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(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义
最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义
第1讲 与有理数有关的概念
考点·方法·破译
1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.
2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.
3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.
经典·考题·赏析
【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克
【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”
解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.
【变式题组】
01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）
A． －18% B． －8% C． ＋2% D． ＋8%
02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )
A． －5吨 B． ＋5吨 C． －3吨 D． ＋3吨
03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_
【例２】在－，π，0，这四个数中有理数的个数（ )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数；
（2）按整数、分数分类，有理数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－是分数，是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．
【变式题组】
01．在7，0，15，－，－301，31.25，－，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .
02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－，，－，0.1，－5.32，123, 2.333

【例３】（宁夏）有一列数为－1，，－，，－，，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－.
【变式题组】
01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .
02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填.
03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为 .
【例４】（2008年河北张家口）若1＋的相反数是－3，则m的相反数是.
【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题＝2＝4，则m的相反数－4。
【变式题组】
01．（四川宜宾）－5的相反数是( )
A．5 B． C． －5 D． －
02．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则a＋b＋＝
03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C 内分别填人适当的
数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C内的
三个数依次为( )
A． － 1 ,2，0 B． 0，－2，1 C． －2，0，1 D． 2，1，0
【例５】（湖北）a、b为有理数，且a＞0，b＜0，＞a，则、－a,－b的大小顺序是( )
A． b＜－a＜a＜－b B． –a＜b＜a＜－b
C． –b＜a＜－a＜b D． –a＜a＜－b＜b
【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离,即,用式子表示为＝.本题注意数形结合思想，画一条数轴 标出a、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A．
【变式题组】
01． 推理①若a＝b，则＝；②若＝，则a＝b；③若a≠b，则≠；④若
≠，则a≠b，其中正确的个数为（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
02．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，则＋＋＝ .

03．a、b、c为不等于O的有理数，则＋＋的值可能是.
【例６】（江西课改）已知－4|＋－8|＝0，则的值.
【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即≥0．所以－4|≥0，－8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.
解：因为－4|≥0，－8|≥0，又－4|＋－8|＝0，∴－4|＝0，－8|＝0即a－4＝0，b－8＝0，a＝4，b＝8.故＝＝
【变式题组】
01．已知＝1，＝2，＝3，且a＞b＞c，求a＋b＋C．

02．（毕节）若－3|＋＋2|＝0，则m＋2n的值为( )
A． －4 B． －1 C． 0 D． 4
03．已知＝8，＝2，且－＝b－a，求a和b的值

【例７】（第18届迎春杯）已知(m＋n)2＋＝m，且|2m－n－2|＝0．求的值．
【解法指导】本例的关键是通过分析(m＋n)2＋的符号，挖掘出m的符号特征,从而把问题转化为(m＋n)2＝0，|2m－n－2|＝0，找到解题途径.
解：∵(m＋n)2≥0，≥O ∴(m＋n)2＋≥0，而(m＋n)2＋＝m
∴ m≥0,∴(m＋n)2＋m＝m，即(m＋n)2＝0
∴m＋n＝O ① 又∵|2m－n－2|＝0 ∴2m－n－2＝0 ②
由①②得m＝，n＝－，∴ ＝－
【变式题组】
01．已知(a＋b)2＋＋5|＝b＋5且|2a－b–1|＝0，求a－b．

02．（第16届迎春杯）已知y＝－＋＋19|＋－a－96|，如果19＜a＜96．a≤x≤96,求y的最大值.
演练巩固·反馈提高
01．观察下列有规律的数…根据其规律可知第9个数是( )
A． B． C． D．
02．（芜湖）－6的绝对值是( )
A． 6 B． －6 C． D． －
03．在－,π,8.四个数中，有理数的个数为( )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
04．若一个数的相反数为a＋b，则这个数是( )
A． a－b B． b－a C． –a＋b D． –a－b
05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )
A． 0和6 B． 0和－6 C． 3和－3 D． 0和3
06．若－a不是负数，则a( )
A． 是正数 B． 不是负数 C． 是负数 D． 不是正数
07．下列结论中，正确的是( )①若a＝b,则＝ ②若a＝－b,则＝③若
＝，则a＝－b ④若＝,则a＝b
A． ①② B． ③④ C． ①④ D． ②③
08．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a、b，－a，的大小关系正确
的是( )
A． ＞a＞－a＞b B． ＞b＞a＞－a
C． a＞＞b＞－a D． a＞＞－a＞b
09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是.
10．已知＋2|＋＋2|＝0，则＝ .
11．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，求＋＋＋=
12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a、a＋b也可以表示成0、b、的形式，试求a、b的值.

13．已知＝4，＝5，＝6，且a＞b＞c，求a＋b－c．

14．具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，－1|＋－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.

15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，＝＝＝－当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边＝－＝－＝b－a＝－；②如图3，点A、B都在原点的左边，＝－＝－＝－b－(－a)＝－；③如图4，点A、B在原点的两边，＝－＝－＝－b－（－a）＝－；综上，数轴上A、B两点之间的距离＝－．

回答下列问题:
⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , 3
，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4
；
⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是 1|
，如果＝2，那么x＝ 1或3；
⑶当代数式＋1|＋－2|取最小值时，相应的x的取值范围是 7
．
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01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为1999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )
A． 1998 B． 1999 C． 2000 D． 2001
02．（第18届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①＜0;②－＋－＝－；③（a－b）(b－c)(c－a)＞0；④＜1－．其中正确的结论有( )
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
03．如果a、b、c是非零有理数，且a＋b＋c＝0．那么＋＋ - 的所有可能的值为（ ）
A． －1 B． 1或－1 C． 2或－2 D． 0或－2
04．已知＝－m，化简－1 |－－2|所得结果( )
A． －1 B． 1 C． 2m －3 D． 3－ 2m
05．如果0＜p＜15，那么代数式－＋－15|＋－p－15|在p≤x≤15的最小值( )
A． 30 B． 0 C． 15 D． 一个与p有关的代数式
06．＋1|＋－2|＋－3|的最小值为 .
07．若a＞0，b＜0，使－＋－＝a－b成立的x取值范围 .
08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m、n满足＋－5＝0所有这样的整数组(m，n)共有 组
09．若非零有理数m、n、p满足＋＋＝1．则＝ .
10．（19届希望杯试题）试求－1|＋－2|＋－3|＋…＋－1997|的最小值.

11．已知(＋1|＋－2|)（－2|＋＋1|）（－3|＋＋1|）＝36，求x＋2y＋3z的最大值和最小值.

12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2
个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规
律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.

13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.

第02讲 有理数的加减法
考点·方法·破译
1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.
2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.
3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.
4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.
经典·考题·赏析
【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（ ）
A．0.3元 B．16.2元 C．16.8元 D．18元
【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．
【变式题组】
01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（ ）
A．8℃ B．－8℃ C．6℃ D．2℃
02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为
03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为
【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）
【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.
解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85
【变式题组】
01．（－2.5）＋（－3）＋（－1）＋（－1）

02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）

03．0.125＋3＋（－3）＋11＋（－0.25）

【例３】计算
【解法指导】依进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.
解：原式＝
＝ ＝＝
【变式题组】
01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）

02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算＝.
【例４】如果a＜0，b＞0，a＋b＜0，那么下列关系中正确的是（ ）
A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－a＞b＞－b C．b＞a＞－b＞－a D．－a＞b＞－b＞a
【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.
解：∵a＜0，b＞0，∴a＋b是异号两数之和又a＋b＜0，∴a、b中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b | 将a、b、－a、－b表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a＞b＞－b＞a
【变式题组】
01．若m＞0，n＜0，且| m |＞| n |，则m＋n 0.（填＞、＜号）
02．若m＜0，n＞0，且| m |＞| n |，则m＋n 0.（填＞、＜号）
03．已知a＜0，b＞0，c＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a、b、c、a＋b、a＋c的大小
【例５】4－（－33）－（－1.6）－（－21）
【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.
解：4－（－33）－（－1.6）－（－21）＝4＋33＋1.6＋21
＝4.4＋1.6＋（33＋21）＝6＋55＝61
【变式题组】
01．

02．4－（＋3.85）－（－3）＋（－3.15）

03．178－87.21－（－43）＋153－12.79

【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.
【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.
解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)
⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.
⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169
【变式题组】
01．(杭州)观察下列等式1－＝，2－＝，3－＝，4－＝…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？

02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.

【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）
【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.
解：设S＝＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）
则有S＝＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）
将原式的和倒序再相加得
2S＝＋＋（＋＋＋）＋（＋＋＋＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋＋＋＋…＋＋）
即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝＝1225∴S＝
【变式题组】
01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210

02．（第8届希望杯试题）计算（1－－－…－）（＋＋＋…＋＋）－（1－－－…－）（＋＋＋…＋）

演练巩固·反馈提高
01．m是有理数，则m＋（ ）
A．可能是负数 B．不可能是负数
C．必是正数 D．可能是正数，也可能是负数
02．如果＝3，＝2，那么＋为（ ）
A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5
03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）
A． 1 B．0 C．－1 D．－3
04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ）
A．两数一定都是正数 B．两数都不为0
C．至少有一个为负数 D．至少有一个为正数
05．下列等式一定成立的是（ ）
A．－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．＋|－ ＝0 D．－＝0
06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（ ）
A．－4℃ B．4℃ C．－3℃ D．－5℃
07．若a＜0，则－(－a)|等于（ ）
A．－a B．0 C．2a D．－2a
08．设x是不等于0的有理数，则值为（ ）
A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2
09．（济南）2＋(－2)的值为
10．用含绝对值的式子表示下列各式： ⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝，a－b＝⑵若a＞b＞0，则－＝ ⑶若a＜b＜0，则a－b＝
11．计算下列各题：
⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25

⑶－0.5－3＋2.75－7 ⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－|

12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99

13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？

14．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的……以此类推，直到最后减去余下的，最后的得数是多少？

15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如＋来表示，用＋＋表示等等.现有90个埃及分数：，，，，…，，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？

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01．（第16届希望杯邀请赛试题）等于（ ）
A． B． C． D．
02．自然数a、b、c、d满足＋＋＋＝1，则＋＋＋等于（ ）
A． B． C． D．
03．（第17届希望杯邀请赛试题）a、b、c、d是互不相等的正整数，且＝441，则a＋b＋c＋d值是（ ）
A．30 B．32 C．34 D．36
04．（第7届希望杯试题）若a＝，b＝，c＝，则a、b、c大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b
05．的值得整数部分为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）
A．－22003 B．22003 C．－22004 D．22004
07．（希望杯邀请赛试题）若＝m＋1，则(4m＋1)2004＝
08．＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋）＝
09．＝
10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝
11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为
12．已知(a＋b)2＋＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝0，求

13．计算(－1)(－1) (－1) … (－1) (－1)

14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.

第03讲 有理数的乘除、乘方
考点·方法·破译
1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.
2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.
3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.
4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.
5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.
经典·考题·赏析
【例１】计算⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸
【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.
解：⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸
【变式题组】
01．⑴ ⑵ ⑶

⑷ ⑸

2． 3．

4．

【例２】已知两个有理数a、b，如果＜0，且a＋b＜0，那么（ ）
A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0
C．a、b异号 D．a、b异号且负数的绝对值较大
【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.
解：由＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．
【变式题组】
01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（ ）
A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．＋＞0 D．a＋＞0
02．已知a＋b＞0，a－b＜0，＜0，则0，0，.
03．(山东烟台)如果a＋b＜0，，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0
04．(广州)下列命题正确的是（ ）
A．若＞0，则a＞0，b＞0 B．若＜0，则a＜0，b＜0
C．若＝0，则a＝0或b＝0 D．若＝0，则a＝0且b＝0
【例３】计算
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.
解：⑴ ⑵
⑶ ⑷
【变式题组】
01．⑴ ⑵ ⑶ ⑷

02．⑴ ⑵ ⑶

03．

【例４】（茂名）若实数a、b满足，则＝.
【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.
解：当＞0，；当＜0，，∴＜0，从而＝－1.
【变式题组】
01．若k是有理数，则(＋k)÷k的结果是（ ）
A．正数 B．0 C．负数 D．非负数
02．若A．b都是非零有理数，那么的值是多少？
03．如果，试比较与的大小.
【例５】已知⑴求的值； ⑵求的值.
【解法指导】表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
解：∵ ⑴当时，
当时，
⑵当时，,时，
【变式题组】
01．（北京）若，则的值是.
02．已知x、y互为倒数，且绝对值相等，求的值，这里n是正整数.

【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）
A．0.135×106 B．1.35×106 C．0.135×107 D．1.35×107
【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a的整数位数是1位.故答案选B．
【变式题组】
01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）
A．1.03×105 B．0.103×105 C．10.3×104 D．103×103
02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）
A．25.3×105亩 B．2.53×106亩 C．253×104亩 D．2.53×107亩
【例７】（上海竞赛）

【解法指导】找出的通项公式＝
原式＝
＝
＝＝99
【变式题组】
1
A． B． C． D．
2．（第10届希望杯试题）已知求的值.

演练巩固·反馈提高
01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个
02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）
A．互为相反数 B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数
C．都是负数 D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数
03．已知＞0，a＞0，＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞0
04．若＝，则（ ）
A．＞0 B．≥0 C．a＜0，b＜0 D．＜0
05．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式的值为（ ）A．－3 B．1 C．±3 D．－3或1
06．若a＞，则a的取值范围（ ）
A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0或a＞1
07．已知a、b为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③＜0；④，其中能判断a、b互为相反数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
08．若≠0，则的取值不可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．－2
09．的值为（ ）
A．－2 B．(－2)21 C．0 D．－210
10．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）
A．2.89×107 B．2.89×106 C．2.89×105 D．2.89×104
11．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积＝9，则a＋b＋c＋d＝.
12．（n为自然数）＝.
13．如果，试比较与的大小.
14．若a、b、c为有理数且，求的值.

15．若a、b、c均为整数，且.求的值.

培优升级·奥赛检测
01．已知有理数x、y、z两两不相等，则中负数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个或2个
02．计算归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．5
03．已知，下列判断正确的是（ ）
A．＜0 B．24e＜0 C．2＜0 D．4e＜0
04．若有理数x、y使得这四个数中的三个数相等，则－的值是（ ）
A． B．0 C． D．
05．若A＝，则A－1996的末位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．9
06．如果，则的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
07．已知，则a、b、c、d大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞d＞b＞c
08．已知a、b、c都不等于0，且的最大值为m，最小值为n，则＝.
09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是.
第一组：第二组： 第三组：
10．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？

11．（湖北省竞赛试题）观察下列规律排成一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝时，求m的值和这m个数的积.

12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.
32

x

64

13．(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且

证明：⑴ ⑵，求m、n的值.

第04讲 整式
考点·方法·破译
1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.
2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.
3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.
4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.
经典·考题·赏析
【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数. 11 21x 3πr2 4-32a2b
【解法指导】 理解单项式的概念:由数与字母的乘积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，π是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.
解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算； ⑵不是，因为代数式是与x的商；
⑶是，它的系数为π，次数为2； ⑷是，它的系数为，次数为3.
【变式题组】
01．判断下列代数式是否是单项式
1a 2-12 312 4xπ 5 (6)2πx
02．说出下列单项式的系数与次数
1-23x2y 2 35a2 4-722c
【例２】如果24与12m2x2都是关于x、y的六次单项式且系数相等，求m、n的值.
【解法指导】 单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.
解：由题意得4=6,26,2=12m2
∴22
【变式题组】
01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.

02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式.
【例３】 已知多项式