资源描述
镇江市2015—2016学年度第一学期期末检测试题
高 三 数 学 2016.1
第一部分
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程．
1. 若全集为U＝R，A＝{x|x2－x>0}，则________．
【答案】[0，1]．
【命题立意】本题旨在考查集合的补集运算，考查概念的理解和运算能力，难度较小．
【解析】由题可得，．
2. i为虚数单位，计算＝________．
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查复数的除法运算与概念，考查概念的理解能力，难度较小．
【解析】．
3. 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为________．
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用，考查概念的理解能力，数据的运算能力，难度中等.
【解析】对红球和白球进行编号：红1；红2；红3；白1；白2，则摸到的2球的可能性有10种：红1，红2；红1，红3；红1，白1；红1，白2；红2，红3；红2，白1；红2，白2；红3，白1；红3，白2；白1，白2；摸到的2球颜色不同的有6种：红1，白1；红1，白2；红2，白1；红2，白2；红3，白1；红3，白2；故摸到的2球颜色不同的概率为．
4. 已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最小值是________．
【答案】1．
【命题立意】本题旨在考查线性规划最值问题，考查数形结合思维，难度中等．
【解析】作出不等式组，其是由点,,围成的三角形区域（包含边界），对于目标函数z＝2x＋y，转化为直线，过点时，最小，即．
5. 阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是________．
(第5题图)
【答案】240．
【命题立意】本题旨在考查算法的当型流程图及其应用．考查运算和推理能力，难度较小．
【解析】根据算法的流程图，当，，，；当，，，；…，当，，．输出．
6. 已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，0)，则|2a＋b|＝________．
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查平面向量的坐标运算与数量积，考查运算能力，难度较小．
【解析】，．
7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)<0的解集是________．
【答案】(－2，0)∪(2，＋∞)．
【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，不等式的运用，考查数形结合思维，难度中等．
【解析】当x<0时，, f(x)<0,即，解得；当x>0时，f(x)＝1－log2x，f(x)<0,即，解得，综上所述，不等式f(x)<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞)．
8. 设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：
①若b⊂α，c∥α，则b∥c；
②若b⊂a，b∥c，则c∥a；
③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；
④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.
其中正确的命题是________．(写山所有正确命题的序号)
【答案】④．
【命题立意】本题旨在考查空间线面关系的判定与性质定理，考查推理运算能力，难度中等．
【解析】①b和c可能异面，故①错；②c可能c⊂α，故②错；③c有可能c∥β，c⊂β，故③错；④根据面面垂直的判定α⊥β，故④正确．
9. 以抛物线y2＝4x的焦点为焦点，以直线y＝±x为渐近线的双曲线标准方程为________．
【答案】－＝1．
【命题立意】本题旨在考查双曲线、抛物线的几何性质，考查概念的理解和运算能力，难度较小．
【解析】由题意设双曲线的标准方程为，y2＝4x的焦点为，则双曲线的焦点为；y＝±x为双曲线的渐近线，则，又因，所以，故双曲线标准方程为－＝1．
10. 一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为 cm，则圆锥的体积是________cm3.
【答案】3π．
【命题立意】本题旨在考查圆锥的几何性质，考查概念的理解和运算能力，难度较小．
【解析】设圆锥的母线长为，高为。圆锥的侧面积等于，圆锥底面面积为，又因为圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，故，，，圆锥的体积是．
11. 函数y＝asin(ax＋θ)(a>0，θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________．
【答案】2．
【命题立意】本题旨在考查三角函数的几何性质，基本不等式，考查概念的理解和运算能力，难度较小．
【解析】取函数y＝asin(ax＋θ)(a>0，θ≠0)的最大值为，周期为，所以同一周期内相邻的最高点与最低点的距离为：（当且仅当时，等号成立），故答案为2．
12. Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________．
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式及前n项和，考查学生的运算能力，难度中等．
【解析】由＝可得，，当时，，，．
13. 函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为________．
【答案】[－，1)∪(1，＋∞)．
【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数与方程．考查概念的理解和运算能力，难度中等.
【解析】作函数图象可得，当过点时，直线的斜率最小即，当
直线与相切时有一个交点，，故函数f(x)＝与直线有两个不同的交点时，k的取值范围为[－，1)∪(1，＋∞)，即关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为[－，1)∪(1，＋∞)．
14. 由sin 36°＝cos 54°，可求得cos 2 016°的值为________．
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查三角函数值，诱导公式．考查概念的理解和运算能力，难度中等.
【解析】由sin 36°＝cos 54°得即，解得，
，
二、 解题题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图：四棱锥PABCD中，PD＝PC，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点．
(1) 求证：AM∥平面PBC；
(2) 求证：CD⊥PA.
(第15题图)
【答案】（1）略；（2）略．
【命题立意】本题旨在考查空间线面平行的判定、线线垂直的判定；考查空间想象能力和识图能力，规范化书写表达能力，难度较小.
【解析】证明：(1) 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点，
由AB∥CM，且AB＝CM，
所以四边形ABCM是平行四边形，且是矩形(3分)
⇒故AM∥平面PBC，
(2) 连接PM，因为PD＝PC，点M是CD的中点，所以CD⊥PM，(8分)
又因为四边形ABCM是矩形，CD⊥AM，(9分)
⇒CD⊥平面PAM.(12分)
又因为AP⊆平面PAM，(13分)
所以CD⊥PA.(14分)
16. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量m＝(a－c，b＋c)，n＝(b－c，a)，且m∥n.
(1) 求B；
(2) 若b＝，cos＝，求a.
【答案】（1）B＝；（2）1．
【命题立意】本题旨在考查向量的平行的运算，余弦定理，同角三角函数的基本关系，三角变换，正弦定理；考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达.能力，难度较小
【解析】 (1) 因为m∥n，所以a2＋c2－b2＝ac，(2分)
因为cosB＝＝＝，(4分)
B∈(0，π)(5分)
故B＝.(6分)
(2) 因为A＋∈，(7分)
cos＝，所以sin＝，(9分)
所以sinA＝sin＝，(11分)
在△ABC中，由正弦定理可得：＝，(13分)
解得a＝1.(14分)
17. (本小题满分14分)
如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．
(1) 设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；
(2) 为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．
(第17题图)
【答案】（1）α的最小值为，较小区域面积的最小值是50km2.；（2）20＋10 km．
【命题立意】本题旨在考查导数在函数中的应用，考查学生的推理分析能力，难度中等.
【解析】(1) 如图1，作OH⊥AB，设垂足为H，记OH＝d，α＝2∠AOH，
因为cos∠AOH＝，(1分)
要使α有最小值，只需要d有最大值，结合图像可得，
d≤OP＝5km，(3分)
当且仅当AB⊥OP时，dmin＝5km.
此时αmin＝2∠AOH＝2×＝.(4分)
设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S，
根据题意可得：S＝f(α)＝S扇形－S△AOB＝50(α－sinα)，(6分)
f′(α)＝50(1－cosα)≥0恒成立，f(α)为增函数，(7分)
所以Smin＝f＝50km2.(8分)
答：视角的最小值为，较小区域面积的最小值是50km2.(9分)
(第17题图1)
(2) 如图2，分别过O分别作OH⊥AB，OH1⊥CD垂足分别是H，H1，
记OH＝d，OH1＝d2，由(1)可知d1∈[0，5]
所以d＋d＝OP2＝25，且d＝25－d(10分)
因为AB＝2，CD＝2，
所以AB＋CD＝2(＋)＝2(＋)，(11分)
记L(d1)＝AB＋CD＝2(＋)，
可得L2(d1)＝4[175＋2]，
(12分)
由d∈[0，25]，可知d＝0，或d＝25时，L2(d1)的最小值是100(7＋4)，
从而AB＋CD的最小值是20＋10 km.(13分)
答：两条公路长度和的最小值是20＋10 km.(14分)
(第17题图2)
18. (本小题满分16分)
已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，左顶点为A(－3，0)，圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切．
(1) 求椭圆方程；
(2) 求圆O方程；
(3) B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．
(第18题图)
【答案】（1）＋＝1；（2）x2＋y2＝1；（3）直线MN与圆O的位置关系是相切．
【命题立意】本题旨在考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；圆的方程，直线与圆的位置关系；考查运算能力，难度中等.
【解析】 (1) 由题意可知＝，a＝3，得：c＝，(2分)
因为a2＝b2＋c2，所以b2＝，(3分)
故椭圆的标准方程是：＋＝1.(4分)
(2) 设直线AE的方程：y＝k(x＋3)，点E(x1，y1)，
由可得(4k2＋1)x2＋24k2x＋36k2－9＝0.(5分)
因为－3＋x1＝－，得x1＝，代入直线y＝k(x＋3)，得y1＝，
所以E，(7分)
同理可得F，(9分)
根据条件可知圆心O到直线AE的距离等于圆心O到直线EF的距离．
可得＝||＝r，解之得k2＝，(10分)
从而r2＝1，所以圆O的方程为：x2＋y2＝1.(11分)
(3) 设直线BM的方程为y＝kx±，因为直线BM与圆O相切，
所以d＝r，解得k＝±，(14分)
当k＝，lBM：y＝x＋，
由，解得x2＋x＝0.(11分)
所以M(－，－1)，(12分)
同理可得N(，－1)．(13分)
可得直线MN方程是：y＝－1，(15分)
直线MN与圆O的位置关系是相切．(16分)
【方法技巧】 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.
19. (本小题满分16分)
已知数列{an)的各项都为自然数，前n项和为Sn，且存在整数λ，使得对任意正整数n都有Sn＝(1＋λ)an－λ恒成立．
(1) 求λ值，使得数列{an)为等差数列，并求数列{an)的通项公式；
(2) 若数列{an}为等比数列，此时存在正整数k，当1≤k<j时，有ai＝2 016，求k.
【答案】（1）λ＝0时， an＝0.；（2）6．
【命题立意】本题旨在考查等差数列、等比数列的性质、通项、求和、简单递推；考查考查分析探究能力，难度较大.
【解析】 (1) (法一)：因为Sn＝(1＋λ)an－λ， ①
所以Sn＋1＝(1＋λ)an＋1－λ， ②
②－①得：λan＋1＝(1＋λ)an， ③(2分)
当λ＝0时，an＝0，数列{an}是等差数列．(4分)
当λ≠0时，a1＝(1＋λ)a1－λ，a1＝1，且an＋1－an＝an， ④
要使数列{an}是等差数列，则④式右边an为常数，即an＋1＝an为常数，
④式左边an＋1－an＝0，an＝0，又因为a1＝1，矛盾！(6分)
综上可得：λ＝0时，数列{an}为等差数列，且an＝0.(7分)
(法二)：若数列{an}是等差数列，必有2a2＝a1＋a3，
当λ＝0时，a1＝a2＝a3＝0，满足2a2＝a1＋a3，(1分)
此时Sn＝an，从而Sn＋1＝an＋1，(3分)
故an＝0，(4分)
当λ≠0时，a1＝1，a2＝1＋，a3＝，(5分)
由2a2＝a1＋a3，得2＝1＋，该方程无解，(6分)
综上可得：λ＝0时，数列{an}为等差数列，其中an＝0.(7分)
(2) 当(1)可得：当λ＝0时，不是等比数列，(8分)
当λ＝－1时，由①得Sn＝1，则a1＝S1＝1，
an＝Sn－Sn－1＝0(n≥2)，不是等比数列．(9分)
当λ≠0，且λ≠－1时，得＝1＋，{an}为公比是q＝1＋等比数列，(10分)
又对任意n，an∈N，则q＝1＋∈N，
故仅有λ＝1，q＝2时，满足题意，又由(1)得a1＝1，故an＝2n－1.(11分)
因为ai＝＝2 016，
所以2k－1(2j－k＋1－1)＝2 016＝25×32×7，(13分)
j－k＋1≥2，2j－k＋1－1为大于1的奇数，2k－1＝25，k＝6，(15分)
则2j－5－1＝32×7，2j－5＝64，j＝11，故仅存在k＝6时，j＝11，ai＝2 016.(16分)
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2a＋1]ex.
(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 设x>0，2a∈[3，m＋1]，f(x)≥b2a－1e恒成立，求正数b的范围．
【答案】（1）当a＝0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是(0，＋∞)；
当a<0时，函数f(x)的增区间是，减区间是(0，＋∞)，；当a>0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是；（2）当2<m≤4时，0<b≤；当m>4时，0<b≤m．
【命题立意】本题旨在考查利用导数求函数的单调区间，考查分类讨论思想，转化思想；难度中等.
【解析】 (1) f′(x)＝(ax2－x)ex＝x(ax－1)ex.(1分)
若a＝0，则f′(x)＝－xex，令f′(x)>0，则x<0；令f′(x)<0，则x>0；
若a<0，由f′(x)>0，得<x<0；由f′(x)<0，得>x或0<x；
若a>0，由f′(x)<0，得0<x<；由f′(x)>0，得x>或x<0；
综上可得：
当a＝0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是(0，＋∞)；(3分)
当a<0时，函数f(x)的增区间是，减区间是(0，＋∞)，；(5分)
当a>0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是(7分)
(2) 因为2a∈[3，m＋1]，由(1)x∈(0，＋∞)上函数f(x)的最小值是f.
因为f(x)≥b2a－1e恒成立，
所以f≥b2a－1e恒成立，(8分)
所以e(2a－1)≥b2a－1e恒成立，即2a－1≥b2a－1恒成立．(9分)
由2a∈[3，m＋1]，令2a－1＝t∈[2，m]，则t≥bt，所以lnb≤＝g(t)，(10分)
由g′(t)＝，可知函数g(t)在(0，e)上递增；(e，＋∞)上递减，且g(2)＝g(4)．(11分)
当2<m≤4时，g(t)min＝g(2)＝，从而lnb≤，解得0<b≤；(13分)
当m>4时，g(t)min＝g(m)＝，从而lnb≤，解得0<b≤m，(15分)
故：当2<m≤4时，0<b≤；当m>4时，0<b≤m(16分)
第二部分（加试部分）
21. 【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4—1：几何证明选讲
在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P.
求证：AP·AN＋BP·BM＝AB2.
(第21—A题图)
【答案】略．
【命题立意】本题旨在考查圆的几何性质，圆周角的关系．考查运算求解能力，难度较小．
【解析】证明：作PE⊥AB于E，
因为AB为直径，
所以∠ANB＝∠AMB＝90°(2分)
所以P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆．(6分)
(8分)
(1)＋(2)得AB(AE＋BE)＝AP·AN＋BP·BM(9分)
即AP·AN＋BP·BM＝AB2(10分)
(第21题A图)
B. 选修4—2：矩阵与变换
求矩阵的特征值及对应的特征向量．
【答案】属于λ1＝2的一个特征向量为，属于λ1＝4的一个特征向量为．
【命题立意】本题旨在考查矩阵特征值与特征向量的运算．考查运算求解能力，难度较小．
【解析】特征多项式f(λ)＝||＝(λ－3)2－1＝λ2－6λ＋8(3分)
由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝4(6分)
将λ1＝2代入特征方程组，得
⇒x＋y＝0，可取为属于特征值λ1＝2的一个特征向量(8分)
同理，当λ2＝4时，由⇒x－y＝0，
所以可取为属于特征值λ2＝4的一个特征向量．
综上所述，矩阵有两个特征值λ1＝2，λ2＝4；
属于λ1＝2的一个特征向量为，属于λ1＝4的一个特征向量为，(10分)
C. 选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l的极坐标方程为ρsin＝3，曲线C的参数方程为(θ为参数)，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．
【答案】5．
【命题立意】本题旨在考查参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离．考查运算能力和转化能力，难度较小．
【解析】由ρsin＝3，可得：
ρ＝3
所以y－x＝6即：x－y＋6＝0(3分)
由得x2＋y2＝4，圆的半径为r＝2(6分)
所以圆心到直线l的距离d＝＝3(8分)
所以，P到直线l的距离的最大值为d＋r＝5.(10分)
D. 选修4—5：不等式选讲
设x，y均为正数，且x>y，求证：x＋≥y＋3.
【答案】略．
【命题立意】本题旨在考查基本不等式及其应用．考查运算求解能力，难度较小．
【解析】证明：x－y＋＝(x－y)＋(3分)
＝＋＋，(5分)
因为x>y，x－y>0，
所以＋＋
≥3＝3，
当且仅当＝＝取等号，此时x－y＝2.(10分)
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.
(1) 求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；
(2) 求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．
(第22题图)
【答案】（1）；（2）．
【命题立意】本题旨在考查空间直角坐标系的建立，空间向量的应用，空间异面直线所成角、线面所成角的求解与应用等．考查空间想象能力和识图能力，难度中等.
【解析】(1) 以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，
(第22题图)
则A(3，0，0)，C1(0，3，3)，＝(－3，3，3)，
B(3，3，0)，E(3，0，2)，＝(0，－3，2)．(2分)
所以cos〈，〉＝＝＝－，
故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.(5分)
(2) B(3，3，0)，＝(0，－3，2)，＝(3，0，－1)．
设平面BED1F的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由得
所以则n＝(x，2x，3x)，不妨取n＝(1，2，3)，
设直线BB1与平面BED1F所成角为α，则
sinα＝|cos〈，n〉|＝||＝.(9分)
所以直线BB1与平面BED1F所成角正弦值为(10分)
23. (本小题满分10分)
证明：对一切正整数n，5n＋2·3n－1＋1能被8整除．
【答案】略．
【命题立意】本题旨在考查数学归纳法．难度较小.
【解析】(1) 当n＝1时，能被8整除，(2分)
(2) 假设当n＝k，(k≥2，k∈N*，结论成立，)(2分)
则5k＋2·3k－1＋1能被8整除，设5k＋2·3k－1＋1＝8m，m∈N*，
当n＝k＋1时，5k＋1＋2·3k＋1＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·3k－1－4
＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·(3k－1＋1)(7分)
而当k≥2，k∈N*时3k－1＋1显然为偶数，设为2t，t∈N*，
故5k＋1＋2·3k＋1＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·(3k－1＋1)＝40m－8t(m，t∈N*)，
也能被8整除，故当n＝k＋1时结论也成立；
由(1)(2)可知对一切正整除n，5n＋2·3n－1＋1能被8整除．(10分)
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