导数高考压轴题分析.doc

§10 导数综合问题分析
一、极值问题
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
二、最值问题
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【注意】1.求函数f(x)极值的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
2. 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
三、参数范围问题
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
含参数的不等式恒成立、有解、无解的处理方法：①的图象和图象特点考考虑；②构造函数法，一般构造，转化为的最值处理；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.
【注意】恒成立问题的两种常见解题思路：①参变分离；②构造函数
四、定积分
1．定积分的概念
在中，分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．
2．定积分的性质
(1) (k为常数)；
(2) ；
(3) (其中a<c<b)．
3．微积分基本定理
一般地，如果是在区间上的连续函数，且，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
其中叫做的一个原函数．为了方便，常把记作，即．
4．求分段函数（带绝对值的函数）的积分
（1）分段函数的定积分
①分段函数在区间[a,b]上的积分可分成几段积分的和的形式；
②分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细。
（2）奇偶函数在对称区间上的积分
①若f(x)为偶函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则;
②若f(x)为奇函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则
高频考点一 求极值
【例1】设函数．求f(x)的单调区间和极值;
【答案】当x=0时f(x)有极小值-1,当x=3时, f(x)有极大值．
【解析】,由得 (2分)
x

0

3

f’(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值-1
↗
极大值
↘
由上表得, f(x)的单调增区间为,单调减区间为,;
当x=0时f(x)有极小值-1,当x=3时, f(x)有极大值． (6分)
【点拨】求函数极值时，易于误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.
【变式练习】已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与极值.
【答案】（1）；（2）单调递增区间，单调递减区间，
【解析】（1）对求导得，由在点处切线垂直于直线知解得；
（2）由（1）知，则
令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.
当时，故在内为减函数；
当时，故在内为增函数；
由此知函数在时取得极小值.
【例2】【2013·重庆】设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
【点拨】求极值必定列表。
【变式练习】已知函数求的单调区间和极值；
【答案】 的单调增区间是，单调减区间是和，当 时， 取极小值 ，当 时， 取极大值 ，
【解析】由已知有令，解得或，列表如下：

所以的单调增区间是，单调减区间是和，当 时， 取极小值 ，当 时， 取极大值 ，
高频考点二 求最值
【例3】设函数f(x)=ln(2x+3)+x2
①讨论f(x)的单调性；
②求f(x)在区间[-1，0]的最大值和最小值.
【答案】（1）f(x)在区间（-，-1），（-，+∞）单调递增，在区间（-1，-）单调递减
（2）最小值为f(-)=ln2+,最大值为f(0)=ln3
【解析】f(x)的定义域为（-，+∞）……………………1分
（1）f′(x)=
=………………………………3分
当-＜x＜-1时，f′(x)＞0；当-1＜x＜-时，f′(x)＜0；当x＞-时，f′(x)＞0.…………4分
从而，f(x)在区间（-，-1），（-，+∞）单调递增，在区间（-1，-）单调递减………7分
（2）由（1）知f(x)在区间[-1，0]的最小值为f(-)=ln2+,…………………………9分
又f(-1)=1,f(0)=ln3＞1,………………………………11分
∴最大值为f(0)=ln3…………………………12分
【点拨】求最值先求极值。
【变式练习】【2012·淄博一中·期中】已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求在区间上的最小值；
【答案】解：（I）的单调递增区间为，单调递减区间为
（II）当时，的最小值为(1-k)e；
当时，的最小值为(2-k)e2；
当时，的最小值为；
【例4】【2014·四川】已知函数，其中，为自然对数的底数。设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值。
【答案】
【解析】因为 所以 又
因为， 所以：
① 若，则，，
所以函数在区间上单增，
② 若，则，
于是当时，当时，
所以函数在区间上单减，在区间上单增，
③ 若，则，
所以函数在区间上单减，
综上：在区间上的最小值为
【点拨】函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【变式练习】已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
【点拨】1．求函数极值时，易于误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.
2．极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
【例5】【2014·日照·二模】已知，其中e为自然对数的底数.当时，求函数上的最小值；
【答案】当时，；
当时，；
当时，.
【解析】当时，则.
当，即时，；
当，即时，.
则的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）. ……6分
因为，所以，
①当，即时，在[]上单调递减，
所以
②当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，所以
③当时，在[]上单调递增，所以.
综上，当时，；
当时，；
当时，.
【点拨】分类技巧要熟记。
高频考点三 证明不等式
无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.
1.利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)>0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口
2.利用导数解不等式的基本方法是构造函数，通过研究函数的单调性 ，从而解不等式的方法.
【例6】若的定义域为，恒成立，，则解集为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】本题主要是按照题目给出的函数形式，构造新函数。
【变式练习】已知是可导的函数，且对于恒成立，则( )
A． B．
C． D．
【例7】【2014·福建】 已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x>0时，x2<ex；
【答案】(1)当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，
f(x)无极大值。（2）见解析
【解析】(1)由f(x)＝ex－ax，得f ′(x)＝ex－a.
又f ′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.
所以f(x)＝ex－2x，f ′(x)＝ex－2.
令f ′(x)＝0，得x＝ln 2.
当x<ln 2时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>ln 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，
且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，
f(x)无极大值．
（2）证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.
由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0，
故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，
所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.
【变式练习】【2014·北京】 已知函数f(x)＝xcos x－sin x，x∈.,求证：f(x)≤0；
证明：由f(x)＝xcos x－sin x得
f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
因为在区间上f′(x)＝－xsin x<0，所以f(x)在区间上单调递减．
从而f(x)≤f(0)＝0.
【例8】【2014·聊城一中·二模】已知函数，其中m为常数，e为自然对数的底数。当m=-1时，g(x)=,试证明函数y=的图像恒在函数y=g(x)的图像的上方。
【点拨】利用求函数最值的方法来证明不等式，但是注意是的充分不必要条件；适当对不等式等价变形，通过换元法，转化为含有一个未知数的不等式，并通过构造函数，并且利用导数研究的单调性，达到证明的目的.
【变式练习】【2013·北京】设l为曲线C：在点(1，0)处的切线.
(I)求l的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方
高频考点四 参数范围问题
【例9】【2014河南洛阳模拟】若f(x)＝－(x－2)2＋bln x在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)
A．[-1，＋∞) B．(-1，＋∞)
C．(-∞，-1] D．(-∞，-1)
【点拨】已知函数单调性，求参数范围的两个方法：
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．
提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
【变式练习】【2014年山西诊断】已知函数f(x)＝ln x－a2x2＋ax(a∈R)．若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．
【解析】显然函数f(x)＝ln x－a2x2＋ax的定义域为(0，＋∞)，
①当a＝0时，f′(x)＝>0，
∴f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
【例10】已知函数 .
（Ⅰ）若，求的最大值；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围；
解：（Ⅰ）若，则，， -----------1分
∵∴，∴在上为增函数， -----------2分
∴ -----------3分
（Ⅱ）要使，恒成立，只需时，
显然当时，在上单增，
∴，不合题意； -----------5分
当时，，令，
当时，，当时， -----------6分
①当时，即时，在上为减函数
∴，∴； -----------7分
②当时，即时，在上为增函数
∴，∴； -----------8分
③当时，即时，
在上单增，在上单减
∵，∴，∴成立； -----------9分
由①②③可得 ----------10分
【点拨】恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理
【变式练习】已知函数．
(I)讨论的单调性；
(Ⅱ)若在(1，+)恒成立，求实数a的取值范围．
又由得，
所以在上是增函数.在上是减函数.
综上知当时，在上是增函数.在上是减函数.
当时，在上是增函数.
【综合问题1】已知
（1）求函数在上的最小值；
（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立.
（2），则，
设，则，
① 单调递减， ② 单调递增，
所以，对一切恒成立，所以；
（3）问题等价于证明，
由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，
设，则，易知
，当且仅当时取到，
从而对一切，都有成立
【综合问题2】已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，若对任意，均存在，使得＜，求的取值范围．
④当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
【点拨】(1)研究函数问题应竖立定义域优先原则；(2) 任意，指的是区间内的任意一个自变量；存在，指的是区间内存在一个自变量，故本题是恒成立问题和有解问题的组合.
高频考点六 定积分问题
【例12】直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为
（A）（B）（C）2（D）4
【答案】D
【解析】，第一象限
【变式练习】【2015·南昌二中·月考】由曲线，直线所围成的平面图形的面积为(　　)
A. B．2－ln 3 C．4＋ln 3 D．4－ln 3
零点的个数
1.【2015·福建】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2.【2015·天津】已知函数，其中.
(I)讨论的单调性；
(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
【答案】(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. (II)见解析；
试题解析：(I)由，可得，其中且，
下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时：
令，解得或，
当变化时，的变化情况如下表：

所以，在，上单调递减，在内单调递增.
(2)当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
(II)证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则
由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时， ，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.
3.【2015·福建】已知函数．
(Ⅰ)求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）详见解析；
试题解析：（I），．
由得解得．
故的单调递增区间是．
（II）令，．
则有．
当时，，
所以在上单调递减，
故当时，，即当时，．
4.【2015·北京】设函数,
（I）求的单调区间和极值；
（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点。
答案：（Ⅰ）的单调减区间是，单调增区间是，
极小值是（Ⅱ）略
解析：（Ⅰ），
令解得
则的变化情况如下表所示

负
0
正

单调减
极小值
单调增
所以的单调减区间是，单调增区间是，
极小值是
（Ⅱ）若存在零点，则必有成立，解得则区间为函数单调减区间，因为
则函数在区间必然存在唯一零点。
5.【2015·北京】已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．
答案：(I) (II) 略（Ⅲ）2
解析：(I) 函数，
， 故在点处的切线方程是
(II)证明：设函数 ，
则 故 在单调递增，所以对任意成立，即成立，原命题得证。
（Ⅲ）设函数，，且
则
①当时， 解得 ，
则函数 在单调递减，在 单调递增
故有 即 在 不恒成立，不满足题意；
②当时，由(II)知， 在 恒成立，满足要求；
综上所述的最大值为
6.【2015·山东】设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若，成立，求的取值范围.
解：（Ⅰ），定义域为
设，
当时，，函数在为增函数，无极值点.
当时，，
若时，，函数在为增函数，无极值点.
若时，设的两个不相等的实数根，且，
且，而，则，
所以当单调递增；
当单调递减；
当单调递增.
因此此时函数有两个极值点；
当时，但，，
所以当单调递増；
当单调递减.所以函数只有一个极值点。
综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时在单调递增，而，则当时，，符合题意；
当时，，在单调递增，而，
则当时，，符合题意；
当时，，所以函数在单调递减，而，
则当时，，不符合题意；
当时，设，当时，
在单调递增，因此当时，
于是，当时，
此时，不符合题意.综上所述，的取值范围是.
另解：（Ⅰ），定义域为
当时，，函数在为增函数，无极值点.
设，
当时，根据二次函数的图像和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数.
若，即时，，函数在为增函数，无极值点.
若，即或，
而当时此时方程在只有一个实数根，此时函数只有一个极值点；
当时方程在都有两个不相等的实数根，此时函数有两个极值点；
综上可知当时的极值点个数为0；当时的极值点个数为1；当时，的极值点个数为2.
（Ⅱ）设函数，，都有成立.
即
当时，恒成立；
当时，，；
当时，，；由均有成立。
故当时，，，则只需；
当时，，则需，即.综上可知对于，都有成立，只需即可，故所求的取值范围是.
另解：设函数，，要使，都有成立，只需函数函数在上单调递增即可，
于是只需，成立，
当时，令，，
则；当时；当，，
令，关于单调递增，则，则,于是.
又当时，，所以函数在单调递减，而，
则当时，，不符合题意；
当时，设，当时，
在单调递增，因此当时，
于是，当时，
此时，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
评析：求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求.
1．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：，由已知得在恒成立，故，因为，所以，故的取值范围是．
【考点】利用导数判断函数的单调性．
2.设函数在R上可导，其导函数为且函数的图像如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）
A.函数的极大值是，极小值是
B.函数的极大值是，极小值是
C.函数的极大值是，极小值是
D.函数的极大值是，极小值是
【答案】D
【解析】
试题分析：当时，且，所以；当时，且，所以；当时，且，所以；当时，且，所以。综上可得或时，；当或，即时，。所以在和上单调递增，在上单调递减。当时取得极大值为；当时取得极小值为。故D正确。
考点：1用导数研究函数的单调性和极值；2函数图像。
3.直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是_____
【答案】(－2,2)
【解析】
试题分析：函数求导，得，得函数在和单调递增，在上单调递减，又，，直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点结合图象知．
考点：导数与函数的单调性，数形结合．
4.已知函数的定义域［-1，5］，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，下列关于函数的命题:
①函数的值域为；
②函数在上是减函数；
③当时，函数最多有4个零点；
④如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4.
其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号) .
【答案】①②③
【解析】由图知，是极值点，且处取得极大值，时取得极小值，由函数的单调性，时，最小，故函数的值域为，①正确；
因为，在，导函数值为负，所以，函数在上是减函数，所以，②正确；
的零点的个数，即交点的个数.
由导函数的图象可知，导函数值由正变负，再变正，后变为负值.所以，函数的图象先升后降，再升又降，其最大值、最小值分别为，故当时，函数最多有4个零点，③正确；
由于在区间，函数的值域为，所以，如果当时，的最大值是，的最大值为，④不正确.综上知，答案为①②③.
考点：1、应用导数研究函数的单调性、极值、最值；2、函数的零点；3、函数的图象.
5.已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：令，则，令，则，当即时；当即时，。所以函数在上单调递增，在上单调递减。所以时取得最大值为，所以即。
考点：1用导数研究函数的单调性和最值；2转化思想。
6.已知．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若 求函数的单调区间；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1） ∵ ∴∴ ∴ ，  又，所以切点坐标为
∴ 所求切线方程为，即.
（2）
由 得 或
(1)当时，由， 得．
由， 得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
(2)当时，由，得．
由，得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
综上：
当时，的单调递减区间为，
单调递增区间为和
当时，的单调递减区间为
单调递增区间为和.
（3）依题意，不等式恒成立, 等价于
在上恒成立
可得在上恒成立     设, 则  令，得（舍）当时，；当时，
当变化时，变化情况如下表：

+

-

单调递增
-2
单调递减
∴ 当时,取得最大值, =-2
∴ 的取值范围是.
7.已知函数.
(1)当时，判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求的值.
【答案】（1）f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数
（2）a＝－.
【解析】
试题分析：解：(1)由题得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝＋＝.∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.
(2)由(1)可知：f′(x)＝，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－ (舍去).
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－ (舍去).
③若－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a.
当1<x<－a时，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数；
当－a<x<e时，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝⇒a＝－.
综上可知：a＝－.
考点：导数的运用
点评：解决的关键是根据导数的正负判定函数单调性，以及函数的极值，进而确定出函数的最值，属于基础题。
8.已知是实数，函数
(Ⅰ)求函数的单调区间
(Ⅱ)设为在区间上的最小值
(ⅰ)写出的表达式
（ⅱ）求的取值范围，使得
解析：根的存在不确定
(Ⅰ) 的定义域为，
（1）若时，则，
在区间上单调递增
（2）若时，令，得

—
0
+

↘
极小值
↗
所以，在内单调递减；在内单调递增
(Ⅱ) (ⅰ)（1）当时，在上单调递增
所以
（2）若，即时，在内单调递减；在内单调递增
所以
（3）若，即，在上单调递减
所以
综上所述，
（ⅱ）令．
若，无解；
若，解得；
若，解得
所以，的取值范围为
9.【2011·辽宁】已知函数.
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）证明：
先看第一问，首先由可知函数的定义域为，易得
则由可知，化简得
，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子，而又大于零，所以两边同乘可得，所以有，在对求导有
，即当＜＜时，＞0，在区间上为增函数；当时，；当＜时，＜0，在区间上为减函数。
所以在时有最大值，即。又因为，所以。
应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。
要证，只须证当＜时，；当＜时，＞即可。
由上知，但用去分析的单调性受阻。我们可以尝试再对求导，可得，显然当＜时，；当＜时，＞，即在区间上为减函数，所以有当＜时， ，我们通过二次求导分析的单调性，得出当＜时，则在区间上为增函数，即，此时，则有成立。
下面我们在接着分析当＜时的情况，同理，当＜时，＞，即在区间上为增函数，则，此时，为增函数，所以，易得也成立。
综上，得证。
下面提供一个其他解法供参考比较。
解：（Ⅰ），则
题设等价于。
令，则。
当＜＜时，＞；当时，，是的最大值点，所以 。
综上，的取值范围是。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即。
当＜＜时，
因为＜0，所以此时。
当时，。
所以
10.【2012·江西】计算定积分___________。
【答案】
【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。
【解析】。
11.【2012·山东】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.
【答案】
【解析】由已知得，所以，所以。