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第一章 有理数复习资料[基础知识]
一、【正负数】
_____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。____________统称有理数。
[基础练习]
1☆把下列各数填在相应额大括号内：
1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7
·正整数集｛ …｝；·正有理数集｛ …｝；·负有理数集｛ …｝
·负整数集｛ …｝；·自然数集｛ …｝；·正分数集｛ …｝
·负分数集｛ …｝
2☆ 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义
是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。
二、【数轴】 规定了 、 、 的直线，叫数轴
[基础练习]
1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。
4，-|-2|， -4.5， 1， 0
3下列语句中正确的是（ ）
Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数
Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来
4、★ ①比－3大的负整数是_______； ②已知ｍ是整数且-4<m<3，则ｍ为_______________。
③有理数中，最大的负整数是 ，最小的正整数是 。最大的非正数是 。
④与原点的距离为三个单位的点有_ _个，他们分别表示的有理数是 _和_ _。
5、★★在数轴上点A表示-4,如果把原点O向负方向移动1个单位,那么在新数轴上点A表示
的数是( ) A.-5， B.-4 C.-3 D.-2
三、【相反数】的概念
像2和-2、-5和5、2.5和-2.5这样，只有 不同的两个数叫做互为相反数。
0的相反数是 。一般地：若a为任一有理数，则a的相反数为-a
相反数的相关性质：
1、相反数的几何意义：
表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。
2、互为相反数的两个数，和为0。
[基础练习]
1☆-5的相反数是 ；-（-8）的相反数是 ；- [+（-6）]=
0的相反数是 ； a的相反数是 ；的相反数的倒数是__
2☆若a和b是互为相反数，则a+b＝（ ） A. –2a B .2b C. 0 D. 任意有理数
3★(1)如果a＝－13，那么－a＝______；(2)如果-a＝－5.4，那么a＝______；
(3)如果－x＝－6，那么x＝______；(4)－x＝9，那么x＝______.
4★★已知a、b都是有理数，且|a|=a，|b|=-b、，则ab是（ ）
A．负数； B.正数； C.负数或零； D.非负数
四、【绝对值】一般地，数轴上表示数a的点与原点的 叫做数a的绝对值，记作∣a∣.
【任一个有理数a的绝对值】用式子表示就是：
（1）当a是正数（即a>0）时，∣a∣= ；
（2）当a是负数（即a<0）时，∣a∣= ；
（3）当a=0时，∣a∣= .
一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是它的 ；
0的绝对值是
[基础练习]
1. —2的绝对值表示它离开原点的距离是 个单位，记作 .
2. |-8|= 。 -|-5|= 。 绝对值等于4的数是______。
3.绝对值等于其相反数的数一定是（ ）A．负数B．正数 C．负数或零D．正数或零
4.，则； ，则
5.如果，则的取值范围是（ ）A．＞O B．≥O C．≤O D．＜O．
6.如果，则，．
7.绝对值不大于11的整数有（ ）A．11个 B．12个 C．22个 D．23个
·有理数加减法法则·
——口诀记法
先定符号，再计算，同号相加不变号；
异号相加“大”减“小”，符号跟着“大数”跑；减负加正不混淆。
五、【有理数的运算】
·求几个相同因数的积的运算，叫做有理数的乘方。
·有理数乘除法法则·
同号得 ，异号得 ，绝对值相乘（除）。
即：an=aa…a(有n个a)
[基础练习]
1.从运算上看式子aｎ，可以读作 ；从结果上
·“奇负偶正”的应用·
1、如下符号的化简（指负号的个数与结果符号的关系），如：
-{+[-(-2)]}= -2
2、连乘式的积（指负因数的个数与结果符号的关系），如：
(-1)×(-2)×(-3)×(+4)=-24
(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=24
3、负数的乘方(指乘方的指数与结果符号的关系)，如：
(-2)3=-8, (-3)2=9
4、分数的符号法则（指的是分子、分母及分数本身三个符号中，同时改变两个，值不变，但改变一个或三个都改变时，分数的值就变相反了），如：
；
看式子aｎ可以读作 .
2. 33= ；（）2= ；-52= ；22的平方是 ；
3. 下列各式正确的是（ ） A. B.
C. D.
4.下列说法正确的是（ ）
A.如果，那么 B.如果，那么
C.如果，那么 D.如果，那么
5.在2+32×（－6）这个算式中，存在着 种运算.请你
们讨论、交流，上面这个式子应该先算 、再算
、最后算 .
6.有理数的运算
① ②（-1）10×2+（-2）3÷4 ③（-5）3－3×
④ ⑤（-10）4+［（-4）2－(3+32)×2］⑥
⑦⑧
⑨ ⑩
7.已知=3，=4，且，求的值。
8.某大楼地上共有12层，地下共有4层，每层高2.8米，请用正负数表示这栋楼每层的楼层号，某人乘电梯从地下3层升至地上7层，电梯一共上了多少米？
六、 科学记数法】【近似数及有效数字】
·把一个大于10的数记成a ×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数)，叫做科学记数法.
·对一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到末位数字止,所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
[基础练习]
1.用科学记数数表示：1305000000= ；-1020= .
2.水星和太阳的平均距离约为57900000 km用科学记数法表示为 .
3. 120万用科学记数法应写成 ；2.4万的原数 是 .
4. 近似数3.5万精确到 位，有 个有效数字.
5. 近似数0.4062精确到 ，有 个有效数字.
6. 5.47×105精确到 位，有 个有效数字
7. 3.4030×105保留两个有效数字是 ，精确到千位是 .
8. 某数有四舍五入得到3.240，那么原来的数一定介于 和 之间.
9. 用四舍五入法求30951的近似值（要求保留三个有效数字），结果是 .
第二章 整式的加减复习资料[基础知识]
一、【本章基本概念】★☆▲π
1、______和______统称整式。
①单项式：由 与 的乘积式子称为单项式。单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5。 ·单项式的系数：单式项里的 叫做单项式的系数。
·单项式的次数：单项式中 叫做单项式的次数。
②多项式:几个 的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的 ，不含字母的项叫做 。
·多项式的次数：多项式里 的次数，叫做多项式的次数。
·多项式的命：一个多项式含有几项，就叫几项式。所以我们就根据多项式的项数和次数来命名一个多项式。如：3n4－2n2＋1是一个四次三项式。
2、同类项——必须同时具备的两个条件（缺一不可）：
①所含的 相同； ②相同 也相同。
·合并同类项，就是把多项式中的同类项合并成一项。
方 法：把各项的 相加，而 不变。
3、去括号法则
法则1.括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都 符号；
法则2.括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都 符号。
▲去括号法则的依据实际是 。
《去（添）括号法则[记法]》
去括号、添括号，符号变化最重要。
括号前面是正号，里面各项保留好*。
括号前面是负号，里面各项都变号
[*“各项保留好”指保留项的符号不变]
〖注意1〗要注意括号前面的符号,它是去括号后括号
内各项是否变号的依据
〖注意2〗去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.
〖注意3〗括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符
号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号.
若括号前是数字因数时,可运用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号,以免发生错误.〖注意4〗遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数“-”的个数.
4、整式的加减
整式的加减的过程就是 。如遇到括号，则先 ，再 ，合并到 为止。
5、本单元需要注意的几个问题
①整式（既单项式和多项式）中，分母一律不能含有字母。 ②π不是字母，而是一个数字.
③多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
④去括号时，要特别注意括号前面的因数。
二、【概念基础练习】
1、在,中，单项式有: 多项式有：
2、填一填
整式
-ab
πr2
-a+b
A3b2-2a2b2+b3-7ab+5
系数
次数
项
3、一种商品每件a元，按成本增加20%定出的价格是 ；后来因库存
积压，又以原价的八五折出售，则现价是 元；每件还能盈利 元。
4、 已知-7x2ym是7次单项式则m= 。
5、 5、已知-5xmy3与4x3yn能合并，则mn = 。
6、7-2xy-3x2y3+5x3y2z-9x4y3z2是 次 项式，其中最高次项是 ，
最高次项的系数是 ，常数项是 ，是按字母 作 幂排列。
7、－3a+3a=－3( )， 2 a－2a=2( ), －5 a－5a=－5( )， 4a + 4a= 4 ( ),
8、已知x－y=5,xy=3，则3xy-7x+7y= 。9、已知A=3x+1,B=6x-3，则3A-B= 。
10、计算①（a3-2a2+1）-2(3a2-2a+) ②x-2(1-2x+x2)+3(-2+3x-x2)
11、已知ab=3,a+b=4，求3ab－[2a - (2ab-2b)+3]的值。
12、若(x2＋ax－2y＋7)―(bx2―2x＋9 y－1)的值与字母x的取值无关，求a、b的值。
13、 求5ab-2[3ab- (4ab2+ab)] -5ab2的值，其中a=，b=-
14、如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n>1）个点，每个图形总的点数S是多少？当n=7，100时，S是多少？
15，如图所示的规律摆下去，用S表示相应的图中的点数，请表示出第n个图中的点数S。并计算第2009个图中的点数。
第三章 一元一次方程复习资料[基础知识]
一、【相关概念】
1、方 程：含 的等式叫做方程 [1].
2、方程的解：使方程的等号左右两边相等的 ，就是方程的解[2]。
3、解 方 程：求 的过程叫做解方程。
4、一元一次方程[3]只含有一个未知数（元），未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程
[1]由方程的定义可知，方程必须满足两个条件：一要是等式，二要含有未知数〖见基础练习1〗。
[2]方程的解的个数随方程的不同而有多有少〖见基础练习2〗，但一个一元一次方程有且只有一个解。
[3] 一元一次方程的一般形式：ax+b=0（a、b为常数，且a≠0，即末知数的系数一定不能为0）〖见基础练习2、5〗。
一元一次方程，一定是整式方程（也就是说：等号两边的式子都是整式）。如：3x－5=6x，其左边是一次二项式（多项式）3x－5，而右边是单项式6x。
所以只要分母中含有未知数的方程一定不是整式方程（也就不可能是一元一次方程了），如〖基础练习3〗。
[基础练习]
1☆选项中是方程的是（ ）A.3+2=5 B. a-1>2 C. a2＋b2－5 D. a2+2a-3=5
2☆下列各数是方程a2+a+3=5的解的是（ ） A.2 B. -2 C.1 D. 1和-2
3☆下列方程是一元一次方程的是（ ）A.+1=5 B. 3(m-1)-1=2 C. x-y=6 D.都不是
4★若x=4是方程=4的解，则a等于（ ）A. 0 B. C.-3 D.-2
5★★已知关于x的一元一次方程ax－bx=m有解，则有（ ）A. a≠b B.a>b C.a<b D.以上都对
二、【方程变形——解方程的重要依据】
1、▲等式的基本性质（P_83～84页）
·等式的性质1：等式的两边同时加（或减） （ ），结果仍相等。
即：如果a=b，那么a±c=b 。
·等式的性质2：等式的两边同时乘 ，或除以 数，结果仍相等。
即：如果a=b，那么ac =bc ； 或 如果a=b（ ），那么a/c =b/c
[ 注：等式的性质（补充）： 等式的两边，结果仍相等。即：如果a=b，那么b=a ]
2、△分数的基本的性质[4]
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即：==（其中m≠0）
▲分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如下面的方程：
－=1.6将上方程化为下面的形式后，更可用习惯的方法解了。－=1.6
注意：方程的右边没有变化，这要和“去分母”区别
[基础练习]
1☆ 利用等式的性质解方程：2x+13=12
第一步：在等式的两边同时 ，第二步：在等式的两边同时 ，
解得：x=
2★ 下列变形中，正确的是（ ）
3★★解方程：
三、【解一元一次方程的一般步骤】图示
说明：1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；
2、 解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；
3、对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。
步骤
名 称
方 法
依 据
注 意 事 项
1
去分母
在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）
等式性质2
1、不含分母的项也要乘以最小公倍
数；
2、分子是多项式的一定要先用括号括起来。
2
去括号
去括号法则（可先分配再去括号）
乘法分配律
注意正确的去掉括号前带负数的括号
3
移项
把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）
等式性质1
移项一定要改变符号
4
合并 同类项
分别将未知项的系数相加、常数项相加
1、整式的加减；
2、有理数的加法法则
单独的一个未知数的系数为“±1”
5
系数化为“1”
在方程两边同时除以未知数的系数（方程两边同时乘以未知数系数的倒数）
等式性质2
不要颠倒了被除数和除数
（未知数的系数作除数——分母）
6
检根
x=a
方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果。
① 若 左边＝右边，则x=a是方程的解；
② 若 左边≠右边，则x=a不是方程的解。
注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。
[基础练习]解下列方程
(1) (2) (3) (4)
(5) （6）4m＋3－3m=0 （7）y－=3－
（8）4q－3(20－q）=6q－7(9－q）
四、【一元一次方程的应用】
方程，在解决问题中有着重要的作用，下面就举例说明：
▲依据题目中的信息将问题转化为解方程的问题
(1)若 。
（2） 若是同类项，则m= ，n= 。
（3） （3）若的和为0，则m-n+3p = 。
（4）代数式x+6与3(x+2)的值互为相反数，则x的值为 。
（5）若与 互为倒数，则x= 。
列方程解答
▲一元一次方程与应用问题及实际问题
初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系
1、行程问题
·基本量及关系：路程=速度×时间
时间=
[典型问题]
·相遇问题中的相等关系：
一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离
·追及问题中的相等关系：
追及者的行程－被追者的行程=相距的路程
·顺（逆）风（水）行驶问题
顺速=V静＋风（水）速
逆速=V静－风（水）速
2、销售问题
·基 本 量：
成本（进价）、售价（实售价）、
利润（亏损额）、利润率（亏损率）
·基本关系：
利润=售价－成本、亏损额=成本－售价、
利润=成本×利润率 亏损额=成本×亏损率
3、工程问题
·基本量及关系：
工作总量=工作效率×工作时间
4、分配型问题
此问题中一般存在不变量，而不变量
正是列方程必不可少的一种相等关系。
1、一架飞机在两城之间飞行，顺风需要4小时，逆风需要4.5小时；测得风速为45千米/时，求两城之间的距离。
2、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折
优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八
折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的
标价是多少元？优惠价是多少？
3、某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募
捐，共售出1000张门票，已知成人票每张8元，
学生票每张5元，共得票款6950元，成人票和学
生票各几张？
4、 甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t，
乙池又注入8t后，甲池的水比乙池的水少3t，
问原来甲、乙两个水池各有多少吨水？
5、今年哥俩的岁数加起来是55岁。曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？
解：设某一年弟弟x岁，依题意得
方程 解得 x=
所以哥哥今年的岁数是 答：
第四章 图形认识初步复习资料[基础知识]
一【多姿多彩的图形】★☆▲∵∴′°″∠
1、把 的各种图形统称为几何图形。几何图形 包括立体图形和平面图形.
各部分不都在同一平面内的图形是 图形；如
各部分都在同一平面内的图形是 图形。如
▲会画出同一个物体从不同方向（正面、上面、侧面）看得的平面图形
▲知道并会画出常见几何体的表面展开图.
点
线
面点
体点
动
交
交
交
动
动
2、点、线、面、体组成几何图形，点是构成图形的
基本元素。点、线、面、体之间有如图所示的联系：
▲知道由常见平面图形经过旋转所得的几何体的形状。
二 【直线、射线、线段】
1、直线公理：经过两点有一条直线， 一条直线。 简述为： .
·两条不同的直线有一个 时，就称两条直线相交，这个公共点叫它们的 。
·射线和线段都是直线的一部分。
2、直线、射线、线段的记法【如下表示】
名称
表示法
作法叙述
端点
直线
直线AB（BA）
（字母无序）
过A点或B点作
直线AB
无端点
射线
射线AB（字母有序）
以A为端点作
射线AB
一个
线段
线段AB（BA）（字母无序）
连接AB
两个
3、线段的中点——把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。
·如图，点M是线段AB的中点，则有AM=MB=AB 或 2AM=2MB=AB
用符号语言表示就是：
∵点M是线段AB的中点
∴AM=MB= ( 或 AM=2 =AB)
类似的，把线段分成相等的三条线段的点，叫线段的三等分点。
把线段分成相等的n条线段的点，叫线段的n等分点。
4、线段公理：两点的所有连线中，线段最短。
简述为： 之间， 最短。
·两点之间的距离的定义：连接两点之间的 ，
叫做这两点的距离。
▲会结合图形比较线段的大小；会画线段的“和”“差”图[2]。
▲会根据几何作图语句画出符合条件的图形[3]，会用几何语句描
述一个图形。
三【角】的定义
(从构成上看)Ⅰ: 有 的两条 组成的图形叫做角。
(从形成上看)Ⅱ: 由一条射线 而形成的图形叫做角。
1、角的表示方法[4]
（1）用三个大写英文字母表示任意一个角；
（2）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角）；
（3）加弧线、标数字表示一个角 （在一个顶点处有两个以上角时，建
议使用此法）；
（4）加弧线、标小写希腊字母表示一个角。
2、角的度量
●1个周角=2个平角=4个直角=360°●1°=60′=3600″
●用一副三角尺能画的角都是15°的整数倍。
3、角的平分线
——从一个角的 出发，把这个角分成 的两个角的 ，叫做这个角的平分线。
·如图，射线OB是∠AOC的平分线，则有
∠AOB=∠BOC=∠AOC 或 2∠AOB=2∠COB=∠AOC
用符号语言表示就是：
∵OB平分
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
（或 2∠AOB=2∠COB=∠AOC）
类似的，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的n个角的射线，叫做这个角n等分线。
4、角的比较与运算
填空·计算。
①用度、分、秒表示37.26°= .
②用度表示52°9′36″= 。
③45°19′28″＋26°40′32″ ④ 98°18′－56. 5°
⑥36°15′27″×3 ⑦27°47′×3＋108°30′÷6
●会结合图形比较角的大小[5] 。●进行角度的四则运算[6]。
5、互余、互补
（1）如果两个角的和为90º，那么这两个角互为余角。
·锐角α的余角是
（2）如果两个角的和为180º，那么这两个角互为补角。
· 角α的补角是 。
（3）互余、互补的性质
同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6、用角度表示方向：一般以正北、正南
60º
为基准，用向东或向西旋转的角度表
示方向，如图所示，OA方向可表示为
北偏西60º 。
四【冲刺练习】
〖直线、射线、线段〗
1． 判断下列说法是否正确
（1）直线AB与直线BA不是同一条直线（ ）
（２）用刻度尺量出直线AB的长度 （ ）
（3）直线没有端点，且可以用直线上任意两个字母来表示（ ）
（4）线段AB中间的点叫做线段AB的中点 （ ）
（5）取线段AB的中点M，则AB-AM=BM （ ）
（6）连接两点间的直线的长度，叫做这两点间的距离 （ ）
（7）一条射线上只有一个点，一条线段上有两个点 （ ）
2．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB=8，BC=5，则线段AC=_________
3．电筒发射出去的光线，给了我们 的形象
.
.
.
.
A
B
C
D
4．如图，四点A、B、C、D在一直线上，则图中有______条线段，有_______条射线；若AC=12cm，BD=8cm，且AD=3BC，则AB=______，BC=______，CD=_ ___
5．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段
AB=8，BC=5，则线段AC=_________
6．如图，若C为线段AB的中点，D在线段CB上，，，则CD=_____
A
B
C
D
7．C为线段AB上的一点，点D为CB的中点，若AD=4，求AC+AB的长。
8．把一条长24cm的线段分成三段，使中间一段的长为6cm，求第一段与第三段中点的距离。
9．如图，点C在线段AB上，E是AC的中点，D是BC的中点，若ED=6，则AB的长为（ ）．
〖角〗
A
O
B
C
1．填空：
（1）如图：已知∠AOB=2∠BOC，且OA⊥OC，则∠AOB=_________0
（2）．已知有共公顶点的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=1200，∠BOC=300，则∠AOC=_________。
A
B
F
E
O
（3）．如图所示：已知OE⊥OF直线AB经过点O，则∠BOF—∠AOE=__________
若∠AOF=2∠AOE，则∠BOF=___________
（4）2点30分时，时钟与分钟所成的角为 度．
2．选择题：
（1）．如图，∠AOE＝∠BOC，OD平分∠COE，那么图中除∠AOE＝∠BOC外，相等的角共有（ ）
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
（2）．互为余角的两个角之差为35°，则较大角的补角是（ ）
A．117.5° B．112.5° C．125° D．127.5°
（3）．如图，由A到B的方向是（ ）
A．南偏东30° B．南偏东60° C．北偏西30 D.北偏西60°
（4）．某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西500，把这枚指针按逆时针方向旋转周，则结果指针的指向（ ）．
（A）南偏东50º （B）西偏北50º （C）南偏东40º （D）东南方向
3．解答题：
(1)一个角的余角比它的补角还多1°，求这个角.
(2)已知互余两角的差为，求这两个角的度数.
(3)如图，∠AOB＝600，OD 、OE分别平分∠BOC、∠AOC，那么∠EOD＝ 0．
(4)老师要求同学们画一个750的角，右图是小红画出的图形．①检验小红画出的角是否等于750；②利用我们常用的画图工具，你有哪些检验方法？③画此角的平分线OD；④解释图中几个角之间的相互关系．
(5)如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小。
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