工程力学完全试题(含有答案).doc

模拟试题

模拟试题7参考解答

测7-1 多项选择题 （共4个小题）

测7-C
D
B
A

s
e
测 7-1-1 图
1-1（4分）图为低碳钢试件的拉伸实验的应力应变图形。在以下结论中， A B D 是正确的。
A．加载到B点前卸载，当应力消失为零时，应变也消失为零。
B．加载到C点卸载，当应力消失为零时，应变并不消失为零。
C．加载到C点卸载，再次加载，构件的屈服强度提高了。
D．在C点处卸载的卸载曲线，与在D点处卸载的卸载曲线几乎是平行的。
E．在C点处卸载的残余应变，与在D点处卸载的残余应变几乎是相等的。

测7-1-2（3分）下列各种情况中，重物均可以在梁上沿水平方向自由移动。重物所处的位置已经使所在的梁具有最大弯矩的情况有 BC D 。
a
a
a
a
A
a
a
B
a / 2
a
a
a
a
C
a
a
D
a / 2
测 7-1-2 图

测7-1-3（3分）圆轴扭转时，其表面各点所处于的应力状态属于 B D 。
A．单向应力状态 B．双向应力状态
C．三向应力状态 D．纯剪应力状态

测7-1-4（4分）在下列措施中， A B D 将明显地影响压杆失稳临界荷载。
A．改变杆件的长度 B．改变杆件两端的约束形式
C．在不改变横截面两个主惯性矩的前提下改变横截面形状
D．在不改变横截面形状的前提下改变横截面尺寸
E．在杆件上沿垂直于轴线方向上开孔

测7-2 填空题（共4个小题）

测7-2-1（3分） 直径为d的圆轴两端承受转矩m的作用而产生扭转变形，材料的泊松比为，其危险点的第一强度理论的相当应力 ，第二强度理论的相当应力 ，第三强度理论的相当应力 。

a
a
P
A
a
测 7-2-3 图
测7-2-2（2分）承受均布荷载q的悬臂梁的长度为L，其横截面是宽度为b，高度为h的矩形，该梁横截面上的最大弯曲切应力为 。

测7-2-3（4分）题图中左、右两杆的抗拉刚度分别是和，则A点的竖向位移为 。

测 7-2-4 图
x
α
测7-2-4（6分）图示单元体所有应力分量均为，材料的弹性模量，泊松比。应将应变片贴在与x轴成 45 度的方向上，才能得到最大拉应变读数；在此方向上的正应变
476 ，切应变 0 。

测7-3 计算题 ( 共5个小题 )

L
a
b
②
①
45°
d
测 7-3-1 图

测7-3-1 （14分）图示水平刚性梁由杆 ① 和杆 ② 悬挂。两杆材料和横截面面积相同。，，。由于制造误差，杆 ① 的长度做短了。材料常数 ，试求装配后杆 ① 和杆 ② 横截面上的应力。
解：设 ①、② 号杆分别承受拉力和，则有
平衡条件： 。
物理条件： ，。
协调条件： 。
可解得 ， 。
故有 ， 。
代入数据可得
测 7-3-2 图

120
F
500
120
120
，。

测7-3-2 （12分）如图结构中，螺栓许用切应力，刚架变形很小，试根据切应力强度设计螺栓尺寸d。
解：螺栓群承受竖直向下的力，每个螺栓相应的剪力（方向向下）
。
r2
r1
(a)
记 ，则螺栓群承受转矩 。记 ，，根据图(a) 可知，上下两个螺栓与中间两个螺柱所受的力的比例为 。记上下两个螺栓所受这部份剪力为，则有
，
故有 。
故有总剪力
。
由 可得
， 取 。
测7-3-3（15分）如图的结构中，立柱是外径 ，内外径之比 的空心圆杆，。板面尺寸 ，。板面承受的最大风压为 。不计立柱和板面自重，用第四强度理论求立柱中危险点的应力。
b
h
H
测 7-3-3 图
解：立柱承受弯扭组合变形。板面所受合力
。
弯矩
。
扭矩

。

第四强度理论相当应力

。

2a
a
F
EI
2EI
C
测 7-3-4 图
测7-3-4（20分）在如图的结构中，
(1) 求C点处的位移；
(2) 画出结构的剪力图和弯矩图。
解：解除C点处的约束而代之以约束力R，如图(a)，
F
R
R
(a)

协调条件
F / 5
4F / 5
2Fa / 5
4Fa / 5
，
。
故 。
由此可得结构剪力图和弯矩图。

测7-测 7-3-5 图
L
L
F
A
B
C
a
d
3-5（10分）图示结构中，杆为边长为的正方形截面，为直径为的圆杆，两杆材料相同，且皆为细长杆。已知A端固定，B、C为球铰。为使两杆同时失稳，直径与边长之比应为多少？
解：左端部份的临界荷载
，
右端部份的临界荷载 。
两杆同时失稳，有 ， 故有 。
即 ， 。
故有 。

模拟试题8参考解答

测8-1 填空题 （共3个小题）
测 8-1-2 图
a
a
a
P
2P
2P
3a / 2
测8-1-1（6分）某试件材料的弹性模量 E为，泊松比为0.25，则这种材料的剪切弹性模量G为 10 。若试件直径为，该试件拉伸到轴向应变为 时相应的拉伸应力为 20 ，直径缩短了 0.008 。

测8-1-2（4分）图示等截面直杆，杆长为，材料的抗拉刚度为，受力如图。杆中点横截面的铅垂位移为。
测8-R
EI
测 8-1-3 图
1-3（4分）为了使如图的抗弯刚度为的悬臂梁轴线变形成为半径为的圆弧（远大于梁的长度），可在梁
的自由端处加上一个大小为 的力偶矩。

测8-2 计算题 ( 共6个小题 )

测8-2-1（15分）画出图示外伸梁的剪力、弯矩图。
测 8-2-1 图
a
q
a
2qa 2
2a
qa
q
2qa 2
qa
2qa / 3
7qa / 3

解： ， ， ，
， ， 。
由此可得如下剪力图和弯矩图。

x
FS
2qa / 3
qa / 3
7qa / 3
x
M
2qa2 / 3
2qa2
A
B
C

测8-2-2（16分）在上题中，梁的横截面形状如图，，，求梁中横截面上最大的拉应力。
解：先求截面形心位置，以下边沿为基准，有

。
。
再求截面关于形心轴（即中性轴）的惯性矩

25
25
200
150
50
测 8-2-2 图

。
在BC区段上侧有最大拉应力
，
。
在A截面下侧有最大拉应力
，
。
故最大拉应力在BC区段上侧，。

测8-2-3（15分）阶梯形圆轴直径分别为 ，，轴上装有三个皮带轮，如图所示。已知由轮B输入的功率为 ，轮A输出的功率为 ，轴作匀速转动，转速 ，材料的许用切应力 ，，许用扭转角 。不考虑皮带轮厚度的影响，试校核轴的强度和刚度。
测 8-2-3 图

B
C
m1
m2
m3
500
1000
200
d2
d1
A

621 N×m
A
D
C
B
1432 N×m

解： 首先作阶梯轴的扭矩图，如图所示。
(1) 强度校核
，
。
根据平衡条件，有
，
AD段最大切应力为
。
AC段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。DC段的扭矩与AD段的相同，但其直径比AD段的大，所以DC段也满足强度要求。
CB段上最大切应力为
。
故CB段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。
(2) 刚度校核
AD段的最大单位长度扭转角为

。
CB段的单位长度扭转角为

。
综上所述可知，各段均满足强度、刚度要求。
A
a
a
q
a
C
B
D
测 8-2-4 图

测8-2-4（15分） 如图所示，刚架ABC的EI为常量；拉杆BD的横截面面积为A，弹性模量为E。试求C点的竖直位移。
解： 用叠加法求解。根据平衡条件很容易求出BD杆内的轴力
。
C点的竖直位移是由AB、BC和BD杆的变形引起的，由于BD杆伸长 ，使B点平移（因是小变形，忽略了B点位移的竖直分量），从而使C点下降了。
。
刚化拉杆DB和横梁BC。分布载荷q对B点产生力矩，使AB杆弯曲。这一弯曲相当于简支梁在端点作用力偶矩而产生的弯曲，相应地在B截面产生转角。这个转角引起C点的竖直位移为
。
刚化拉杆DB和竖梁AB。BC杆可视为一悬臂梁，在均布载荷作用下，C点的竖直位移为
。
所以C点的总竖直位移

。

测8-2-5（15分）在如图的悬臂梁中，，集中力 。臂长 ，横截面为矩形且 ，材料 ，试确定横截面尺寸。
b
h
F
q
L
测 8-2-5 图

解：问题属于斜弯曲，危险截面位于固定端面。

，
，
。
，
故有
，
故取 ，。

测8-2-6（10分）如图所示的结构中，两根立柱都是大柔度杆，抗弯刚度均为，只考虑图示平面内的稳定，求竖向荷载的最大值。并求x为何值时可以取此最大值。
测 8-2-6 图
F
x
L
H
解：两柱的临界荷载分别为
和 ，
荷载的最大值
。
对左柱顶端取矩可得
， 。

模拟试题9参考解答

测9-1 单选题 （共6个小题）

测9-m
测 9-1-1 图
1-1（4分）如图所示的悬臂梁，自由端受力偶m的作用，关于梁中性层上正应力及切应力的下列四种表述中，只有 C 是正确的。
A．，； B．，；
C．，； D．，。
②
④
测 9-1-2 图
①
③

测9-1-2（4分）在受扭圆轴中取同轴圆柱面 ④，两个过轴线的纵截面 ① 和 ②，以及横截面 ③，如图所示。在这些面中，没有切应力存在的面是 D 。
A．① B．② C．③ D．④

A
s / 2
s
B
s / 2
s
C
s
s / 2
D
测 9-1-3 图
测9-1-3（5分）下列应力状态中，最容易发生剪切破坏的情况是 B 。

测 9-1-4 图
m
a
2a
d
C
B
A
测9-1-4（6分）图示圆轴AB两端固定，在横截面C处受集中力偶矩m的作用，已知圆轴长度为3a，直径为d，剪切弹性模量为G，截面C的扭转角φ，则所加的外力偶矩m等于 B 。
A． B．
C． D．

b
c
d
f
e
a
g
h
F
测 9-1-5 图
测9-1-5（5分）图示受压柱中部横截面上最大压应力的位置是下列线段中的 C 。
A．ab B．cd C．ef D．gh

测9-1-6（3分）细长直钢杆两端承受轴向压力，材料的比例极限

为，屈服极限为，当钢杆失稳时，杆中的应力s 的值满足下
列不等式中的 B 。
A．≥ B．≤ C．≥ D．≤

测9-2 计算题 ( 共5个小题 )

测9-2-1（18分） 如图的两根杆件的弹性模量E、横截面积A均相等且为已知，许用应力为。为了提高结构的许用荷载，可以事先将 ① 号杆加工得比a略短，然后再组装起来。求合理的值。并求这样处理后的许用荷载。处理后的许用荷载比不处理提高多少百分点？
解：先考虑没有间隙时两杆中的轴力。设这种情况下两杆的轴力分别为和，则有平衡条件：
， 即 。
测 9-2-1 图
F
a
a
a
①
②
d
a
物理条件：
， 。
协调条件：
。
可解得
， 。
再考虑没有荷载而只有间隙时两杆中的轴力。设这种情况下两杆的轴力分别为拉力和压力，则有平衡条件：

，
物理条件：
， 。
协调条件：
。
可得 ， 。
考虑既有荷载又有间隙时两杆中的轴力。
， 。
应力 ， 。
合理的值应使两杆同时达到许用应力，故有

。
由之可得
。

测 9-2-2 图
a
q
a
qa 2
q
测9-2-2（10分）画出图示简支梁的剪力、弯矩图。
解：可以看出，所有外荷载已构成平衡力系，故两处支反力均为零。
FS
qa
x
M
qa2 / 2
qa2 / 2
x
由外荷载可画出以下内力图：

测9-2-3（14分）求如图简支梁中点A处的挠度。
解：由于对称性，原结构中点的挠度与如图(a) 的悬臂梁自由端B处的挠度相等。
A
EI
F
a
2EI
测 9-2-3 图
a
a
a
用叠加法求B处挠度。
C点处挠度，如图(b)：
，
C点处转角：
A
B
F / 2
EI
2EI
C
(a)
。
B点相对于C点的挠度： 。
故B点相对于A点的挠度：
F / 2
2EI
A
C
Fa / 2
(b)

。
故原结构中点A处的挠度： 。

测9-2-4（15分）梁的横截面形状如图，。梁总长 ，承受竖直方向的均布荷载。材料的许用拉应力 ，许用压应力 。梁的两个铰支座在水平方向上的位置可以调整。试求铰支座处于什么位置可使梁的许用荷载为最大，并求出相应的许用荷载。
L
q
a
a
(a)
L
q
40
24
测 9-2-4 图

解：两支座显然应该对称布置，如图(a)。这样两个支座的支反力均为 。
由于许用压应力远大于许用拉应力，故梁的强度应以拉应力作为控制因素。
梁中承受最大正弯矩的截面下侧受拉，最大拉应力 ；梁中承受最大负弯矩 的截面上侧受拉，最大拉应力 。
支座的最佳位置，应使

，
故有 。
设左支座离左端距离为a，则最大负弯矩产生在支座处，其绝对值 ，最大正弯矩产生在中截面，其值 。故有
。
由上式可解得
。
在这种情况下，
，
故有 ，
即许用荷载 。

测9-2-5（16分）图示水平直角折杆如图所示 ，d 、a 和F 为已知。试求：
测 9-2-5 图
C
B
A
2F
F
2a
a
d
(1) AB段危险截面上的内力、危险点位置；
(2) 按第三强度理论写出危险点的相当应力表达式 。
解：(1) 易得危险截面为A处横截面。
该处有轴力 ，扭矩 ，弯矩。危险点在A截面下点。
(2) 危险点处有：
最大压应力 ，
最大切应力 。
第三强度相当应力 。

模拟试题10参考解答

测10-1 填空题 （共5个小题）
测10-1-1 （4分）图示为某种材料的拉压和扭转实验的应力应变图线。图中 ② 号线是拉压试验结果， ① 号线是扭转试验结果。这种材料的泊松比为 0.25 。

测10-1-2（6分）边长为1的正方形产生均匀变形后成为如图的矩形，其中长边为1.005，短边为0.998，偏转角度为0.2°，该正方形的正应变 0.005 ， –0.002 ， 切应变 0 。
x
y
测 10-1-2 图
0.0012
240
96
s ,t (MPa)
e , g
①
②
测 10-1-1 图

2a
a
2a
a
F
F
F
测 10-1-3 图

测10-1-3（4分）如图，两个悬臂梁的自由端都用铰与一个刚性圆盘相连接。圆盘周边作用着三个F力，方向如图。左边梁中绝对值最大的弯矩为 Fa ，右边梁中绝对值最大的弯矩为 3Fa 。

测10-1-4（2分）直径为d的实心圆轴两端承受转矩的扭转作用，圆轴外表面上的切应力为 ，在相同转矩作用下，外径为2d、内径为d的空心圆轴外表面上的切应力
。

F
2L
测 10-1-5 图
测10-1-5（4分）图示的大柔度压杆由弹性模量为E、直径为d的圆杆制成，该压杆的屈曲临界荷载为
。

测10-2 计算题 ( 共5个小题 )

测10-2-1（12分）如图，横梁是刚性的，①、②、③号竖杆的抗拉刚度均为，求三杆中的轴力。
测 10-2-1 图
F
L
a / 2
a
②
①
③
a / 2
②
①
③
F / 2
F / 2
(a)
F / 2
②
①
③
F / 2
(b)

解：由横梁的特点，可将荷载分为对称部分（如图(a)）和反对称部分（如图(b)）的和。
对于对称部分，易得三杆轴力均为拉力。
对于反对称部分，由于变形反对称，② 号杆不变形，故轴力为零。对中点取矩，可得 ① 号杆有拉力，③ 号杆有压力。
由此可得：① 号杆有拉力 ，② 号杆有拉力 ，③ 号杆有拉力 。

测10-测 10-2-2 图
m
L
L
A
B
2-2 （12分）两端固定的空心圆轴内径，外径，长，在中点承受集中转矩 。材料剪切弹性模量 。若许用切应力，轴的任意两个横截面的相对转角不得超过0.1º。校核该轴的强度和刚度。
解：由于结构的对称性，可得左右两段的扭矩均为
。

。
。
故强度足够。
轴的任意两个端面的最大转角是固定端与中截面的相对转角，这个角度

，
故刚度不足。

测10-2-3（13分）画出图示刚架的内力图。
q
qa
3qa2 / 2
qa
qa
测 10-2-3 图
q
a
a
qa
解：

FN
qa
M
3qa2 / 2
qa2 / 2
FS
qa

测 10-2-4 图
F1
h = 400
a = 300
F2

测10-2-4 （18分）在如图的结构中，力 ，，竖直实心圆柱的直径，许用应力。试用第三强度理论校核竖杆强度。
解：使圆柱产生压弯组合变形。其弯矩，压缩正应力
。

使圆柱产生弯扭组合变形。
其弯矩 。扭矩。故扭转切应力

。
危险截面在圆柱底面，其弯矩

。
故最大弯曲正应力
。
故危险点最大正应力 。
危险点第三强度理论相当应力
。
故立柱安全。

a
a
a
q
2qa2
C
测 10-2-5 图

A
B
测10-2-5（25分）在如图的结构中，AC梁的横截面是边长为的正方形，CB梁的横截面是宽为 、高为的矩形。
(1) 求C点处的位移；
q
2qa2
C
R
R
(a)
(2) 求两梁中的最大弯曲正应力及其所出现的位置。
解：(1) 记左、右梁的抗弯刚度分别为 和 。设铰对左梁起向上支承R的作用，如图(a)。
左梁C端挠度：

。
右梁C端挠度：
。
协调条件：
。
可得 。
故C端的挠度：
。
(2) 由上述结论可得，左梁上绝对值最大的弯矩为 ，出现在集中力偶矩作用处偏左。相应的最大弯曲正应力
。
右梁上绝对值最大的弯矩为 ，出现在固定端处。相应的最大弯曲正应力
。

模拟试题11参考解答

测11-1 填空题（共5个小题）

测11-1-1（2分）题图上图的偏心受拉杆与下图的拉弯组合杆的变形及应力情况在 离两端面不很近 的区域内是完全一样的。做出这一判断的理论依据是 圣维南原理 。

测 11-1-2 图
s
s
测11-1-2（2分）对于如图形式的应力状态，若材料常数为和，45°方向上的应变片的理论读数为 0 。
F
F
e
F
F
Fe
Fe
测 11-1-1 图

测11-1-3（3分）两根圆轴承受相同的扭矩。一根为实心，另一根为内外径之比为0.6的空心圆轴，两轴横截面积相等。实心圆轴最大切应力与空心圆轴最大切应力之比为
1.7 。

测11-1-4（5分） 承受均布荷载q的悬臂梁长度为L，横截面为直径是d的圆。在具有
最大正应力处的第三强度理论的相当应力 ，在具有最大切应力处的第三强度理论的相当应力 。

测11-a
b
c
d
F
L
a
A
B
C
d
测 11-1-5 图
1-5（2分）直角曲拐ABC由铸铁制成，在C处受到铅垂方向作用力F的作用，在此曲拐轴的危险截面A上，其弯矩值为 FL 、扭矩值为 Fa 、剪力值为 F ，A截面的危险点为a、b、c、d四点中的 a 。

测11-2 选择题 （共5个小题）

测11-2-1（2分）在低碳钢试件的拉伸实验中，杆件横截面上的应力水平达到某个值之前卸载，不会产生残余变形；而超过这个值之后卸载，就将产生残余变形。这个值被称为 B 。
A．比例极限 B．屈服极限 C．强度极限 D．疲劳极限

测11-2-2（2分）等截面直梁在弯曲变形时，在 D 最大处挠度曲线曲率最大。
A．挠度 B．转角 C．剪力 D．弯矩

测11-2-3（3分）下列关于位移和变形的结论中，只有 A 是正确的。
A．若物体各点均无位移，则该物体必定无变形；
B．若物体产生位移，则必定同时产生变形；
C．若物体无变形，则必定物体内各点均无位移；
D．若物体产生变形，则必定物体内各点均有位移。

测11-2-4（3分）某个梁的挠度函数为 ，则该梁在 处的弯矩的数值为 D 。
A． B． C． D．

测11-2-5（2分）按许用应力计算，一个壁很薄的圆筒可以承受的转矩作用。可是，当外加转矩达到时，圆筒表面突然产生许多皱折，以至于无法继续加载。这种现象称为 C 。
A．屈服 B．颈缩 C．失稳 D．脆性

测11-3 计算题 ( 共5个小题 )

FN1
FN2
a
a
测 11-3-1 图
(a)
测11-3-1（15分）如图所示，阶梯形钢杆的两端在 时被固定，钢杆上下两段的横截面面积分别为 ，，当温度升高至 时，试求杆内各部分的温度应力。钢杆的 ，。
解： 阶梯形钢杆的受力图如图 (a) 所示。平衡条件：
， 。
物理条件：
， 。
协调方程：

。

解得
。
杆各部分的应力分别为
，
。

测11-3-2（15分）如图，将一段圆木制成矩形截面梁，该梁的荷载沿竖直方向。
(1) 要使梁具有最大的强度，h与b的比值应为多少？
(2) 要使梁具有最大的刚度，h与b的比值应为多少？
解：(1) 要使梁具有最大的强度，应使其抗弯截面系数为最大。
测 11-3-2 图
b
h
d
，
，
， 。
(2) 要使梁具有最大的刚度，应使其惯性矩为最大。
，

，
， 。

测11-3-3（18分） 梁AB和CD的抗弯刚度已知 ，梁端B、C间有间隙。若在载荷F作用下B处的挠度大于，求梁C点的挠度 。
解：设两自由端的相互作用力为R，则左梁自由端挠度
测 11-3-3 图
Δ
2L
L
B
C
A
EI
2EI
F
D
，
右梁自由端挠度
。
由协调条件 即有
。
可得 。
故有C点挠度
。

测11-3-4（14分）如图所示，实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速，传递的功率，材料的许用切应力。试选择实心轴的直径和内外径比值为0.5的空心轴的外径。
解： 轴所传递的扭矩为
。
d1
d2
D2
测 11-3-4 图
由实心圆轴的强度条件
。
可得实心圆轴的直径为
。
空心圆轴的外径为
。

测11-3-5（12分）竖直放置的壁厚均匀的铝制杆件横截面尺寸如图。杆件高 ，材料弹性模量 ，杆件下端四周牢固地与基座固结，上端自由。求构件的稳定临界荷载。
解：其惯性矩
100
200
10
测 11-3-5 图

，
临界荷载

。

模拟试题12参考解答

测12-1 填空题 （共2个小题）
测12-1-1（4分）某梁的弯矩图如图所示，其中曲线段为抛物线。从图中可看出，包括支反作用，该梁上一共作用了 1 个集中力， 3 个集中力偶矩，以及 1 段均布力。

测12-1-4（4分）如图弯曲梁的弹性模量为，泊松比为，抗弯截面系数为，弯矩为。在梁下边沿与轴线成45°方向上有一应变片。该应变片的理论读数为
。
测 12-1-1 图
M
x

测 11-1-4 图
M
M

测12-2 选择题 （共3个小题）

测12-2-1 （4分）铸铁梁上有如图的移动荷载。同一横截面有下列不同的放置方式，从强度考虑，选取 B 的截面放置形式最好。
A
B
C
D
测 12-2-1 图

测12-2-2（4分）横截面积为A的直杆两端承受轴线方向上的拉力F的作用。在杆件中部任意方位的横截面上考虑，以下的结论中只有 C 是正确的。
A．只有正应力而没有切应力；
B．又有正应力又有切应力；
C．最大正应力为 ，最大切应力为 ；
D．最大正应力为 ，最大切应力为 。
F
1
2
3

测12-2-3（4分）如图的悬臂梁上的三个单元体①、②、③ 的应力状态是以下各种情况中的 A 。

①
②
③
A
①
②
③
B
①
②
③
C
①
②
③
D
测 12-2-3 图

测12-3 计算题 ( 共6个小题 )

测12-b
F
2b
A
h
①
②
测 12-3-1 图
3-1（10分）图中横梁为刚性的，左右两根圆杆材料的弹性模量均为E，直径分别为d和2d，求力F作用点A处的竖向位移。
解：易于由平衡得左右两杆的轴力
， 。
由此可得两杆的伸长量

， 。
故A点位移
。

测12-3-2（14分）受纯弯曲的梁横截面如图所示，该截面上作用有正弯矩M。试求该截面中上面2/3部分与下面1/3部分各自所承受的弯矩比。
解：上部弯矩
，
式中是上部关于整体中性轴的惯性矩。
b
2a
a
测 12-3-2 图
同理，有 。故有 。
其中， 。

故有 。

测12-3-3（16分）悬臂梁AB因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁AC进行加固，如图所示。试求：
(1) 二梁接触处的压力；
(2) 加固后梁AB的最大弯矩和B点的挠度减小了百分之多少？
解：本题为一次静不定问题。
(1) 求接触压力R。上梁C点位移
。
P
B
C
A
L / 2
L / 2
测 12-3-3 图
下梁C点位移
。
代入位移协调条件 可得
。

故有 。
(2) 计算加固前、后AB梁弯矩、挠度变化
加固前 ，。
加固后 。
。
减小百分数
％， ％。

测12-3-4（15分） 在如图的结构中，圆轴两端由铰支承。矩形截面曲臂部份的抗弯刚度 为已知。圆轴部份的抗扭刚度与曲臂部份的抗弯刚度间有 。同时A端
处有一个阻止圆轴转动的螺圈弹簧，其刚度为。未加荷载时曲拐处于水平面上。求加力F后C截面的竖向位移。
解：作用在圆轴上的力偶矩为，因此由于螺圈弹簧的作用，圆轴整体转动的角度
测 12-3-4 图
A
b
GIP
EI
B
C
2a
F
a
。
同时，由于圆轴的弹性变形，AB两端面间的相对转角
。
这样，由于B端面的转动而产生的C截面的竖向位移
。
另外，曲拐部份的弹性变形 。因此C截面的竖向位移
。

测12-3-5（15分）在如图的结构中，直角丁字臂两端分别有集中力（向下）和（向上）的作用，其中。臂长，立柱横截面，，求立柱横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解：两个集中力构成的力偶矩在截面长边引起最大弯曲正应力。弯矩
，
。
集中力之差在截面短边引起最大弯曲正应力。弯矩
测 12-3-5 图
a / 2
F
b
h
2F
a
a / 2
，

。
同时，集中力之差还在截面引起拉伸应力，其值为
。
故最大拉应力 ，
最大压应力 。

测12-3-6（10分）一根高度为的立柱由一块长度为、宽度为、厚度为的板材卷制而成，横截面为如图的空心矩形截面，接缝牢固焊接。立柱下端四周牢固地与基座固结，上端自由。为使立柱的抗失稳能力为最高，横截面的宽度b和高度h应取何种比例？若材料弹性模量 ，根据你所选择的比例，计算该柱的临界荷载。（横截面壁厚中线总长度按计算）
解：截面为正方形最为合理。即 。 。
这种情况下，正方形外边长 ，内边长 ，横截面惯性矩
测 12-3-6 图
b
h
。
稳定临界荷载

。

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