宁夏大学附中2016届高三上学期第三次月考数学试卷(理科).doc

2015-2016学年宁夏大学附中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．集合A={x|y=lg（x﹣1）}，集合B={y|y=}，则A∩CRB=( )
A．[1，2） B．[1，2] C．（1，2） D．（1，2]

2．sin160°cos10°+cos20°sin10°=( )
A． B． C． D．

3．在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．6

4．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为( )
A． B． C． D．1

5．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=( )
A． B． C． D．

6．若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于( )
A．﹣ B． C． D．

7．△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=( )
A． B． C． D．

8．已知等比数列{an}满足an＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=( )
A．n（2n﹣1） B．（n+1）2 C．n2 D．（n﹣1）2

9．已知f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是，则g（x）=asinx+cosx的初相是( )
A． B． C． D．

10．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是( )
A．在[，]上是增函数
B．其图象关于直线x=﹣对称
C．函数g（x）是奇函数
D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]

11．正项等比数列{an}中，存在两项使得，且a7=a6+2a5，则的最小值是( )
A． B． C． D．

12．已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若有穷数列（n∈N*）的前n项和等于，则n等于 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为__________．

14．已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an+1，则数列{an}的通项公式an=__________．

15．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（2）=0，则不等式f（x）•x＞0的解集是__________．

16．下列说法：
①函数f（x）=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间（1，2）；
②若关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；
③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；
④函数的最小值是1．
正确的有__________．（请将你认为正确的说法的序号都写上）

三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．在平面直角坐标系xoy中，已知向量=（，﹣），=（cosx，sinx），．
（I）若⊥，求tanx的值；
（II）若与的夹角为，求x的值．

18．已知||=4，||=3，（2﹣3）（2+）=61．
（I）求|+|；
（II）若=，=，求△ABC的面积．

19．已知{an}是各项均为正数的等比数列，且．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=an2+log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．

20．已知等比数列{an}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，数列{bn}满足b1=1，且bn+1=2bn+2an（n∈N+）
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若对任意n∈N+，不等式（n+2）bn+1≥λbn总成立，求实数λ的最大值．

21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx（a＞0）．
（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．

四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程
22．已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．

选修4-5：不等式选讲
23．设函数f（x）=|x﹣a|+2x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（Ⅱ）若x∈（﹣2，+∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围．

2015-2016学年宁夏大学附中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．集合A={x|y=lg（x﹣1）}，集合B={y|y=}，则A∩CRB=( )
A．[1，2） B．[1，2] C．（1，2） D．（1，2]
【考点】对数函数的定义域；交、并、补集的混合运算．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先求出函数的定义域，再利用集合的运算性质即可求出．
【解答】解：∵y==≥2，∴B=[2，+∞），∴CRB=（﹣∞，2）．
∵x﹣1＞0，∴x＞1，∴A=（1，+∞）．
∴A∩CRB=（1，+∞）∩（（﹣∞，2）=（1，2）．
故选C．
【点评】熟练掌握函数的定义域的求法和集合的运算是解题的关键．

2．sin160°cos10°+cos20°sin10°=( )
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的余弦函数；运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得所给式子的值．
【解答】解：sin160°cos10°+cos20°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin
=sin30°=，
故选：C．
【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式，属于中档题．

3．在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．6
【考点】等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】直接利用等差中项求解即可．
【解答】解：在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，
解得a6=0．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．

4．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为( )
A． B． C． D．1
【考点】向量的共线定理．
【分析】设，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．
【解答】解：设
则=
==
=（）
∴
∴
故选A．
【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．

5．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=( )
A． B． C． D．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵S3=a2+10a1，a5=9，
∴，解得．
∴．
故选C．
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．

6．若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于( )
A．﹣ B． C． D．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】由已知中向量=（1，2），=（1，﹣1），我们可以计算出2+与的坐标，代入向量夹角公式即可得到答案．
【解答】解：∵=（1，2），=（1，﹣1），
∴2+=（3，3）
=（0，3）
则（2+）•（）=9
|2|=，||=3
∴cosθ==
∴θ=
故选C
【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中利用公式，是利用向量求夹角的最常用的方法，一定要熟练掌握．

7．△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=( )
A． B． C． D．
【考点】平面向量的综合题．
【分析】由题意可得，CA⊥CB， CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求
【解答】解：∵•=0，
∴CA⊥CB
∵CD⊥AB
∵||=1，||=2
∴AB=
由射影定理可得，AC2=AD•AB
∴
∴
∴==
故选D

【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．

8．已知等比数列{an}满足an＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=( )
A．n（2n﹣1） B．（n+1）2 C．n2 D．（n﹣1）2
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】先根据a5•a2n﹣5=22n，求得数列{an}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．
【解答】解：∵a5•a2n﹣5=22n=an2，an＞0，
∴an=2n，
∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2（a1a3…a2n﹣1）=log221+3+…+（2n﹣1）=log2=n2．
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算，属基础题．

9．已知f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是，则g（x）=asinx+cosx的初相是( )
A． B． C． D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【专题】计算题．
【分析】先利用函数的对称性，采用赋值法列方程解得a的值，再利用两角和的正弦公式将函数g（x）化为y=Asin（ωx+φ）型函数，从而确定其初相φ
【解答】解：∵f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是，
∴f（）=f（3π）
即sin+acos=sin3π+acos3π，解得a=﹣
∴g（x）=﹣sinx+cosx=（sinxcos+cosxsin）=sin（x+）
∴g（x）=asinx+cosx的初相是
故选 D
【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，利用对称性和赋值法求参数值的技巧，y=Asin（ωx+φ）型函数的意义，属基础题

10．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是( )
A．在[，]上是增函数
B．其图象关于直线x=﹣对称
C．函数g（x）是奇函数
D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求．
【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx==，
由题意知，则T=π，∴ω=，
∴，
把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x．
其图象如图：

由图可知，函数在[，]上是减函数，A错误；
其图象的对称中心为（），B错误；
函数为偶函数，C错误；
，，
∴当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．

11．正项等比数列{an}中，存在两项使得，且a7=a6+2a5，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设正项等比数列的公式为q，已知等式a7=a6+2a5两边除以a5，利用等比数列的性质化简求出q的值，利用等比数列的通项公式表示出am与an，代入已知等式=4a1，求出m+n=6，将所求式子变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．
【解答】解：∵正项等比数列{an}中，设公比为q，a7=a6+2a5，
∴=+2，即q2﹣q﹣2=0，
解得：q=2或q=﹣1（舍去），
∴am=a12m﹣1，an=a12n﹣1，
∵=4a1，
∴aman=a122m+n﹣2=16a12，即m+n﹣2=4，
∴m+n=6，
列举（m，n）=（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）
即有+=2，，2， ，5．
当m=2，n=4，+的最小值为．
故选A．
【点评】此题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握通项公式是解本题的关键．

12．已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若有穷数列（n∈N*）的前n项和等于，则n等于 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】导数的运算；数列的求和．
【专题】压轴题．
【分析】利用导数研究函数的单调性得到a的范围，再利用等比数列前n项和公式即可得出．
【解答】解：∵=，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴=＜0，即函数单调递减，∴0＜a＜1．
又，即，即，解得a=2（舍去）或．
∴，即数列是首项为，公比的等比数列，
∴==，
由解得n=5，
故选B．
【点评】熟练掌握导数研究函数的单调性、等比数列前n项和公式是解题的关键．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为2．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影．
【解答】解：由已知得到=（1，2），=（4，3），
所以向量在方向上的投影为==2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及利用向量的数量积求向量的投影；属于基础题．

14．已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an+1，则数列{an}的通项公式an=2n+1﹣1．
【考点】等比关系的确定；数列的概念及简单表示法．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】将数列递推式两边同时加上1，化简后再作商可得数列{an+1}是等比数列，代入通项公式化简，再求出an．
【解答】解：由题意知an+1=2an+1，则an+1+1=2an+1+1=2（an+1）
∴=2，且a1+1=4，
∴数列{an+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
则有an+1=4×2n﹣1=2n+1，
∴an=2n+1﹣1．
【点评】本题考查了构造新的等比数列求出通项问题，数列的递推公式为：an+1=Aan+B，其中A和B是常数，构造出 an+1+k=A（an+k）式子，再证明数列{an+k}是等比数列即可．

15．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（2）=0，则不等式f（x）•x＞0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞）．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由条件可得到f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，f（2）=f（﹣2）=0，从而解f（x）•x＞0可得到，或，这样根据f（x）的单调性便可得出x的范围，即得出原不等式的解集．
【解答】解：由f（x）•x＞0得，或；
∵f（x）为偶函数，在[0，+∞）上单调递增；
∴f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）=f（﹣2）=0；
∴，或；
∴x＞2，或﹣2＜x＜0；
∴不等式f（x）•x＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
【点评】考查偶函数的定义，偶函数在对称区间上的单调性特点，以及根据函数的单调性定义解不等式的方法．

16．下列说法：
①函数f（x）=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间（1，2）；
②若关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；
③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；
④函数的最小值是1．
正确的有①④．（请将你认为正确的说法的序号都写上）
【考点】命题的真假判断与应用；函数零点的判定定理．
【专题】阅读型．
【分析】根据函数零点判定定理，判断①是否正确；
根据不等式恒成立的条件，判断②是否正确；
利用三角函数线与角的弧度数的大小，判断③是否正确；
用换元法求得三角函数的最小值，来判断④是否正确．
【解答】解：对①，f（1）=﹣3，f（2）=ln2＞0，∵f（﹣1）×f（2）＜0，且f（x）在（1，2）上是增函数，∴函数在（1，2）内只有一个零点．故①正确；
对②关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立⇒a=0或⇒0≤a＜1．故②不正确；
对③根据正弦线|sinx|≤|x|当且仅当x=0取“=”，∴只有一个交点，故③不正确；
对④设t=sinx+cosx=sin（x+），∴t∈[1，]，y=+t=（t+1）2﹣1，∴函数的最小值是1．故④正确．
故答案是①④
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查函数零点存在性定理、三角函数求最值等问题．

三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．在平面直角坐标系xoy中，已知向量=（，﹣），=（cosx，sinx），．
（I）若⊥，求tanx的值；
（II）若与的夹角为，求x的值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】（Ⅰ）由便可得到，进行数量积的坐标运算便可求出tanx的值；
（Ⅱ）由向量夹角余弦的坐标公式即可得到，根据x的范围可以求出的范围，从而便可得出x的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵；
∴，即；
（Ⅱ）；
∴；
∵；
∴；
∴；
∴．
【点评】考查向量垂直的充要条件，数量积的坐标运算，以及弦化切公式，两角差的正弦公式，已知三角函数值求角，向量夹角的余弦公式．

18．已知||=4，||=3，（2﹣3）（2+）=61．
（I）求|+|；
（II）若=，=，求△ABC的面积．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；综合法；平面向量及应用．
【分析】（1）进行数量积的运算，可以求出，从而可以求出，进而可以得出的值；
（2）由上面求出的便可求出∠ABC的值，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积．
【解答】解：（1）由已知条件，；
∴；
∴；
∴；
（2）如图，
由题意可得，；
；
∴；
∴；
∴；
即△ABC的面积为3．

【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，要求的值，先求的方法，向量夹角的概念，需清楚向量夹角的范围，以及三角形的面积公式：S=．

19．已知{an}是各项均为正数的等比数列，且．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=an2+log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式化简已知的两个等式，得到关于首项和公比的方程组，根据{an}是各项均为正数求出方程组的解，即可得到首项和公比的值，根据首项与公比写出等比数列的通项公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的通项公式代入bn=an2+log2an中，化简得到数列{bn}的通项公式，列举出数列{bn}的各项，分别根据等比数列及等差数列的前n项和的公式即可求出数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，则an=a1qn﹣1，由已知得：
，
化简得：，即，
又a1＞0，q＞0，解得：，
∴an=2n﹣1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=an2+log2an=4n﹣1+（n﹣1）
∴Tn=（1+4+42+…+4n﹣1）+（1+2+3+…+n﹣1）
=+
=+．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．

20．已知等比数列{an}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，数列{bn}满足b1=1，且bn+1=2bn+2an（n∈N+）
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若对任意n∈N+，不等式（n+2）bn+1≥λbn总成立，求实数λ的最大值．
【考点】数列递推式；数列的函数特性．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）由已知列式求出等比数列的首项和公比，求出其通项公式，再由bn+1=2bn+2an即可得到数列是等差数列；
（2）把数列{an}，{bn}的通项公式代入（n+2）bn+1≥λbn，分离参数λ，然后利用基本不等式求得实数λ的最大值．
【解答】（1）证明：∵a2a5=a3a4=32，a3+a4=12，且{an}是递增数列，
∴a3=4，a4=8，则q=2，a1=1，
∴，
又∵bn+1=2bn+2an，∴，
∴数列是等差数列；
（2）解：由（1）可得，
则，
由（n+2）bn+1≥λbn总成立，得
最小总成立，
∵n∈N+，∴n=1或2时，最小值为12，
∴λ最大值为12．
【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了利用基本不等式求最值，属中档题．

21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx（a＞0）．
（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）由已知，求得f（x）=x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x转化为≥b．构造函数g（x）=，只需b≤g（x）min即可．因此又需求g（x）min．
（2）函数f（x）在定义域上是单调函数，需f′（x）在定义域上恒非负或恒非正．考查f′（x）的取值情况，进行解答．
【解答】解：（1）∵f（1）=2，∴a=1，f（x）=x2+x﹣xlnx．由f（x）≥bx2+2x⇔≥b．
令g（x）=，可得g（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以g（x）min=g（1）=0，即b≤0．
（2）f′（x）=2ax﹣lnx（x＞0）．令f′（x）＞0，得2a≥，
令h（x）=，当x=e时，h（x）max=
∴当时，f′（x）＞0（x＞0）恒成立，此时．函数f（x）在定义域上单调递增．
若，g（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）=2a﹣
由g′（x）=0，得出x=，，g′（x）＜0，，g′（x）＞0，∴x=时，g（x）取得极小值也是最小值．而当时，g（）=1﹣ln＜0，f′（x）=0必有根．f（x）必有极值，在定义域上不单调．
综上所述，．
【点评】此题考查函数单调性与导数的关系的应用，考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题．

四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程
22．已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题．
【分析】（1）先将原极坐标方程利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数θ得到曲线C的直角坐标方程．
（2）欲求△ABM面积的最大值，由于AB一定，故只要求AB边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点M在过圆心且垂直于AB的直线上时，距离AB最远，据此求面积的最大值即可．
【解答】解：（1）消去参数θ，得曲线C的标准方程：（x﹣1）2+y2=1．
由得：ρcosθ﹣ρsinθ=0，
即直线l的直角坐标方程为：x﹣y=0．
（2）圆心（1，0）到直线l的距离为，
则圆上的点M到直线的最大距离
为（其中r为曲线C的半径），．设M点的坐标为（x，y），
则过M且与直线l垂直的直线l'方程为：x+y﹣1=0，
则联立方程，
解得，或，
经检验舍去．
故当点M为时，△ABM面积的最大值为（S△ABM）max=．
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．

选修4-5：不等式选讲
23．设函数f（x）=|x﹣a|+2x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（Ⅱ）若x∈（﹣2，+∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）当a=2时，不等式即|x﹣2|≥1，可得x﹣2≥1，或 x﹣2≤﹣1，解得x的范围，可得不等式的解集．
（Ⅱ）由于 f（x）的解析式及a＞0，可得函数f（x）在它的定义域（﹣2，+∞）上是增函数．再由f（x）＞0在它的定义域（﹣2，+∞）上恒成立，
可得f（﹣2）=a﹣2≥0，由此求得a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1，即|x﹣2|≥1，∴x﹣2≥1，或 x﹣2≤﹣1．
解得x≤1，或 x≥3，故不等式的解集为 {x|x≤1，或 x≥3}．
（Ⅱ）∵f（x）=，a＞0，故函数f（x）在它的定义域（﹣2，+∞）上是增函数．
再由f（x）＞0在它的定义域（﹣2，+∞）上恒成立，可得f（﹣2）=a﹣2≥0，解得 a≥2．
故a的范围是[2，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，属于中档题．