数学分析复习总结——隐函数的几何应用和条件极值.doc

《数学分析》(下)复习总结
——几何应用、条件极值

几何应用
一． 平面曲线的切线与法线
设平面曲线由方程
(1)
给出，它在点的某邻域内满足隐函数定理条件，于是在附近所确定的连续可微隐函数和方程(1)在附近表示同一曲线，从而该曲线在点处存在切线和法线，其方程分别为

与 (或)
由于
(或)
所以曲线(1)在点处的切线和法线方程为
切线:
法线：

例题
例1：求曲线在点（1,1）处的切线方程和法线方程。
解： 令 ，
则 ，
，
所以该曲线在点(1,1)处的法向量为,
于是求得切线和法线分别为
切线方程：,
法线方程：

二、空间曲线的切线和法平面
(一)空间曲线(光滑)L:
设曲线某一点，
这里的 ,
并假定式中的三个函数在处可导，且 ，
在曲线L上点附近选取一点，
于是连接L上的点与的割线方程为 ：

其中
以除上式各分母，得

当时，，且

即得曲线在处的切线和法平面方程为
切线:
法平面:
(二) 如果空间曲线的方程为L： ，则它在处的切线方程为

法平面方程为

例题
例1:求曲线 , , 在点(1)；(2)处的切线及法平面方程.
解：(1)
切线: 即 (严格表示)
法平面： 即
(2)
切线:

法平面: 即
例2:求曲线在点处切线及法平面方程.
解: 的参数方程
将 两边对求导
即 (1)
解方程组(1)得

切线:
法平面: 即

三、空间曲面的切平面与法线
曲面由方程

给出，它在点处的
切平面方程为：

法线方程为：

特别, 当光滑曲面的方程为显式 时,令则在点故当函数 在点有连续偏导数时, 曲面

切平面方程为：

法线方程为：

例题
例1：求旋转抛物面在点P（2，1，4）的切平面，法线方程，关键法向量.
解： 设 (隐显)

切平面: 即
法线:
例2：求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.
解： 设，切点为，
曲面在点处的法向量为 ，
曲面在点处的切平面方程为

曲面在点处的切平面方程为又与已知平面z = 2x+2y平行，
因此
切点坐标为
所求切平面方程为

条件极值
关于条件极值的求解问题一般是求函数的最大值与最小值问题。所以，通常的思路就是我们只需求出稳定点，然后由实际问题来确定它所对应的函数是否最值，是最大值还是最小值。
以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还会受到各自不同的条件的限制。例如，要设计一个容器为V的长方形开口水箱，当水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？在这个问题中，我们设水箱的长、宽、高分别为x,y,z，则所要求的表面积就为 S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy
根据题意可知，表面积函数的自变量不仅要满足定义域的要求（即x>0，y>0，z>0），而且还要满足约束条件:水箱的体积为V,即
xyz=V
像这类含有约束条件的极值问题称为条件极值问题；而不带约束条件的极值问题则称为无条件极值问题。
条件极值问题的一般形式：在条件组
， k=1,2,…,m (m<n) （1）
的限制下，求目标函数
（2）
的极值。
过去遇到这样的极值问题时，通常是用消元法将条件极值问题化为无条件极值问题来求解。利用约束条件组，将变元带入目标函数，然后求出稳定点，最后再判定在此稳定点上目标函数是有最大值还是最小值。
但是，在一般情况下，当有较多自变量时利用条件组（2）解出m个变元不总是可能的。所以在本节中，要介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元来求解条件极值问题的很有效的方法。
下面是拉格朗日乘数法的推导过程。我们先从,均为二元函数这一简单情况入手。要求函数
z=f(x,y) （3）
的极值，其中（x,y）受条件
C: （4）
的限制。
若把条件C看作(x,y)所满足的曲线方程，并设C上的点为f在条件（4）下的极值点，且在点的某领域内方程（4）能唯一确定可微的隐函数y=g(x),则必定也是z=f(x,g(x))=h(x)的极值点。所以由f在可微，g在可微，得到
(5)
而当满足隐函数定理条件时
(6)
将（6）带入（5）后就可以得到
(7)
在几何意义上，关系式（7）表示曲面的等高线与曲线C在点处具有公共切线（如下图）

（a） (b)
从而存在某一常数，使得在处满足

(8)

如果引入辅助变量和辅助函数
(9)
则（8）中三式就为

这样条件极值问题（3），（4）就转化为求函数（9）的无条件极值问题。这种方法称为拉格朗日乘数法。（9）中的函数L称为拉格朗日函数，辅助变量称为拉格朗日乘数。
对于由（1），（2）两式所表示一般条件极值问题的拉格朗日函数为

(10)
其中为拉格朗日乘数，并有以下定理：
定理 设在条件（1）的限制下，求函数（2）的极值问题，其中f与在区域D内有连续的一阶偏函数。若D是内点是上述问题的极值点，且雅克比矩阵

的秩为m，则存在m个常数，使得为拉格朗日函数（10）的稳定点，即为下述n+m个方程：

的解。

例题
例1： 设计一个容量为V的长方形开口水箱，试问水箱的长、宽、高等于多少时，其表面积最小？
解：设水箱的长、宽、高分别为 x，y，z，
则表面积为 S(x,y,z) = 2(xz + yz) + xy，
其限制条件 为 x > 0 , y > 0 , z > 0 , xyz = V。 (1)
法1：（消元法）由条件(1)解出，并代入函数S(x,y,z) 中，
得 ，
然后按，求出稳定点x = y =，并有，
最后判定在此稳定点上取得最小面积。
法2：（拉格朗日法）这时所求拉格朗日函数是：
L(x,y,z,λ) = 2(xz + yz) + xy + λ(xyz - V)，
对L求偏导数，并令它们都等于0：
Lx = 2z + y + λyz = 0，
Ly = 2z + x + λxz = 0， Lz = 2(x + y) + λxy = 0，
Lλ = xyz - V=0， (2)
求方程组(2)的解，得x = y = 2z =，λ = (3)
依题意，所求水箱的表面积S在限制条件(1)下确实存在最小值，由(3)知， 当高为，长和 宽为高的2倍时，表面积S最小，最小值S=3。
例2： 抛物面x2 + y2 = z被平面x + y + z = 1截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长与最短距离。
解：这个问题实质上是求函数f(x,y,z) = x2 + y2 + z2在条件x2 + y2 _ z = 0及
x + y + z - 1 = 0下的最大、最小值问题。应用拉格朗日乘数法，设
L(x,y,z,λ,μ)=x2 + y2 + z2 + λ(x2 + y2- z) + μ(x + y + z - 1)
对L求一阶偏导数，并令它们都等于0，则
Lx = 2x + 2xλ + μ = 0，
Ly = 2y + 2yλ + μ = 0，
Lz = 2z - λ + μ = 0，
Lλ = x2 + y2 - z = 0，
Lμ = x + y + z - 1 = 0，
求得此方程组的解为：
,
, (1)
（1） 就是拉格朗日函数L(x , y , z , λ , μ)的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取 得，由 于所求问题存在最大值与最小值（因为函数f在有界闭集｛（x , y , x) | x2 + y2 = z , x + y + z = 1｝上连续，从而必存在最大值与最小值），故由f(，，2)所求得的两个值95，正是该椭圆到原点的最长距离与最短距离。
例3 求f(x,y,z) = xyz在条件++=（x>0 , y>0 , z>0 , r>0)下的极小值；并证明不等式 3(++)-1，其中a,b,c为任意正实数。
解：设拉格朗日函数为L(x,y,z,λ) = xyz + λ(++-)，对L求偏导数 并令它们都等 于0， 则有以下方程组：
Lx = yz-=0，
Ly=zx-=0，
Lz=xy-=0，
Lλ=++-=0，
由方程组的前三式得：====μ，把它带入方程组的第四式，
求出μ=，从而函数L的稳定点为x=y=z=3r，λ=(3r)4 。
为了判断f(3r,3r,3r)=(3r)3是否为所求条件的极小值，
可把条件++=看作隐函数z=z(x,y)（满足隐函数定理条件），
并把目标函数f(x,y,z) = xy z(x,y) = F(x,y)看作f与z = z(x,y)的复合 函数，这样就可应用极值充 分条件来作出判断，为此计算如下：

当x=y=z=3r时，

由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点，这样就有不等式
（1）
令x=a,y=b,z=c,则，带入不等式(1)得 或（a>0,b>0,c>0)
例4 求函数在条件下的极值，该极值是极大值还是极小值？为什么？
解：令，则有

解方程组，得，
对由得，从L的二阶偏导数在处的值：
，
因此，
由知，代入上式可得

故f在取极小值，其余各点利用对称性即可。