解三角形题型总结(原创).doc

解三角形题型总结
中的常见结论和定理：
一、 内角和定理及诱导公式：
1．因为，
所以；
；

因为
所以，，…………
2．大边对大角

3.在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;
(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；
(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.

二、 正弦定理：
文字：在中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。
符号：

公式变形：①(边转化成角）
②（角转化成边）

③

④
三、 余弦定理：
文字：在中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍。
符号：

变形：

四、面积公式：
（1） （2）（其中为三角形内切圆半径）
（3）

五、 常见三角形的基本类型及解法：
（1）已知两角和一边（如已知边）
解法：根据内角和求出角；
根据正弦定理求出其余两边

（2）已知两边和夹角（如已知）
解法：根据余弦定理求出边；
根据余弦定理的变形求；
根据内角和定理求角.

（3）已知三边（如：）
解法：根据余弦定理的变形求；
根据余弦定理的变形求角；

根据内角和定理求角

（4）已知两边和其中一边对角（如：）（注意讨论解的情况）
解法1：若只求第三边，用余弦定理：；

解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理求（可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）；

再根据内角和定理求角；.
先看一道例题：
例：在中，已知，求角C。（答案：或）

六、 在中，已知，则解的情况为：

法一：几何法（不建议使用）
（注：表中，为锐角时，若，无解；为钝角或直角时，若，无解.

为锐角
为钝角或直角

图

形

关系式

解的
个数
一解
两解
一解
一解
法二：代数法（建议使用）
通过例子说明步骤：大角对大边 结合 正弦定理 一起使用（见题型一）

题型总结：
题型一、利用正弦定理解决“两边一对角”的类型
模型：在中，已知边和角,若不是求第三边c，用正弦定理。
例1：在中，已知，求∠C。（答案：）
例2：在中，已知，求∠C。（答案：或）
例3：在中，已知，求∠A。（答案：无解）
例4：（3）在中，已知，求∠A。（答案：一解）

练习：1。在中，已知解三角形。
2．在中，已知解三角形。
3．在中，已知解三角形。

题型二、利用正弦定理解决“已知两角一边”的类型
两角一边（两角一对边，两角一夹边）
模型1：在中，已知角和边,解三角形。
模型2：在中，已知角和边,解三角形。
用正弦定理
例题：
例题1：在中，已知解三角形。
解析：根据三角形内角和定理，得，再根据正弦定理，得，再根据余弦定理，
得，所以
综上：。
例题2：在中，已知解三角形。
解析：根据三角形内角和定理，得，再根据正弦定理，得，再根据正弦定理，得。综上，。
练习：
1在中，已知解三角形。
2在中，已知解三角形。

题型三、利用余弦定理解决“已知两边一夹角”的类型
模型：在中，已知边和角,解三角形。用余弦定理

例题1：在中，已知解三角形。
解析：根据余弦定理，得，
所以，再根据余弦定理，得，
又因为 ，所以，
再根据内角和定理，得。
综上，。

练习：
1在中，已知解三角形。

题型四、利用余弦定理解决“已知三边”的类型
模型：已知边解三角形。根据余弦定理，，，，分别求得角（或根据内角和定理求得角)。
例题1：在中，已知解三角形。
解析：根据余弦定理，得，又因为，所以，再根据余弦定理，
得，又,所以,
再根据三角形内角和定理，得。
综上，。

练习：
1在中，已知解三角形。

题型五、利用余弦定理解决“已知两边一对角”的类型
模型：在中，已知边和角,若只求第三边c，用余弦定理。
模型： 在中，已知边和角,若不是只求第三边c，用正弦定理。

例题：
例题1：在中，已知，求边b。
解析：根据余弦定理，得，
既，解得或（舍去），

练习：在中，已知，求边a。（答案：）

题型六、三角形面积
例1．在中，，，，求的值和的面积。
解：由计算它的对偶关系式的值。
①

,
②
①+②得， ①－②得。
从而。
以下解法略去。

练习1．在中,角,,对应的边分别是,,.已知.
(I)求角的大小;
(II)若的面积,,求的值.
解:(I)由已知条件得:
,
解得,角
(II),
由余弦定理得:,

练习2. 已知的周长为，且．
（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数．
解：（I）由题意及正弦定理，得，，
两式相减，得．
（II）由的面积，得，
由余弦定理，得，
所以．
练习3．在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得．
联立方程组解得，．
（Ⅱ）由题意得，
即，
①当时，，，，，
②当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，．
所以的面积．
题型七：看到 “a2 = b2+c2－bc”想到余弦定理
例1：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知，
且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。
分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。
解法一：∵b2=ac。
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。
在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，
∴∠A=60°。
在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，
∠A=60°，
∴=sin60°=。
解法二：在△ABC中，
由面积公式得bcsinA=acsinB。
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。
∴=sinA=。
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

题型八：利用正、余弦定理判断三角形形状——边角互化问题
例1. 在中，已知，那么一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形

解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．
解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．
∴ ＝，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)．
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，
⑵统一化为边，再判断(如解法2)．

例2. 在中，若，试判断△ABC的形状。
答案：故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

练习1. 在中，，判断△ABC的形状。
答案：为等腰三角形或直角三角形。

练习2、在中,，这个三角形是__________三角形。

练习3、

题型九：三角形中最值问题
例1．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。
解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos =sin。
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2(sin － )2+ ；
当sin = ，即A=时, cosA+2cos取得最大值为。
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。

练习. 设锐角的内角的对边为，
（1） 求∠B的大小。 （2）求的取值范围。

题型十、边角互化问题

例1、在中，已知2b=a+c，证明：2 sinB= sinA+ sinC

例2、在中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a = b cosC + c cosB

例3、已知为的三个内角的对边，向量，．若，且，则角 ．

例4、在中，已知BC=a，AC=b，且a，b是方程的两个根，求：⑴角C的度数 ⑵ AB的长

例5. 已知的周长为，且．
⑴求边的长；⑵若的面积为，求角的度数．

练习1．设的内角所对的边长分别为，且，．⑴ 求边长；⑵ 若的面积，求的周长．

练习2. 在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积

练习3.在中分别为的对边，若，
（1）求的大小；（2）若，求和的值。

题型十一：正余弦定理的实际应用
例6．（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）

解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，        在△ABC中，即AB=
因此，BD=
故B，D的距离约为0.33km。
点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。