全国各地高考数学试题精析圆锥曲线部分整理.doc

2004年全国各地高考数学试题精析（圆锥曲线部分）
一、选择题
1.(2004全国I,理7文7) 椭圆2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则=( )
A． B． C． D．4
【答案】C.
【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识.一般地，过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径.椭圆、双曲线的通径长为.本题中1,由椭圆的定义知1224,∴24.
2.(2004全国I,理8文8)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[] B．[-2,2] C．[-1,1] D．[-4,4]
【答案】C.
【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及解析几何的基本思想.
Q(-2,0),设直线l的方程为(2),代入抛物线方程，消去y整理得：
k2x2+(4k2-8)4k2=0,
由△=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(12)≥0,
解得 -1≤k≤1.
3.(2004全国、广西,理7文8)设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为±x,则该双曲线的离心率( )
A．5 B． C． D．
【答案】C.
【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识.∵双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为±x,∴,即2b,∴b,故该双曲线的离心率.
4.(2004全国,理8)已知椭圆的中心在原点,离心率,且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合,则此椭圆方程为( )
B.
【答案】A.
【解析】本小题主要考查椭圆、抛物线的方程与几何性质.
∵抛物线焦点为(-1,0),∴1,又，∴2,∴b222=3,故椭圆方程为.
5.(2004江苏,5)若双曲线的一条准线与抛物线y2=8x的准线重合,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C.4 D.4
【答案】A.
【解析】本小题主要考查双曲线、抛物线的方程与几何性质等基本知识.
∵抛物线y2=8x的准线方程为2,双曲线的一条准线方程为,
∴2,解得b2=8,∴
∴.
6.(2004天津,理4文5)设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3201、F2分别是双曲线的左、右焦点,若13,则2( )
A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9
【答案】C.
【解析】本小题主要考查双曲线的概念、方程与几何性质.
∵双曲线的一条渐近线方程为320,
∴a2=4.由双曲线的定义知124,∵13,∴27.
7.(2004广东,8)若双曲线2x22 (k>0)的焦点到它相对应的准线的距离是2,则 （ ）
A.6 B. 8 C. 1 D.4
【答案】A.
【解析】本小题主要考查双曲线的方程与几何性质等基本知识.双曲线方程化为标准方程为,
∵a22,∴c2.
焦点到准线的距离2,即2,
解得6.
8.(2004福建,理4文4)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )

【答案】A.
【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质，以及基本量的运算.设椭圆方程为,则过F1且与椭圆长轴垂直的统弦.若△2是正三角形,则2 ·,即a2-2c2=0,(c)()=0,∴.
B
A
Q
P
C
M
东
北
E
G
H
D
9.(2004福建,理12)如图地在A地的正东方向4处地在B地的北偏东300方向2处,河流的沿岸(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2.现要在曲线上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元、2a万元,那么修建这两条公路的总费用最低是( )
A.(2-2)a万元 B.5a万元
C. (2+1)a万元 D.(2+3)a万元
【答案】B.
【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质，考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y万元,则
·2a·
∵河流的沿岸(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2.,
∴曲线是双曲线的一支为焦点,且12.
过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得,即2.
∴ a·2 2a·2a·()≥2a·.(其中是点C到准线l的垂线段).
∵
=()·600=(2)+2×.
∴y≥5a(万元).
B
A
Q
P
C
M
东
北
10.(2004福建,文12)如图地在A地的正东方向4处地在B地的北偏东300方向2处,河流的沿岸(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2.现要在曲线上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、C两地修建公路的费用都a万元,那么修建这两条公路的总费用最低是( )
A.(+1)a万元 B.(2-2)a万元
C.2a万元 D.( -1)a万元
【答案】B.
【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y万元,则
·()
∵河流的沿岸(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2.,
∴曲线是双曲线的一支为焦点,且12.
由双曲线第一定义,得2a,
即2,
∴ a·(2)≥a·.
以直线为x轴,中点为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-2,0)(3).
∴,
故y≥(2-2)a(万元).
11.(2004湖北,理6)已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为( )
A． B．3 C． D．
【答案】D.
【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质.注意！P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点时，要考虑直角顶点的确定.若P为直角顶点，则12＋221F22,即12＋22=(2)2,又1＋2=28,∴1·2=18.在△1F2中到x轴的距离,但>3,不合题意，舍去.由对称性，F1、F2之一为直角顶点（不妨设F2为直角），则2.
12.(2004浙江,文6理4)曲线y2=4x关于直线2对称的曲线方程是( )
2=8-4x 　2=4x-8
2=16-4x 2=4x-16
【答案】C
【解析】设所求曲线上的任意一点的坐标为P(),其关于2对称的点的坐标为Q(4),把它代入y2=4x并化简,得y2=16-4x．
13.(2004浙江,理9) 若椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2的焦点分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( )
A. 　　　B. C. 　　　 D.
【答案】D.
【解析】抛物线y2=2的焦点为F(,0),∵F1(－c,0)2(c,0)1：25：3,∴,化简,得2b,即,两边平方并化简得4a2＝5c2,∴,∴
14.(2004年浙江,文11) 若椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被点(,0)分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( )
A. 　　　B.
C. 　　　 D.
【答案】D
【解析】见上题．
15.(2004湖南,文4理2)如果双曲线上一点P到右焦点的距离等于,那么点P到右准线的距离是( )
A．　 B．13
C．5 D．
【答案】A
【解析】考查双曲线线的基本量的运算．
解：=,,由双曲线的第二定义,得,∴.
16.(2004重庆,文理10) 已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设12,则2a, 4n,∴,又<2c≤,即2a<2c≤a,∴1<≤,所以e的最大值为．
17.(2004辽宁,6)已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P()满足,则点P的轨迹是( )
A．圆　　　 　B．椭圆 C．双曲线　　　D．抛物线
【答案】D
【解析】∵=(2)(3),∴·=(2)(3)22,化简,得y26.
18.(2004辽宁,9)已知点、,动点P满足. 当点P的纵坐标是时,点P到坐标原点的距离是( )
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意知点的轨迹是双曲线的左支11,∴双曲线的方程为x22=1,把代入双曲线方程,得x2=1,∴222,∴.
二、填空题
19.(2004全国,理15文15)设中心在原点的椭圆与双曲线2x2-2y2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .
【答案】.
【解析】本小题主要考查椭圆、双曲线的方程与几何性质.在双曲线2x2-2y2=1中a2=22=1,则其焦点坐标为F1(-1,0)2(1,0),离心率e1=.所以椭圆的离心率为,∵1,∴,则22=1.故椭圆的方程是.
B
x
y
P
F
A
O
20.(2004全国、广西,理16)设P是曲线y2=4(1)上的一个动点,则点P到点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为 .
【答案】.
【解析】本小题主要考查抛物线的方程与几何性质等基本知识,以及数形结合的思想方法.∵抛物线的顶点为A(1,0), 2,∴准线方程为0,焦点F坐标为(2,0), 所以点P到点B(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和等于,如图, ≥,当B、P、F三点共线时取得最小值,此时.
21.(2004年天津,理14文15)如果过两点A(a,0)和B(0)的直线与抛物线2-23没有交点,那么实数a的取值范围是 .
【答案】(-∞).
【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系等基本知识.直线的方程是,由，得x230.若直线与该抛物线没有交点，则△=(-1)2-4(-3)=13+4a<0,故a<
22.(2004上海,文理2)设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为－1,则它的焦点坐标为 .
【答案】(5,0)
【解析】考查抛物线的基本概念．
解：由抛物线的定义知,顶点到准线的距离等于它到焦点的距离,设焦点坐标为(m,0),则2+12,∴5
23.(2004上海,理7) 在极坐标系中,点M(4,)到直线l:ρ(2θθ)=4的距离 .
【答案】
【解析】考查极坐标的概念及极坐标与直角坐标的互化．化为直角坐标系下,点M(2,)到直线24的距离问题．由点到直线的距离公式,得d＝＝．
24.(2004上海,文理11) 教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .
【答案】用代数的方法研究图形的几何性质．
【解析】考查对教材知识体系的把握,此题型不多见．
25.(2004湖南,理16) 设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3,…),使12|, 3|,…组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为 .
【答案】
【解析】1,椭圆上的点到右焦点的最小距离为－1,最大距离为＋1,当d>0时1|＝－1＝＋1,∴＝,∵n≥21,∴,同理,当d＜0时,．故d∈．
26.(2004湖南,文15) F12是椭圆C：的焦点,在C上满足1⊥2的点P的个数为.
【答案】2
【解析】,,,设P,则1,
2 -,
∵1⊥2,∴1|22|21F2|2,
即(＋)2＋(-)2=16,解得=0,故在椭圆上存在两点即短轴的两顶点使1⊥2．
27.(2004重庆,理16) 对任意实数k,直线：与椭圆：恒有公共点,则b取值范围是 .
【答案】[-1,3]
【解析】∵直线过定点(0),所以对任意的实数k,它与椭圆1恒有公共点的充要条件是(0)在椭圆上或其内部,∴,解得.
28.(2004北京春,理文14)若直线 3=0与圆x22=3没有公共点,则满足的关系式为;以()为点P的坐标,过点P的一条直线与椭圆的公共点有个.
【答案】0<m22<3,2.
【解析】考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系.处理直线与曲线的位置关系的一般方法是方程思想:由直线方程与曲线方程联立方程组,通过判别式△确定解的个数(交点个数),而直线与圆可以用圆心到直线距离与半径的大小关系进行判定.另外,要注意数形结合思想的应用,比如直线过定点时,要考虑定点与曲线的位置关系.
∵直线3=0与圆x22=3没有公共点,∴>,解得0<m22<3.
∴,即点P()在椭圆内部,故过P的直线必与椭圆有两个交点.
29.(2004安徽春,理13)抛物线y2=6x的准线方程为 .
【答案】.
【解析】考查抛物线的几何性质.抛物线y2=2(p>0)的准线方程为.
30.(2004上海春,4)过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线,交抛物线于A、B两点,则以F为圆心、为直径的圆方程是.
【答案】(1)22=4.
【解析】本小题主要考查抛物线的概念与几何性质,圆的概念与方程等基础知识,以及运算能力.解题中要注意一些特殊结论的应用,对于抛物线而言,过焦点垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛　物线的通径,其长度等于2p.
抛物线的焦点F的坐标为(1,0),因为为抛物线的通径,所以＝4,即圆的半径为2,故圆的方程是(1)22=4.
31.(2004上海春,10)若平移椭圆4(3)2+9y2=36,使平移后的椭圆中心在第一象限,且它与轴、轴分别只有一个交点,则平移后的椭圆方程是.
【答案】.
【解析】本小题主要考查椭圆的性质、平移变换等基础知识,以及数形结合的能力.椭圆方程可化为,因此椭圆的长半轴长为3,短半轴长为2.移后使椭圆与轴、轴分别只有一个交点,即长轴的左项点在y轴上,下顶点在x轴上,又椭圆中心在第一象限,故中心坐标为(3,2),此时椭圆方程为.
三、解答题
32.(2004全国I,理21文22)设双曲线C：(a>0)与直线1相交于两个不同的点A、B.
(I)求双曲线C的离心率e的取值范围;
()设直线l与y轴的交点为P,且求a的值.
【解析】本题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.
解：(I)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得
(12)x2+2a22a2=0. ①

双曲线的离心率

（）设

由于x12都是方程①的根，且12≠0,

33.(2004全国,理21文22)给定抛物线C：y2=4是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.
(I)设l的斜率为1,求与的夹角的大小；
()设,若lÎ[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.
【解析】本题主要考查抛物线的性质,直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力,
解：(I)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为1.
将1代入方程y2=4x,并整理得
x2-61=0.
设A(x11)(x22),则有
x12=61x2=1.
∴

∴
故与夹角的大小为p.
()由题设 得
(x2-12)=l(111),
即
由②得y22=l2y12,
∵y12=4x1, y22=4x2,∴x2=l2x1, ③
联立①、③解得x2=l,依题意有l>0,
∴B(l,2),或(l2).
故直线l的方程为
(l-1)2(x-1)或(l-1)2(x-1).
当lÎ[4,9]时,直线l在y轴上的截距为或.
由 ,可知在[4,9]上是递减的,
∴
直线l在y轴上截距的变化范围为

34.(2004全国、广西,理21文22)设椭圆的两个焦点是F1(,0)与F2(c,0)(c>0),且椭圆上存在点P,使得直线2与直线2垂直.
(I)求实数m的取值范围；
()设L是相应于焦点F2的准线,直线2与L相交于点Q.若,求直线2的方程.
【解析】本题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力.
解:(I)由题设有m>0.设点P的坐标为(x00),由1⊥2,得

化简得 x0202. ①
将①与联立,
解得
由
所以m的取值范围是m≥1.
()准线L的方程为设点Q的坐标为(x11),则
∴ ②
将 代入②,化简得

由题设,得
, 无解.
将 代入②，化简得

由题设,得
.
解得2.
从而,
得到2的方程
35.(2004全国,理21文22)双曲线的焦点距为2c,直线l过点(a,0)和(0),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c,求双曲线的离心率e的取值范围
【解析】本题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.
解：直线l的方程为,即 0.
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离
,
同理得到点(-1,0)到直线l的距离

∴
由 即

于是得

解不等式,得
由于e>1所以e的取值范围是

36.(2004江苏,21)已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是F(,0)(m是大于0的常数).
(I)求椭圆的方程；
()设Q是椭圆上的一点,且过点F、Q的直线与y轴交于点M.若,求直线的斜率.
【解析】本题主要考查椭圆的概念、方程与性质,以及向量、定比分点坐标公式的应用,考查考生的推理能力和运算能力.求直线l的斜率,要充分利用条件“”实施几何特征向数量 关系的转化：首先向量特征可转化为定比分点坐标问题,但要注意内、外分点两种情形的讨论；其次设直线斜率为k,用k、m表示出Q点的坐标；最后由Q点在椭圆上,列方程即可求解.
解：(I)设所求椭圆方程为
(a>b>0).
由已知中,得, ,
所以2m, m,
故所求椭圆方程是.
()设Q(x00),直线(),
则点M(0).
当时,由于F(,0)(0),由定比分点坐标公式,得
x0, y0.
又点Q在椭圆上,∴,
解得 ±2.
当时,
x0, y0.
于是 ,
解得 0.
故直线l的斜率是0或±2.
37.(2004北京,理17)如图,过抛物线y2=2(p>0)上一定点P(x00)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x11)(x22).
(I)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;
()当与的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线的斜率是非零常数.

【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.
解:(I)当时.
又抛物线y2=2的准线方程为,由抛物线定义得,所求距离为.
()设直线的斜率为,直线的斜率为.
由y12=2102=20,相减得:
,
故.
同理可得,
由、倾斜角互补知
即,
所以,
故.
设直线的斜率为,
由,,相减得
,
所以.
将代入得
,
所以是非零常数.
38.(2004北京,文17)如图,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2)(x11)(x22)均在抛物线上.
（I）写出该抛物线的方程及其准线方程;
（）当与的斜率存在且倾斜角互补时,求y12的值及直线的斜率.
【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.
解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2.
∵点P(1,2)在抛物线上,
∴22=2p×1,得2.
故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是－1.
()设直线的斜率为,直线的斜率为,则
,,
∵与的斜率存在且倾斜角互补,
∴－.
由A(x11)(x22)均在抛物线上,得
（1），
（2）

由(1)－(2)得直线的斜率:
.
39.(2004天津,理22文22)椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线与x轴相交于点2,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若,求直线的方程；
(3)(理科做,文科不做)设 (),过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
(1)解:由题意,可设椭圆的方程为
.
由已知得,
解得.
所以椭圆的方程为,离心率.
(2)解:由(1)可得A(3,0).
设直线的方程为(3).由方程组

得,
依题意,得
.
设,则
①
②
由直线的方程得
,
于是

. ③
∵,∴. ④
由①②③④得5k2=1,从而
.
所以直线的方程为或.
(3)(理科)证明:
.
由已知得方程组

注意l>1,解得.
因,故

.
而,所以
.
x
y
O
C
P
A
A

40.(2004广东,20)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340,相关各点均在同一平面上)
【解析】本题主要考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力.
解：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(－1020,0)(1020,0)(0,1020).
设P()为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得,
故P在的垂直平分线上的方程为－x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故－340×4=1360.
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,
依题意得6801020,
∴b222=10202-6802=5×3402,
故双曲线方程为.
用－x代入上式,得±680,
∵>,∴680680,
即P(-680,680),
故680.
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 m处.
y
x
O
A
B
D
C
l
41.(2004广东,22)设直线l与椭圆相交于A、B两点，l又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点， C、D三等分线段. 求直线l的方程.
【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及推理运算能力和综合解题能力.
解:首先讨论l不与x轴垂直时的情况,设直线l的方程为,如图所示与椭圆、双曲线的交点为A(x11), B(x22)(x33)(x44).
依题意有,
由,得
(16+25k2)x2-2(25b2-400)=0①
∴x12.
由,得
(12)x2-2(b2+1)=0　　②
若±1,则与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故k≠±1.
∴x34,
由Þx3124Þx1234
ÞÞ0Þ0或0.
(i)当0时,由①得x1,2=±,
由②得x3,4=±,
由Þx21=3(x43),即
Þ±,
故l的方程为±.
()当0时,由①得x1,2=±,
由②得x3,4=±,
由Þx21=3(x43),即
Þ±,
故l的方程为±x.
再讨论l与x轴垂直的情况.
设直线l的方程为,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，
y1,2=±3,4=±,
由3Þ21343|,
即Þ±,
故l的方程为±.
综上所述,故l的方程为±、±x和±.

42.(2004福建,理22)如图是抛物线C：x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另x
y
O
P
l
S
T
M
Q
一点Q．
(I)若直线l与过点P的切线垂直,求线段中点M的轨迹方程；
()若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围．
【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.
解：(I)设P(x11)(x22)(x00),依题意x1≠01>02>0.
由x2, ①
得y´.
∴过点P的切线的斜率k切1,
∴直线l的斜率,
直线l的方程为
x12(1). ②
方法1：
联立①②消去y,得
　　x212-2=0.
∵M为的中点，
∴,
消去x1,得y002+1(x0≠0),
∴中点M的轨迹方程为2+1(x≠0).
方法2：
由y1x12, y2x220,得
y12x12x22(x12)(x12)0(x12),
则x0,
∴x1,
将上式代入②并整理,得
y002+1(x0≠0),
x
y
O
P
l
S
T
M
Q
P´
Q´
∴中点M的轨迹方程为2+1(x≠0).
()设直线,依题意k≠0≠0,则T(0).
分别过P、Q作´⊥x轴，´⊥y轴，垂足分别为P´、Q´.则.
由消去x,得
y2-2(k2)2=0 　　　③
则,
方法1:
∴()≥2
=2=2.
∵y12可取一切不相等的正数，
∴的取值范围是(2∞).
方法2:
∴.
当b>0时·;
当b<0时，·.
又由方程③有两个相异实根，得
△=4(k2)2-4b2=4k2(k2+2b)>0,
于是k2+2b>0，即k2>-2b,
所以＞=2.
∵当b>0时可取一切正数，
∴的取值范围是(2∞).
方法3：
由P、Q、T三点共线得,
即 ,
则 x1y212y12,
即 b(x21)=(x2y11y2).
于是　　,
∴
≥2.
∵可取一切不等于1的正数，
∴的取值范围是(2∞).
43.(2004福建,文21)如图，P是抛物线C：x2上一点,直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直与抛物线C相交于另一点Q．
(I)当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
x
y
O
P
l

M
Q
()当点P在抛物线C上移动时,求线段中点M的轨迹方程,并求点M到x轴的最短距离．
【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.
解：(I)把2代入x2,得2,
∴点P坐标为(2,2).
由x2, ①
得y´.
∴过点P的切线的斜率k切=2,
直线l的斜率,
∴直线l的方程为
2(2),
即26=0.
()设P(x00),则y0x02.
∵过点P的切线斜率k切0,当x0时不合意，
∴x0≠0,∴直线l的斜率,
直线l的方程为
x02(0). ②
方法1：
联立①②消去y,得
　　x202-2=0.
设Q(x11)(),
∵M为的中点，
∴,
消去x0,得2+1(x≠0),就是所求轨迹方程.
由x≠0知x2>0,
∴2+1≥2+1≥+1.
上式等号仅当x2,即时成立，
所以点M到x轴的最短距离是+1.
方法2：
设Q(x11)(),则
y0x02, y1x12,得
y01x02x12(x01)(x01)(x01),
∴,
∴x0,
将上式代入②并整理,得
2+1(x≠0),
就是所求轨迹方程.
由x≠0知x2>0,
∴2+1≥2+1≥+1.
上式等号仅当x2,即时成立，
所以点M到x轴的最短距离是+1.
44.(2004湖北,理20文20)直线1与双曲线C:2x22=1的右支交于不同的两点A、B.
（I）求实数k的取值范围；
（）是否存在实数k，使得以线段为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【解析】本题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系,及其综合应用能力.
解：（Ⅰ）将直线l的方程1代入双曲线C的方程2x22=1后，整理得：
……①
依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为(x11), (x22),则由①式得
……②
假设存在实数k,使得以线段为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).则由⊥得：

整理得
③
把②式及代入③式化简得

解得

可知使得以线段为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
45.(2004浙江,文22理21)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线的距离为1,
⑴若直线的斜率为k,且Î[], 求实数m的取值范围；
⑵当1时,△的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.

【解析】解: (Ⅰ)由条件得直线的方程即因为点M到直线的距离为1, ∴即.
∵∴解得+1≤m≤3或1≤m≤1.

∴m的取值范围是
(Ⅱ)可设双曲线方程为由得.又因为M是Δ的内心到的距离为1,所以∠45º,直线是∠的角平分线,且M到、的距离均为1.因此,(不妨设P在第一象限)直线方程为.直线的方程1,∴解得P的坐标是(2+,1+),将P点坐标代入得,
所以所求双曲线方程为
即
46.(2004上海,文20) 如图, 直线与抛物线2-4交于A、B两点, 线段的垂直平分线与直线5交于Q点.
(1) 求点Q的坐标；
(2) 当P为抛物线上位于线段下方
(含A、B) 的动点时, 求Δ面积的最大值.

【解析】解:⑴解方程组,得或,即A(－4,－2)(8,4), 从而的中点为M(2,1).由,直线的垂直平分线方程y－1=(x－2).令－5, 得5,
∴Q(5,－5)
(2) 直线的方程为0, 设P(x, x2－4).∵点P到直线的距离, ,∴SΔ＝＝.∵P为抛物线上位于线段下方的点, 且P不在直线上, ∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8. ∵函数2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当8时, Δ的面积取到最大值30.
47.(2004湖南文22,理21) 如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0)(m>0)作直线与抛物线交于两点,点Q是点P关于原点的对称点.

(I)设点P分有向线段所成的比为,证明:；
()设直线的方程是212=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程．
【解析】解：(Ⅰ)依题意,可设直线的方程为 代入抛物线方程得 ①设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.
所以 由点P(0)分有向线段所成的比为,得又点Q是点P关于原点的对称点,故点Q的坐标是(0,－m),从而.
=

所以
(Ⅱ)由 得点A、B的坐标分别是(6,9)、(－4,4).
由 得
所以抛物线 在点A处切线的斜率为
设圆C的方程是
则
解之得 ,,
所以圆C的方程是
即
48.(2004重庆,文理21) 设是一常数,过点的直线与抛物线交于相异两点A、B,以线段为直经作圆H(H为圆心).试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线的方程.

【解析】解法一：由题意,直线不能是水平线,故可设直线方程为：.又设,则其坐标满足

消去x得 ,
由此得,

因此.
即⊥．
故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H()是的中点,
故,
由前已证应是圆H的半径,且.
从而当0时,圆H的半径最小,亦使圆H的面积最小.
此时,直线的方程为：2p.

解法二：由题意,直线不能是水平线,故可设直线方程为：－2p,
,则其坐标满足,分别消去得

故得A、B所在圆的方程
明显地(0,0)满足上面方程所表示的圆上,又知A、B中点H的坐标为

故 ,而前面圆的方程可表示为

＝,
故为上面圆的半径R,从而以为直径的圆必过点O(0,0).又,
故当0时2最小,从而圆的面积最小,此时直线的方程为：2p.
解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上,又直径
＝
＝

上式当时,等号成立,直径最小,从而圆面积最小.此时直线的方程为2p.
49.(2004辽宁,19) 设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、是坐标原点,点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求：
(1)动点P的轨迹方程；
(2)的最小值与最大值.
【解析】考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．
(1)解法一：直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 的解. 将①代入②并化简得,,所以于是＝＝．设点P的坐标为则消去参数k得 ③
当k不存在时、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为
解法二：设点P的坐标为,因、在椭圆上,所以
④　 ⑤④—⑤得,所以
当时,有 ⑥,并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧
当时,点A、B的坐标为(0,2)、(0,－2),这时点P的坐标为(0,0)也满足⑧,所以点P的轨迹方程为
(2)解：由点P的轨迹方程知所以＝＝＝,故当,取得最小值,最小值为时,取得最大值,最大值为