海伦公式的证明.doc

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　　篇1：海伦公式的证明
　　在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c
　　O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长
　　有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
　　r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r
　　∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
　　∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)
　　=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
　　=ptanA/2tanB/2tanC/2
　　=r
　　∴prtanA/2tanB/2tanC/2=pr
　　∴S=pr=(pr)/(tanA/2tanB/2tanC/2)
　　=p(p-a)(p-b)(p-c)
　　∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
　　篇2：海伦公式的证明
　　我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
　　cosC = (a+b-c)/2ab
　　S=1/2*ab*sinC
　　=1/2*ab*√(1-cos C)
　　=1/2*ab*√[1-(a+b-c)/4a*b]
　　=1/4*√[4a*b-(a+b-c)]
　　=1/4*√[(2ab+a+b-c)(2ab-a-b+c)]
　　=1/4*√[(a+b)-c][c-(a-b)]
　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
　　设p=(a+b+c)/2
　　则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　篇3：海伦公式的证明
　　我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
　　秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
　　所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
　　q=1/4{a*c-[(a+c-b)/2 ]}
　　当P=1时，△ 2=q,
　　△=√1/4{a*c-[(a+c可得：
　　S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　其中p=1/2(a+b+c)
　　这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。
　　S=√1/4{a*c-[(a+c-b)/2 ]} .其中c>b>a.
　　根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
　　已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
　　这里用海伦公式的推广
　　S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边)
　　代入解得s=8√ 3
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