐标为（6，1）。
又∵点A在上，∴，∴。
∴所求反比例函数的解析式为。
（3）当＞0时，由图象可知：当＞6时，一次函数的值大于反比例函数的值。
【考点】相似三角形的判定和性质，点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的图象性质。
【分析】（1）在中令＝0，得＝－2，即得点E的坐标。
（2）由AB∥OE可得△ABC∽△EOC，从而根据相似三角形对应边成比例的性质可求出OC，从而得到点C的坐标。根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将点C的坐标代入求得，从而得到所求一次函数的解析式。从而求出点A的坐标，代入求得，从而得到所求反比例函数的解析式。
（3）由图象可知，在＞0时，当＞6时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，即一次函数的值大于反比例函数的值。
10.（广西来宾10分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A（1，4）和点B（，－2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得1＞2成立的自变量的取值范围；
（3）如果点C与点A关于轴对称，求△ABC的面积．
【答案】解：（1）∵函数的图象过点A（1，4），即，
∴=4，∴反比例函数的关系式为。
又∵点B（，－2）在上，
∴=－2，∴B（－2，－2）。
又∵一次函数过A、B两点，
∴依题意，得，解得 。
∴一次函数的关系式为。
（2）＜－2或0＜＜1。
（3）∵点C与点A关于轴对称，A（1，4），
∴点C的坐标为（1，－4）。
过点B作BD⊥AC于点D
∴AC=8，BD=3
∴S△ABC=×AC×BD=×8×3=12。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，解二元一次方程组，对称的性质。
【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为，再求出B的坐标是（－2，－2），利用待定系数法求一次函数的解析式。
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值的取值范围＜－2或0＜＜1。
（3）根据对称的性质求出点C的坐标，从而求得边AC的长和AC边上的高BD的长，因此求得△ABC的面积。
11.（广西贵港8分）如图所示，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx－3的图象在第一象限内相交
于点A (4，m)．
（1）求m的值及一次函数的解析式；
（2）若直线x＝2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，求
线段BC的长．
【答案】解：（1）∵点A (4，m)在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝＝1，∴A (4，1)。
把A (4，1)代入一次函数y＝kx－3，得4x－3＝1，∴k＝1。
∴一次函数的解析式为y＝x－3。
（2）∵直线x＝2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，
∴当x＝2时，yB＝＝2；yC＝2－3＝－1
∴线段BC的长为｜yB－yC｜＝2－(－1)＝3。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的图象。
【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，先求出点A的坐标，从而求出一次函数的解析式。
（2）求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长。
12.（广西柳州10分）如图，直线与双曲线在第
一象限内相交于点M，与轴交于点A．
（1）求m的取值范围和点A的坐标；
（2）若点B的坐标为（3，0），AM＝5，S△ABM＝8，求双曲线的函数表达式．
【答案】解：（1）∵在第一象限内，∴m－5＞0即m＞5。
又∵对直线来说，令，得即 ，
∵，∴，即。
∴点A的坐标为（－1，0）。
（2） 过点M作MC⊥AB于C。
∵点A的坐标（－1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB＝4 ，AO＝1。
∴S△ABM＝·AB·MC＝·4·MC＝8，∴MC＝4
又∵AM＝5，∴AC＝3。
又∵OA＝1，∴OC＝2。
∴点M的坐标为（2，4）。
把M（2，4）代入得，解得m＝13。
∴双曲线的函数表达式。
【考点】反比例函数综合题，点的坐标与方程的关系，勾股定理。
【分析】（1）根据反比例函数图象的性质，当比例系数大于0时，函数图象位于第一三象限，列出不等式求解即可；令纵坐标y等于0求出x的值，也就可以得到点A的坐标。
（2）过点M作MC⊥AB于C，根据点A、B的坐标求出AB的长度，再根据S△ABM=8求出MC的长度，然后在Rt△ACM中利用勾股定理求出AC的长度，从而得到OC的长度，也就得到点M的坐标，然后代入反比例函数解析式求出m的值，解析式可得。
13.（广西梧州6分）已知B（2，n）是正比例函数图象上的点．
（1）求点B的坐标；
（2）若某个反比例函数图象经过点B，求这个反比例函数的解析式．
【答案】解：（1）把B（2，n）代入得：n＝2×2＝4
∴B点坐标为（2，4）。
（2）设过B点的反比例函数解析式为，
把B（2，4）代入有，。
∴所求的反比例函数解析式为。
【考点】点的坐标与方程的关系，待定系数法。
【分析】（1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将点B的坐标代入求出n，从而得到点B的坐标。
（2）利用待定系数法，根据点的坐标与方程的关系即可求出。
14.（湖南湘潭8分）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于A（1，0）、B（0，﹣1）两点，且又与反比例函数的图象在第一象限交于C点，C点的横坐标为2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求C点坐标及反比例函数的解析式．
【答案】解：（1）∵一次函数的图象与轴，轴分别交于A（1，0）、B（0，﹣1）两点，
∴，解得。∴一次函数的解析式为。
（2）∵C点的横坐标为2，且在一次函数的图象上，∴=2﹣1=1。则C（2，1）。
又C点在反比例函数的图象上，代入即得。
∴反比例函数的解析式为。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）将A（1，0）、B（0，﹣1）两点，代入，求得，，即可得出一次函数的解析式。
（2）将=2代入一次函数的解析式，求得点C的纵坐标，再代入，求得，即可得出反比例函数的解析式。
15.（湖南衡阳8分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A(0，2)，
B(2，0)直线AB与反比例函数的图像交与点C和点D（－1，）．
(1)求直线AB和反比例函数的解析式；
(2)求∠ACO的度数；
(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，
当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．
【答案】解：(1)设直线AB的解析式为，
将A(0，2)，B(2，0)代入解析式中，得
，解得。
∴直线AB的解析式为。
将D（－1，）代入得，。
∴点D坐标为（－1，）。
将D（－1，）代入中得，。
∴反比例函数的解析式为。
(2)解方程组得，。
∴点C坐标为（3，），
过点C作CM⊥轴于点M，则在Rt△OMC中，
，，
∴，∴。
在Rt△AOB中，=，∴。
∴∠ACO=。
(3)如图，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，
∴= ∠COC′=90°－30°=60°，∠BOB′==60°。
∴∠AOB′=90°－∠BOB′=30°。
∵ ∠OAB=90°－∠ABO=30°，∴∠AOB′=∠OAB，
∴AB′= OB′=2．
答：当α为60度时OC′⊥AB，此时线段AB′的长为2。
【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数，三角形外角定理，旋转的性质，等腰三角形的性质。
【分析】（1）用待定系数法可求直线AB的解析式；把D点坐标代入直线AB的解析式，确定D点坐标，再代入反比例函数解析式确定m的值。
（2）由和联立解方程组求出C点坐标（3，﹣），利用勾股定理计算出OC的长，得到OA=OC；在Rt△OAB中，利用锐角三角函数计算得到∠OAB=30°，从而得到∠ACO的度数。
（3）由∠ACO=30°，要OC′⊥AB，则∠COC′=90°﹣30°=60°，即α=60°，得到∠BOB′=60°，而∠OBA=60°，得到△OBB′为等边三角形，于是有B′在AB上，BB′=2，即可求出AB′。
16.（湖南岳阳3分）如图，一次函数图象与轴相交于点B，与反比例函数图象相交于点A（1，﹣6）；△AOB的面积为6．求一次函数和反比例函数的解析式．
【答案】解：设反比例函数解析式为，
∵点A（1，﹣6）在反比例函数图象上，∴=1×（﹣6）=﹣6。
∴反比例函数解析式为。
∵△AOB的面积为6．∴×OB×6=6，∴OB=2，∴B（﹣2，0）。
设一次函数解析式为，
∵图象经过A（1，﹣6），B（﹣2，0），
∴，解得。
∴一次函数解析式为。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】根据待定系数法就可以求出反比例函数的解析式；再利用△BOA的面积求得B点的坐标，然后再利用待定系数法求出一次函数解析式。
17.（山东烟台8分）如图，已知反比例函数（1＞0）与一次函数相交于A、B两点，AC⊥轴于点C. 若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 .
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当为何值时，反比例函数1的值大于一次函数2的值？
【答案】解：（1）在Rt△OAC中，设OC＝，
∵tan∠AOC＝＝2，∴AC＝2×OC＝2，
∵S△OAC＝·OC·AC＝··2＝1，∴2＝1，∴＝±1（负值舍去）。
∴A点的坐标为（1，2）。
把A点的坐标代入中，得1＝2。∴反比例函数的表达式为。
把A点的坐标代入中，得2＋1＝2，∴2＝1。∴一次函数的表达式。
（2）B点的坐标为（－2，－1）。
当0＜＜1和＜－2时，1＞2。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的图象和性质，解方程和方程组。
【分析】（1）由“△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2”可求得点A的坐标，从而利用待定系数法求出两函数的关系式。
（2）联立两函数关系式，通过解方程组可求得点B的坐标（－2，－1）；反比例函数1的值大于一次函数2的值时的值，即1的图象在2的图象的上方时，所对应图象上点的横坐标的取值范围。
18.（山东菏泽7分）已知一次函数与反比例函数，其中一次函数的图象经过点P（k，5）．
①试确定反比例函数的表达式；
②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．
【答案】解：①∵一次函数的图象经过点P（k，5），
∴得5=k+2，解得k=3，
∴反比例函数的表达式为。
②联立得方程组，解得。
∴第三象限的交点Q的坐标为（﹣3，﹣1）。
【考点】点的坐标与方程的关系，解方程组。
【分析】①根据点在直线上，点的坐标满足方程，由一次函数的图象经过点P（k，5）可以得到5=k+2，从而求出k，也就求出了反比例函数的表达式。
②由于点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，联立得方程组，解方程组即可求解。
19．（山东泰安10分）如图，一次函数的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）∵直线过A（0，﹣2），B（1，0）两点，
∴，解得。∴一次函数的表达式为。
∴设M（m，n），作MD⊥轴于点D。
∵，OB＝1，MD＝n，
∴，即。
∴ n ＝4。
将M（m，4）代入得4＝2m－2，
∴m＝3。∴M（3，4）。
∵M（3，4）在双曲线上，∴，即。
∴反比例函数的表达式为。
（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交轴于点P，
∵MD⊥BP，∴∠PMD=∠MBD=∠ABO。
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO=。
∴在Rt△PDM中，。∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴在轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，解直角三角形。
【分析】（1）根据一次函数的图象经过A（0，﹣2），B（1，0），根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，可得到关于的方程组，从而可得到一次函数的解析式。设M（m，n）作MD⊥轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入求出m的值，由M（3，4）在双曲线上即可求出的值，从而求出反比例函数的解析式。
（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，从而可得出结论。
20.（山东聊城10分）如图，已知一次函数的图象交反比例函数的图象于
点A、B，交轴于点C．
(1)求的取值范围；
(2)若点A的坐标是(2，－4)，且＝，求的值和一
次函数的解析式．
【答案】解：(1) ∵反比例函数的图象在第四象限，
∴，解得。
(2) ∵点A(2，－4)在函数图象上，
∴，解得。
过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于点N，
∴∠BNC=∠AMC=90°。
又∵∠BCN=∠ACM，
∵△BCN∽△ACM。∴。
∵，∴，即。
∵AM=4，所∴BN=1。∴点B的纵坐标是－1。
∵点B在反比例函数的图象上，∴当时，。
∴点B的坐标是(8．－1)。
∵一次函数的图象过点A(2，－4)、B(8，－1)，
∴，解得。
∴一次函数的解析式是。
【考点】反比例函数图象的性质，点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，待定系数法，解二元一次方程组。
【分析】(1)由反比例函数图象在在第四象限，求得。
（2）点A(2，－4)在函数图象上即可求出m的值。
利用△BCN∽△ACM求得点B的纵坐标，然后利用点B在反比例函数的图象上，点的坐标满足方
程，求得点B的横坐标。这样由点A(2，－4)、B(8，－1)，用待定系数法即可求出一次函数的解析式。
21.（山东临沂10分）如图，一次函数与反比例函数的图象相较于A（2，3），B（﹣3，）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
（3）过点B作BC⊥轴，垂足为C，求S△ABC．
【答案】解：（1）∵点A（2，3）在的图象上，∴=6。
∴反比例函数的解析式为：。
∴